Aufgabe 3
Der Punkt 
ist gemeinsamer Eckpunkt von Rechtecken 
Die Eckpunkte 
liegen auf der Geraden 
mit der Gleichung 
Es gilt: 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne die Gerade sowie die Rechtecke 
für 
und 
für 
in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte 
in Abhängigkeit von der Abszisse 
der Punkte 
Ergebnis: ![Formula: \left.C_n(1,13 x-3 \mid 0,25 x+6)\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/29c50c2eeaad3bf4c117dceaf2d57fdb8ab5ca5306baab82caa5ae6e3753b391_light.svg)
![Formula: \left.C_n(1,13 x-3 \mid 0,25 x+6)\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/29c50c2eeaad3bf4c117dceaf2d57fdb8ab5ca5306baab82caa5ae6e3753b391_dark.svg)
Zeige, dass sich der Umfang 
der Rechtecke 
in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte 
wie folgt darstellen lässt:
Der Punkt 
liegt auf der 
-Achse.
Berechne den Umfang des Rechtecks 
Für den Punkt 
gilt: 
Begründe, warum das zugehörige Rechteck 
den minimalen Umfang hat.
Bestimme sodann den minimalen Umfang sowie die zugehörige Belegung für 
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Es wird 
berechnet mit:
Damit ergibt sich 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB_n'}(x) &=&\pmatrix{\cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ)}\odot\pmatrix{x \\ -0,25 x+6}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,25 x-6 \\ x} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/166cda1f82eff4fac411fe20742efd2a0f9cecf3a5a0f75f1b45c6f99dff92be_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB_n'}(x) &=&\pmatrix{\cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ)}\odot\pmatrix{x \\ -0,25 x+6}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,25 x-6 \\ x} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/166cda1f82eff4fac411fe20742efd2a0f9cecf3a5a0f75f1b45c6f99dff92be_dark.svg)
Daraus folgt für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD_n}(x) &=&0,5\cdot\pmatrix{0,25x-6 \\ x}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,13x-3 \\ 0,5x} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3e1b4aab45e6f727f948c5cc889152f4705ddd9e8e84cf706604d11d0ef46674_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD_n}(x) &=&0,5\cdot\pmatrix{0,25x-6 \\ x}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,13x-3 \\ 0,5x} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3e1b4aab45e6f727f948c5cc889152f4705ddd9e8e84cf706604d11d0ef46674_dark.svg)
Da 
gilt, folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{O C_n}&=&\overrightarrow{O B_n} \oplus \overrightarrow{B_n C_n} \\[5pt]
&=&\pmatrix{x \\ -0,25x+6} \oplus \pmatrix{0,13x-3 \\ 0,5x} \\[5pt]
&=&\pmatrix{1,13x-3 \\ 0,25x+6}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1aa3a3fa1540835393dbfaa3581c18e864208e8d8997c0d1202d8c6af9869381_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{O C_n}&=&\overrightarrow{O B_n} \oplus \overrightarrow{B_n C_n} \\[5pt]
&=&\pmatrix{x \\ -0,25x+6} \oplus \pmatrix{0,13x-3 \\ 0,5x} \\[5pt]
&=&\pmatrix{1,13x-3 \\ 0,25x+6}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1aa3a3fa1540835393dbfaa3581c18e864208e8d8997c0d1202d8c6af9869381_dark.svg)
Damit ergibt sich 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{AB_n}\right|(x) &=& \sqrt{x^2+(-0,25x+6)^2}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{x^2+(-0,25)^2x^2-3x+36}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{1,06x^2-3x+36}\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/92366b80a05b144c8371e0cc5a9045e1fa7a7f5edcd8cf6b8f636686da9ee0ae_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{AB_n}\right|(x) &=& \sqrt{x^2+(-0,25x+6)^2}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{x^2+(-0,25)^2x^2-3x+36}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{1,06x^2-3x+36}\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/92366b80a05b144c8371e0cc5a9045e1fa7a7f5edcd8cf6b8f636686da9ee0ae_dark.svg)
Für den Umfang gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot\left(\left|\overline{AB_n}\right| + 0,5\cdot \left|\overline{AB_n}\right|\right) \\[5pt] &=&3\cdot\left|\overline{AB_n}\right| \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b206643682db4b17eb3f5520bd890efac857207900ca390785cb1342f8c821a3_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot\left(\left|\overline{AB_n}\right| + 0,5\cdot \left|\overline{AB_n}\right|\right) \\[5pt] &=&3\cdot\left|\overline{AB_n}\right| \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b206643682db4b17eb3f5520bd890efac857207900ca390785cb1342f8c821a3_dark.svg)
Damit ergibt 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u(x) &=& 3\cdot\sqrt{1,06x^2-3x+36} \;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{9}\cdot\sqrt{1,06x^2-3x+36}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{9,54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7c693940fe6fa1850721022d0aad287e69106072b0142b7d8f3691ede3cf63e6_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u(x) &=& 3\cdot\sqrt{1,06x^2-3x+36} \;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{9}\cdot\sqrt{1,06x^2-3x+36}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \sqrt{9,54x^2-27x+324}\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7c693940fe6fa1850721022d0aad287e69106072b0142b7d8f3691ede3cf63e6_dark.svg)
Für den Punkt gilt 
Einsetzen des Terms für 
ergibt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 1,13x-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 1,13x&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:1,13 \\[5pt] x&=&2,65 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/40a24ff73a14ca82ecbeec72a3148b266b3db35e0ee6201482d3fde6e77209ee_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 1,13x-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 1,13x&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:1,13 \\[5pt] x&=&2,65 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/40a24ff73a14ca82ecbeec72a3148b266b3db35e0ee6201482d3fde6e77209ee_dark.svg)
Für den Umfang des Rechtecks 
ergibt sich somit:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u(2,65) &=& \sqrt{9,54\cdot 2,65^2-27\cdot2,65+324}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& 17,87\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2c23128021679ecceb29e197716829b7170d20ee6cf5a2fcd7ca3e368cd46151_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u(2,65) &=& \sqrt{9,54\cdot 2,65^2-27\cdot2,65+324}\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& 17,87\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2c23128021679ecceb29e197716829b7170d20ee6cf5a2fcd7ca3e368cd46151_dark.svg)
Wegen 
liegt auch die Strecke 
auf 
Folglich gilt 
Unter den Strecken 
hat also die Strecke 
die kürzeste Länge.
Wegen 
hat somit das Rechteck 
den minimalen Umfang. Das Einsetzen von in ergibt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} y_{C_4} &=& -0,25x_{C_4} +6 \\[5pt]
0,25x + 6&=&-0,25 \cdot (1,13x - 3) +6\\[5pt]
0,25x + 6 &=& -0,2825x + 6,75 &\quad\scriptsize\mid\; +0,2825x \\[5pt]
0,5325x + 6 &=& 6,75 &\quad\scriptsize\mid\; -6 \\[5pt]
0,5325x &=& 0,75 &\quad\scriptsize\mid\; :0,5325 \\[5pt]
x &=& 1,41
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f1a048c6089e80115ba8b89dc15cf9513052ee1f3e18bd92d9528fa747c4660f_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} y_{C_4} &=& -0,25x_{C_4} +6 \\[5pt]
0,25x + 6&=&-0,25 \cdot (1,13x - 3) +6\\[5pt]
0,25x + 6 &=& -0,2825x + 6,75 &\quad\scriptsize\mid\; +0,2825x \\[5pt]
0,5325x + 6 &=& 6,75 &\quad\scriptsize\mid\; -6 \\[5pt]
0,5325x &=& 0,75 &\quad\scriptsize\mid\; :0,5325 \\[5pt]
x &=& 1,41
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f1a048c6089e80115ba8b89dc15cf9513052ee1f3e18bd92d9528fa747c4660f_dark.svg)
Damit handelt es sich bei 
um das Minimum. Das Einsetzen von in 
ergibt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u_{\min } &=&u(1,41) \\[5pt ]
&=&\sqrt{9,54 \cdot 1,41^2-27 \cdot 1,41+324} \;\mathrm{LE}\\[5pt]
&=&\sqrt{304,90} \;\mathrm{LE}\\[5pt]
&=& 17,46 \;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a8bd92a247f77a4dc55e666d615baf741a2e27803f5e7799294501ce8e4adf81_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} u_{\min } &=&u(1,41) \\[5pt ]
&=&\sqrt{9,54 \cdot 1,41^2-27 \cdot 1,41+324} \;\mathrm{LE}\\[5pt]
&=&\sqrt{304,90} \;\mathrm{LE}\\[5pt]
&=& 17,46 \;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a8bd92a247f77a4dc55e666d615baf741a2e27803f5e7799294501ce8e4adf81_dark.svg)