Teil A

Aufgabe A1

1.0

Der Punkt $A(0|0)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Dreiecken $AB_nC_n.$

Die Punkte $B_n(x\mid0,25x-2)$ liegen auf der Geraden $g$ mit $y=0,25x-2\,(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$

Es gilt: $\sphericalangle B_nAC_n=50^{\circ};\,\overline{AC_n}=1,5\cdot\overline{AB_n}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1

Zeichne das Dreieck $AB_1C_1$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu A 1.0 ein.

(1 P)

1.2

Für das Dreieck $AB_2C_2$ gilt: $x = 8.$

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes $C_2.$

(3 P)

Aufgabe A2

2.0

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y =0,5\cdot (x+2)^{-3}+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$ Im Koordinatensystem ist für $x \gt -2$ der Graph zu $f$ eingezeichnet.

2.1

Zeichne für $x\in[-6;-2,5]$ den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein und gib die Wertemenge von $f$ an.

(2 P)

2.2

Punkte $A_n (x \mid0,5\cdot (x+ 2)^{-3}+ 1)$ mit der Abszisse $x$ liegen auf dem Graphen zu $f$ mit $x\in\mathbb{R} \setminus\{-2\}.$ Du legst mit Punkten $B_n ,$ $C_n$ und $D_n$ Quadrate $A_nB_nC_nD_n$ fest.
Die $x$ -Koordinate der Punkte $B_n$ ist um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n,$ die $y$ -Koordinate der Punkte $B_n$ ist um $1$ größer als die $y$ -Koordinate der Punkte $A_n.$
Zeichne die Quadrate $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-3$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x = 2$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.

(2 P)

2.3

Begründe, weshalb alle Quadrate $A_nB_nC_nD_n$ den gleichen Flächeninhalt $A$ haben, und gib diesen an.

(2 P)

2.4

Zeige, dass für die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $C_n(x+1|0,5\cdot(x+2)^{-3}+4).$

(3 P)

2.5

Der Punkt $C_3$ des Quadrats $A_3B_3C_3D_3$ liegt auf der $y$ –Achse.
Gib die Koordinaten des Punktes $C_3$ an.

(1 P)

Aufgabe A3

3.0

Gegeben sind Drachenvierecke $AB_nCD_n$ mit der Symmetrieachse $AC.$ Punkte $E_n$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[B_nD_n].$ Die Winkel $B_nCE_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^{\circ};90^{\circ}[.$

Es gilt: $\overline{AC} = 2 \,\text{cm}$ und $\overline{B_nC} = \overline{CD_n} = 3 \,\text{cm}.$

Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck $AB_1CD_1$ für $\varphi=50^{\circ}.$

3.1

Zeige durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[B_nE_n]$ und $[AE_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{B_nE_n}(\varphi)= 3\cdot\text{sin}\,\varphi\,\text{cm}$ und $\overline{AE_n}(\varphi)=(3\cdot\text{cos}\,\varphi+ 2) \,\text{cm}.$

(2 P)

3.2

Die Drachenvierecke $AB_nCD_n$ rotieren um die Gerade $AC.$

Bestätige rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=6\cdot\pi\cdot\text{sin}^2\varphi\,\text{cm}^3.$

(2 P)

3.3

Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus A 3.2 ist richtig.

Kreuze diese Aussage an.

	Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von $6\cdot\pi\,\text{cm}^3.$
	Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens $6 \,\text{cm}^3.$
	Für das Volumen $V$ gilt: $V(\varphi)\lt 6\cdot\pi\,\text{cm}^3.$
	Für das Volumen $V$ gilt: $V(\varphi)\gt 6\cdot\pi\,\text{cm}^3.$

(1 P)

Teil A

Aufgabe A1

Aufgabe A2

Aufgabe A3

Lösung A1

Lösung A2

Lösung A3