Teil B

B 1.0

Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=10\cdot 0,5 ^{x+3}+2$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ .
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1

Gib die Definitionsmenge der Funktion $f_1$ an.
Zeichne sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in [-2,5;5]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text {cm}; -5\leq x \leq 5$ ; $-6\leq y\leq 10$

(2 P)

B 1.2

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{-2\\1}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.
Zeige rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=-10\cdot 0,5^{x+5}-1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ besitzt.
Gib sodann die Gleichung ihrer Asymptote an und zeichne den Graphen für $f_2$ für $x\in [-4;5]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(4 P)

B 1.3

Punkte $A_n ( \text x \mid 10 \cdot 0,5^{x+3}+2)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $C_n(x\mid -10\cdot 0,5^{x+5}-1)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $\text x$ und sind zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ . Die Punkte $D_n$ liegen ebenfalls auf dem Graphen zu $f_1$ , ihre Abszisse ist um $2$ größer als die Abszisse $\text x$ der Punkte $A_n$ .
Zeichne die Parallelogramme $A_1 B_1 C_1 D_1$ für $x=-2$ und $A_2 B_2 C_2 D_2$ für $x=1,5$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(2 P)

B 1.4

Berechne das Maß des Winkels $A_1 D_1 C_1$ .

(4 P)

B 1.5

Zeige rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $B_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $\text x$ der Punkte $A_n$ gilt: $B_n (x-2\mid 5\cdot 0,5^{x+3}-1)$ .

[Teilergebnis: $D_n (x+2\mid 10\cdot 0,5^{x+5}+2)$ ]

(3 P)

B 1.6

Unter den Parallelogrammen $A_n B_n C_n D_n$ gibt es die Raute $A_3B_3C_3D_3$ .
Berechne die x-Koordinate des Punktes $A_3$ .

(3 P)

B 2.0

Das Quadrat $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH$ mit der Höhe $[AE]$ . Der Schnittpunkt der Diagonalen $[EG]$ und $[FH]$ des Quadrats $EFGH$ ist der Punkt $N$ .
Es gilt: $\overline {AB}=7 \text {cm}; \overline {AE}= 9 \text {cm}$ .
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1

Zeige, dass für die Länge der Strecke $[AC]$ gilt: $\overline {AC}=9,90\,\text {cm}$ .
Zeichne sodann das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ , wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2};\omega=45 ^{\circ}$ .

(3 P)

B 2.2

Berechne die Länge der Strecke $[CN]$ sowie das Maß des Winkels $CNG$ .

[Ergebnis: $\sphericalangle \text {CNG}=61,19^{\circ}$ ]

(2 P)

B 2.3

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[CN]$ . Die Winkel $\text{P}_n\text {EN}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^{\circ};42,27^{\circ}]$ . Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $N$ und $E$ die Eckpunkte von Dreiecken $\text{P}_n\text {NE}$ .
Zeichne das Dreieck $\text{P}_1\text {NE}$ für $\varphi=38^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein und begründe sodann die obere Intervallgrenze für $\varphi$ .

(2 P)

B 2.4

Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[NP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$\overline {NP_n}(\varphi)= \dfrac{4,95\cdot\sin \varphi}{\sin (\varphi+118,81^{\circ})} \text {cm}$ .

(2 P)

B 2.5

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $EFHP_n$ mit den Höhen [ $P_nT_n$ ], deren Fußpunkte $T_n$ auf der Strecke [ $EG$ ] liegen.
Zeichne die Pyramide $EFHP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein und ermittle sodann rechnerisch das Volumen $V$ der Pyramiden $EFHP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .
[Teilergebnis: $\overline {P_nT_n}(\varphi)=\dfrac{4,34\cdot\sin \varphi}{\sin (\varphi +118,81^{\circ})} \text {cm}$ ]

(3 P)

B 2.6

Die Punkte $P_n$ sind auch die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ .
Für die Pyramiden $EFHP_2$ und $ABCDP_2$ gilt: $V_{EFHP_2}=V_{ABCDP_2}$ .
Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

(4 P)