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Teil A

Aufgaben
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Aufgabe A 1

1.0
Die Zeichnung zeigt das Dreieck $A_1B_1C$ für $\phi = 80^{\circ}$.
1.1
Zeichne das Dreieck $A_2B_2C$ für $\phi = 50^{\circ}$ in die Zeichnung zu A 1.0 ein.
(1P)
1.2
Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $A(\phi)=25\cdot tan \frac{\phi}{2}\,\text{cm}^2$.
Teil A
Teil A
(2P)
1.3
Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3B_3C$ ist um $25\%$ größer als der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3B_3C$. Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $A_3CB_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Teil A
Teil A
(2P)

Aufgabe A 2

2.0
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=10\cdot (x+3)^{-2}-2,5$ ($\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$) eingezeichnet.
2.1
Der Graph zu $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab ($k\in \mathbb{R} \setminus {0}$) auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=-4\cdot (x+3)^{-2}+1$ ($\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$) abgebildet.
Bestimme den Affinitätsmaßstab $k$ und gib die Gleichungen der Asymptoten von $f_2$ an.
Zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in [-6;4]$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
Teil A
Teil A
(3P)
2.2
Punkte $A_n(x\mid 10\cdot (x+3)^{-2}-2,5)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $M_n(x\mid -4\cdot (x+3)^{-2}+1)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$. Die Punkte $A_n$ sind für $x> -1$ zusammen mit Punkten $B_n$, $C_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkt $M_n$.
Es gilt: $\overline{B_nD_n}=4LE$.
Zeichne die Raute $A_1B_1C_1D_1$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_1$ für $x=0,5$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
(1P)
2.3
Zeige, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=[-28\cdot (x+3)^{-2}+7]LE$.
Teil A
Teil A
(1P)
2.4
Unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Quadrat $A_2B_2C_2D_2$.
Berechne den zugehörigen Wert für $x$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Teil A
Teil A
(2P)
2.5
Begründe, dass die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14\,\text{FE}$ besitzen.
Teil A
Teil A
(2P)

Aufgabe A 3

3.0
Punkte $C_n$ liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke $[AB]$ mit dem Mittelpunkt $M$. Die Winkel $BAC_n$ haben das Maß $\alpha$ mit dem $\alpha\in ]0^{\circ}$; $90^{\circ}[$. Die Punkte $A$, $B$ und $C_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $ABC_n$. Punkte $D_n$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $C_n$ auf die Strecke $[AB]$.
Es gilt: $\overline{AB}=6\,\text{cm}$.
3.1
Zeige, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängikeit von $\alpha$ gilt: $\overline{C_nD_n}(\alpha )=6\cdot \alpha \cdot sin \alpha \,\text{cm}$.
Teil A
Teil A
(2P)
3.2
Die Dreiecke $ABC_n$ rotieren um die Achse $AB$.
Begründe rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt: $V(\alpha ) =72\cdot \pi \cdot cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha \,\text{cm}^3$.
Berechne sodann für $\alpha =30^{\circ}$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
Teil A
Teil A
(3P)
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe A1

1.1
$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $A_2B_2C$ für $\varphi = 50^\circ$ in die Zeichnung zu $A 1.0$ einzeichnen. Hierbei weißt du bereits, dass die Höhe gleich bleibt und dass es sich erneut um ein gleichschenkliges Dreieck handeln muss. Somit besitzen die Punkte $M$ und $C$ die gleiche Lage. Der Winkel $\varphi$ ändert sich hierbei auf einen Wert von $50^\circ$ und somit ändert sich auch die Lage der Schenkel des Dreiecks.
1.2
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt zeigen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $A(\varphi)=25 \cdot \tan\frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2$. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Hierbei ist bereits bekannt, dass $h_g= \overline{CM} = 5 \text{ cm}$ gilt. Nun ist also nur noch die Länge der Grundseite in Abhängigkeit von $\varphi$ gesucht. Hierzu musst du mit den Winkelfunktionen arbeiten. Zur Berechnung der Länge der Grundseite kannst du mit dem Tangens arbeiten. Dazu benötigst du ein rechtwinkliges Dreieck. Betrachte also zunächst das Dreieck $A_nMC$ mit dem Winkel $\dfrac{\varphi}{2}$ und berechne mit dem Tangens die Länge der Seite $\frac{g}{2}$.
Anschließend kannst du mit der Länge der Seite $g$ den gesuchten Flächeninhalt bestimmen.
1.3
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\varphi$ des Winkels $A_3CB_3$ berechnen. Hierbei weißt du, dass der Flächeninhalt $A_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ um $25 \,\%$ größer ist als der Flächeninhalt $A_2$ des Dreiecks $A_2B_2C$. Für den Flächeninhalt des Dreiecks $A_2B_2C$ gilt mit dem gegebenem Winkel $\varphi=50^\circ$:
$A_2= 25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \text{ cm}^2$
Nun ist gegeben, dass der Flächeninhalt $A_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ um $25 \,\%$ größer ist als $A_2$. Somit folgt:
$A_3= 1,25 \cdot 25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \text{ cm}^2$
Nun kannst du mit dem gegebenem Flächeninhalt das Maß $\varphi$ des Winkels $A_3CB_3$ berechnen.

Aufgabe A2

2.1
$\blacktriangleright$ Affinitätsmaßstab berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst den Affinitätsmaßstab $k \in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ berechnen. Hierbei wird der Graph von $f_2$ durch eine orthogonale Affinität des Graphen von $f_1$ mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab abgebildet.
Die orthogonale Affinität streckt einen Punkt $P$ des Graphen von $f_1$ senkrecht zur $x$-Achse, um ein Vielfaches. Dieses Vielfache nennen wir Affinitätsmaßstab $\boldsymbol{k}$ und die $x$-Achse die zugehörige Affinitätsachse.
Wenn ein Punkt $P(x \mid y)$ des Graphen von $f_1$ durch eine orthogonale Affinität auf einen Punkt $P'$ des Graphen von $f_2$ abgebildet wird, schreiben wir dafür:
$P \xrightarrow{x\text{-Achse}\,k}P'$
Dabei ändert sich nur die $y$-Koordinate des Punktes $P$, sie wird einfach mit $k$ multipliziert:
$x'=x\;\;\;\wedge\;\;\;y'=k\cdot y$
Ist $k$ negativ, so ändert sich auch das Vorzeichen der $y$-Koordinate, der Punkt wird dann also an der $x$-Achse gespiegelt.
In diesser Teilaufgabe haben wir nun bereits die Funktionsgleichungen für $f_1$ und $f_2$ gegeben. Nun kannst du für einen beliebigen $x$-Wert die jeweiligen Funktionswerte $y_1$ und $y_2$ berechnen.Hierbei musst du nur aufpassen, dass du nicht die $x$-Werte der Nullstellen einsetzt, da du hierbei nichts über den Affinitätsmaßstab aussagen kannst. Für die anderen Funktionswerte muss durch die orthogonale Affinität nun folgendes gelten:
$y_2= k\cdot y_1$
Berechne also nun beispielsweise für $x=0$ die jeweiligen Funktionswerte $y_1$ und $y_2$. Hiermit kannst du anschließend den Affinitätsmaßstab berechnen.
$\blacktriangleright$ Gleichungen der Asymptoten angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung der Asymptoten von $f_2$ angeben. Hierbei musst du beachten, dass der Graph von $f_2$ sowohl eine senkrechte, als auch eine waagerechte Asymptote besitzt.
Der Graph von $f_2$ besitzt an der $x$-Stelle eine senkrechte Asymptote an der der Graph von $f_2$ eine Definitionslücke besitzt. Also genau an der Stelle für die der Nenner der Funktion $f_2$ gleich Null wird. Also ist die Stelle gesucht für die gilt $x+3=0$.
Die waagrechte Asymptote kannst du aus der Zeichnung direkt ablesen. Betrachte hierbei gegen welchen $y$-Wert sich der Graph für sehr große oder sehr kleine $x$-Werte annähert.
$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen
Mit den gegebenen Asymptoten und der Funktionsgleichung der Funktion $f_2$ kannst du den Graphen der Funktion $f_2$ einzeichnen.
2.2
$\blacktriangleright$ Raute einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Raute $A_1B_1C_1D_1$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_1$ mit $x=0,5$ in das Koordinatensystem zu $A2.0$ einzeichnen. Hierbei hast du die Punkte $A_n$ auf dem Graphen der Funktion $f_1$ gegeben mit $A_n(x\mid 10 \cdot (x+3)^{-2}-2,5)$ und die Punkte $M_n$ auf dem Graphen der Funktion $f_2$ mit $M_n(x\mid -4 \cdot (x+3)^{-2}+1)$. Außerdem weißt du, dass diese Punkte die gleiche Abszisse, also die gleiche $x$-Koordinate, besitzen. Zudem ist gegeben, dass $\overline{B_nD_n}= 4$ LE gilt.
Für die Raute $A_1B_1C_1D_1$ gilt hierbei $x=0,5$. Somit kannst du die Punkte $A_1$ und $M_1$ in das Koordinatensystem eintragen. Dadurch dass gegeben ist, dass $\overline{B_nD_n}= 4$ LE beträgt,kannst du die Punkte $B_1$ und $D_1$ eintragen und die Raute einzeichnen.
2.3
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für die Länge der Strecke $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nC_n}(x)=(-28\cdot(x+3)^{-2}+7)\text{ LE}$.
$\overline{A_nC_n}(x)= \dotsc$
Die Länge der Strecke $[A_nC_n]$ ist die doppelte Länge der Strecke von $[A_nM_n]$. Somit gilt für $\overline{A_nC_n}$:
$\overline{A_nC_n}= 2\cdot \overline{A_nM_n}$
Die Strecke lässt sich nun mit den $y$-Werten der Punkte $A_n$ und $M_n$ berechnen.
2.4
$\blacktriangleright$ Quadrat berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den zugehörigen $x$-Wert für das Quadrat $A_2B_2C_2D_2$ berechnen. Ein Quadrat liegt dann vor, wenn die Strecke $\overline{A_nC_n}$ die gleiche Länge besitzt, wie die Strecke $\overline{B_nD_n}$. Dabei ist $\overline{B_nD_n}=4 \text{ LE}$ gegeben.
2.5
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14$ FE besitzen. Der Flächeninhalt der Raute ist hierbei mit der folgenden Formel über die Längen der Diagonalen gegeben:
$A=\frac{1}{2}\cdot \overline{A_nC_n} \cdot \overline{B_nD_n}$
$A=\frac{1}{2}\cdot \overline{A_nC_n} \cdot \overline{B_nD_n}$

Aufgabe A3

3.1
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke zeigen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ $\overline{C_nD_n}(\alpha) = 6 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha \text{ cm}$ gilt. Hierfür musst du wissen, dass wenn die Punkte $C_n$ auf dem Thaleskreis liegen stets der Winkel $AC_nB$ $90^\circ$ beträgt. Somit kannst du die Winkelfunktionen auf die Dreiecke $ABC_n$ und $AD_nC_n$ anwenden, da beide Dreiecke rechtwinklig sind.
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass $\overline{AB}=6$ cm beträgt. Zuerst kannst du somit die Länge der Strecke $[AC_n]$ bestimmen und anschließend mit dieser Länge die Länge der Strecke $[D_nC_n]$ berechnen.
3.2
$\blacktriangleright$ Volumen begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch begründen, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper $V(\alpha)=72 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha \text{ cm}^3$ gilt. Das Volumen der entstehenden Rotationskörper setzt sich aus dem Volumen von zwei verschiedenen Kegeln zusammen. Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:
$V= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
Nun musst du dir noch klar machen, welche Strecken die Höhe und den Radius darstellen. Da die Dreiecke jeweils um die Achse $AB$ rotieren, entsprechen die Höhen der Kegel die Länge der Strecken entlang der Achse $AB$ und die Radien entsprechen den Strecken senkrecht zur Achse $AB$.
Somit besitzt der linke Kegel, der durch die Rotation des Dreiecks $AD_nC_n$ entsteht, den Radius $r_1=\overline{D_nC_n}$ und die Höhe $h_1=\overline{AD_n}$. Für den rechten Kegel gelten entsprechend $r_2=\overline{D_nC_n}$ und $h_2=\overline{D_nB}$. Somit kannst du eine Formel für das gesamte Volumen aufstellen.
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Anschließend sollst du das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $\alpha = 30 ^\circ$ berechnen. Setze also $\alpha = 30 ^\circ$ in die obere Formel für das Volumen ein.
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Aufgabe A1

1.1
$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $A_2B_2C$ für $\varphi = 50^\circ$ in die Zeichnung zu $A 1.0$ einzeichnen. Hierbei weißt du bereits, dass die Höhe gleich bleibt und dass es sich erneut um ein gleichschenkliges Dreieck handeln muss. Somit besitzen die Punkte $M$ und $C$ die gleiche Lage. Der Winkel $\varphi$ ändert sich hierbei auf einen Wert von $50^\circ$ und somit ändert sich auch die Lage der Schenkel des Dreiecks. Die Zeichnung sieht dadurch wie folgt aus:
Teil A
Abb. 1: Eingezeichnetes Dreieck
Teil A
Abb. 1: Eingezeichnetes Dreieck
1.2
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt zeigen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $A(\varphi)=25 \cdot \tan\frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2$. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
Hierbei ist bereits bekannt, dass $h_g= \overline{CM} = 5 \text{ cm}$ gilt. Nun ist also nur noch die Länge der Grundseite in Abhängigkeit von $\varphi$ gesucht. Hierzu musst du mit den Winkelfunktionen arbeiten. Zur Berechnung der Länge der Grundseite kannst du mit dem Tangens arbeiten. Dazu benötigst du ein rechtwinkliges Dreieck. Betrachte also zunächst das Dreieck $A_nMC$ mit dem Winkel $\dfrac{\varphi}{2}$ und berechne mit dem Tangens $\frac{g}{2}$. Gehe wie folgt vor:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \frac{\varphi}{2} &=& \dfrac{\frac{g}{2}}{h_g} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2h_g \\[5pt] g&=& 2 \cdot h_g \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \\[5pt] &=& 2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \\[5pt] &=& 10 \text{ cm} \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \end{array}$
$ g= 10 \text{ cm} \cdot \tan \frac{\varphi}{2}$
Nun kannst du $g$ wie folgt in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g \\[5pt] A&=& \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \cdot 5 \text{ cm} \\[5pt] &=& 25 \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A= 25 \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2 $
Somit hast du nun gezeigt, dass Für den Flächeninahlt $A=25 \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2 $ gilt.
1.3
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\varphi$ des Winkels $A_3CB_3$ berechnen. Hierbei weißt du, dass der Flächeninhalt $A_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ um $25 \,\%$ größer ist als der Flächeninhalt $A_2$ des Dreiecks $A_2B_2C$. Für den Flächeninhalt des Dreiecks $A_2B_2C$ gilt mit dem gegebenem Winkel $\varphi=50^\circ$:
$A_2= 25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \text{ cm}^2$
Nun ist gegeben, dass der Flächeninhalt $A_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ um $25 \,\%$ größer ist als $A_2$. Somit folgt:
$A_3= 1,25 \cdot 25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \text{ cm}^2$
Nun kannst du mit dem gegebenem Flächeninhalt das Maß $\varphi$ des Winkels $A_3CB_3$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_3 &=& 25 \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2 \\[5pt] 1,25 \cdot 25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \text{ cm}^2&=& 25 \cdot \tan \frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; :25 \text{ cm}^2 \\[5pt] 1,25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2}&=& \tan \frac{\varphi}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \frac{\varphi}{2}&=& \tan^{-1} \left(1,25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \right) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \varphi&=& 2 \cdot \tan^{-1} \left(1,25 \cdot \tan \frac{50^\circ}{2} \right) \\[5pt] \varphi&\approx& 60,47 ^\circ \end{array}$
$\varphi \approx 60,47 ^\circ$
Somit gilt $\varphi \approx 60,47^\circ$ für den Winkel $A_3CB_3$.

Aufgabe A2

2.1
$\blacktriangleright$ Affinitätsmaßstab berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst den Affinitätsmaßstab $k \in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ berechnen. Hierbei wird der Graph von $f_2$ durch eine orthogonale Affinität des Graphen von $f_1$ mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab abgebildet.
Die orthogonale Affinität streckt einen Punkt $P$ des Graphen von $f_1$ senkrecht zur $x$-Achse, um ein Vielfaches. Dieses Vielfache nennen wir Affinitätsmaßstab $\boldsymbol{k}$ und die $x$-Achse die zugehörige Affinitätsachse.
Wenn ein Punkt $P(x \mid y)$ des Graphen von $f_1$ durch eine orthogonale Affinität auf einen Punkt $P'$ des Graphen von $f_2$ abgebildet wird, schreiben wir dafür:
$P \xrightarrow{x\text{-Achse}\,k}P'$
Dabei ändert sich nur die $y$-Koordinate des Punktes $P$, sie wird einfach mit $k$ multipliziert:
$x'=x\;\;\;\wedge\;\;\;y'=k\cdot y$
Ist $k$ negativ, so ändert sich auch das Vorzeichen der $y$-Koordinate, der Punkt wird dann also an der $x$-Achse gespiegelt.
In diesser Teilaufgabe haben wir nun bereits die Funktionsgleichungen für $f_1$ und $f_2$ gegeben. Nun kannst du für einen beliebigen $x$-Wert die jeweiligen Funktionswerte $y_1$ und $y_2$ berechnen.Hierbei musst du nur aufpassen, dass du nicht die $x$-Werte der Nullstellen einsetzt, da du hierbei nichts über den Affinitätsmaßstab aussagen kannst. Für die anderen Funktionswerte muss durch die orthogonale Affinität nun folgendes gelten:
$y_2= k\cdot y_1$
Berechne also nun beispielsweise für $x=0$ die jeweiligen Funktionswerte $y_1$ und $y_2$.
$\begin{array}[t]{rll} y_1 &=& 10 \cdot (0+3)^{-2} -2,5 \\[5pt] &=& \dfrac{10}{9} -2,5 \\[5pt] &=& -\dfrac{25}{18}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2 &=& -4 \cdot (0+3)^{-2} +1 \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{9} +1 \\[5pt] &=& \dfrac{5}{9}\\[5pt] \end{array}$
Dadurch gilt für den Affinitätsmaßstab:
$\begin{array}[t]{rll} y_2 &=& k \cdot y_1 &\quad \scriptsize \mid\; :y_1\\[5pt] k&=& \dfrac{y_2}{y_1} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{5}{9}}{-\frac{25}{18}}\\[5pt] &=& -0,4\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für den Affinitätsmaßstab $k=-0,4$.
$\blacktriangleright$ Gleichungen der Asymptoten angeben
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung der Asymptoten von $f_2$ angeben. Hierbei musst du beachten, dass der Graph von $f_2$ sowohl eine senkrechte als auch eine waagerechte Asymptote besitzt.
Der Graph von $f_2$ besitzt an der $x$-Stelle eine senkrechte Asymptote an der der Graph von $f_2$ eine Definitionslücke besitzt. Also genau an der Stelle für die der Nenner der Funktion $f_2$ gleich Null wird. Also ist die Stelle gesucht für die gilt $x+3=0$. Dies ist für $x=-3$ der Fall. Somit ist die senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x=-3$ gegeben.
Die waagrechte Asymptote kannst du aus der Zeichnung direkt ablesen. Der Graph nähert sich hierbei für sehr große oder sehr kleine $x$-Werte $y=1$ somit besitzt der Graph von $f_2$ eine Asymptote mit der Gleichung $y=1$.
$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen
Nun kannst du den Graphen der Funktion $f_2$ in das Koordinatensystem zu $A2.04$ wie folgt einzeichnen:
Teil A
Abb. 2: Graph zu $f_2$
Teil A
Abb. 2: Graph zu $f_2$
2.2
$\blacktriangleright$ Raute einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Raute $A_1B_1C_1D_1$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_1$ mit $x=0,5$ in das Koordinatensystem zu $A2.0$ einzeichnen. Hierbei hast du die Punkte $A_n$ auf dem Graphen der Funktion $f_1$ gegeben mit $A_n(x\mid 10 \cdot (x+3)^{-2}-2,5)$ und die Punkte $M_n$ auf dem Graphen der Funktion $f_2$ mit $M_n(x\mid -4 \cdot (x+3)^{-2}+1)$. Außerdem weißt du, dass diese Punkte die gleiche Abszisse, also die gleiche $x$-Koordinate, besitzen. Zudem ist gegeben, dass $\overline{B_nD_n}= 4$ LE gilt.
Für die Raute $A_1B_1C_1D_1$ gilt hierbei $x=0,5$. Somit kannst du die Punkte $A_1$ und $M_1$ in das Koordinatensystem eintragen. Dadurch dass gegeben ist, dass $\overline{B_nD_n}= 4$ LE beträgt,kannst du die Punkte $B_1$ und $D_1$ eintragen und die Raute wie folgt zeichnen.
Teil A
Abb. 3: Raute $A_1B_1C_1D_1$
Teil A
Abb. 3: Raute $A_1B_1C_1D_1$
2.3
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für die Länge der Strecke $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nC_n}(x)=(-28\cdot(x+3)^{-2}+7)\text{ LE}$.
$\overline{A_nC_n}(x)= \dotsc$
Die Länge der Strecke $[A_nC_n]$ ist die doppelte Strecke von $[A_nM_n]$. Somit gilt für $\overline{A_nC_n}$:
$\overline{A_nC_n}= 2\cdot \overline{A_nM_n}$
Die Strecke lässt sich nun mit den $y$-Werten der Punkte $A_n$ und $M_n$ berechnen. Für die Strecke $\overline{A_nM_n}$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nM_n}(x) &=& y_2 - y_1\\[5pt] &=& -4 \cdot (x+3)^{-2} +1 -(10\cdot (x+3)^{-2}-2,5) \\[5pt] &=& -4 \cdot (x+3)^{-2} +1 -10\cdot (x+3)^{-2}+2,5 \\[5pt] &=& -14 \cdot (x+3)^{-2} +3,5\\[5pt] \end{array}$
$\overline{A_nM_n}(x)= \dotsc$
Somit folgt für die Strecke $\overline{A_nC_n}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nC_n}(x) &=& 2 \cdot \overline{A_nM_n}\\[5pt] &=& 2\cdot (-14 \cdot (x+3)^{-2} +3,5) \\[5pt] &=& -28 \cdot (x+3)^{-2} +7 \\[5pt] \end{array}$
$\overline{A_nC_n}(x) = \dotsc$
Damit hast du gezeigt, dass
$\overline{A_nC_n}(x)=[-28 \cdot (x+3)^{-2} +7] \text{ LE} $
$\overline{A_nC_n}(x)= \dotsc$
gilt.
2.4
$\blacktriangleright$ Quadrat berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den zugehörigen $x$-Wert für das Quadrat $A_2B_2C_2D_2$ berechnen. Ein Quadrat liegt dann vor, wenn die Strecke $\overline{A_nC_n}$ die gleiche Länge besitzt, wie die Strecke $\overline{B_nD_n}$. Dabei ist $\overline{B_nD_n}=4 \text{ LE}$ gegeben. Somit muss folgendes gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nC_n}(x) &=& \overline{B_nD_n}\\[5pt] -28 \cdot (x+3)^{-2} +7 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; -7\\[5pt] -28 \cdot (x+3)^{-2}&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+3)^2 \\[5pt] -28 &=& -3 \cdot (x+3)^{2} \\[5pt] -28 &=& -3 \cdot (x^2+6x+9) \\[5pt] -28 &=& -3 \cdot x^2 -18 \cdot x -27 &\quad \scriptsize \mid\; +28 \\[5pt] 0&=& -3 \cdot x^2 -18 \cdot x +1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] 0&=& x^2 -6 \cdot x +\frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel} \\[5pt] x_1&\approx& 0.06 \\[5pt] x_2&\approx& -6,06\\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2} = \dotsc$
Da für $x$ laut Aufgabenstellung $x>-1$ gelten muss ist $x\approx 0,06$.
2.5
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14$ FE besitzen. Der Flächeninhalt der Raute ist hierbei mit der folgenden Formel über die Längen der Diagonalen gegeben:
$A=\frac{1}{2}\cdot \overline{A_nC_n} \cdot \overline{B_nD_n}$
$A=\frac{1}{2}\cdot \overline{A_nC_n} \cdot \overline{B_nD_n}$
Somit folgt für den Flächeninhalt der Raute:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \frac{1}{2}\cdot \overline{A_nC_n} \cdot \overline{B_nD_n}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (-28 \cdot (x+3)^{-2} +7)\cdot 4\\[5pt] &=& -56 \cdot (x+3)^{-2} +14 \\[5pt] \end{array}$
$A= -56 \cdot (x+3)^{-2} +14$
Deshalb gilt $A=-56 \cdot (x+3)^{-2} +14$. Hierbei kannst du erkennen, dass (x+3)^{-2} immer größer $0$ sein muss und somit $-56 \cdot (x+3)^{-2}<0$ gilt. Dadurch folgt, dass der Flächeninhalt stets kleiner als $14$ FE betragen muss.

Aufgabe A3

3.1
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke zeigen
In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ $\overline{C_nD_n}(\alpha) = 6 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha \text{ cm}$ gilt. Hierfür musst du wissen, dass wenn die Punkte $C_n$ auf dem Thaleskreis liegen stets der Winkel $AC_nB$ $90^\circ$ beträgt. Somit kannst du die Winkelfunktionen auf die Dreiecke $ABC_n$ und $AD_nC_n$ anwenden, da beide Dreiecke rechtwinklig sind.
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass $\overline{AB}=6$ cm beträgt. Zuerst kannst du somit die Länge der Strecke $[AC_n]$ bestimmen und anschließend mit dieser Länge die Länge der Strecke $[D_nC_n]$ berechnen.
Berechne zuerst die Länge der Strecke $[AC_n]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\overline{AC_n}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB}\\[5pt] \overline{AC_n} &=& \overline{AB} \cdot \cos \alpha\\[5pt] &=& 6 \text{ cm} \cdot \cos \alpha \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AC_n} =6 \text{ cm} \cdot \cos \alpha $
Anschließend kannst du mit der berechneten Länge $\overline{AC_n}$ die Länge der Strecke $[D_nC_n]$ im Dreieck $AD_nC_n$ berechnen. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} sin \alpha &=& \dfrac{\overline{C_nD_n}}{\overline{AC_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AC_n}\\[5pt] \overline{C_nD_n} &=& \overline{AC_n} \cdot \sin \alpha\\[5pt] &=& 6 \text{ cm} \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha\\[5pt] \end{array}$
$ \overline{C_nD_n} =6 \text{ cm} \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha$
Dadurch hast du gezeigt, dass für die Länge der Strecke $[C_nD_n]$in Abhängigkeit von $\alpha$ folgendes gilt: $\overline{C_nD_n}(\alpha)= 6 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha \text{ cm}$.
3.2
$\blacktriangleright$ Volumen begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch begründen, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper $V(\alpha)=72 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha \text{ cm}^3$ gilt. Das Volumen der entstehenden Rotationskörper setzt sich aus dem Volumen von zwei verschiedenen Kegeln zusammen. Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:
$V= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
Nun musst du dir noch klar machen, welche Strecken die Höhe und den Radius darstellen. Da die Dreiecke jeweils um die Achse $AB$ rotieren, entsprechen die Höhen der Kegel die Länge der Strecken entlang der Achse $AB$ und die Radien entsprechen den Strecken senkrecht zur Achse $AB$.
Somit besitzt der linke Kegel, der durch die Rotation des Dreiecks $AD_nC_n$ entsteht, den Radius $r_1=\overline{D_nC_n}$ und die Höhe $h_1=\overline{AD_n}$. Für den rechten Kegel gelten entsprechend $r_2=\overline{D_nC_n}$ und $h_2=\overline{D_nB}$. Somit kannst du eine Formel für das gesamte Volumen aufstellen.
$\begin{array}[t]{rll} V_{ges} &=& V_1 + V_2 \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_2^2 \cdot h_2\\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\overline{D_nC_n})^2 \cdot \overline{AD_n} + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\overline{D_nC_n})^2 \cdot \overline{D_nB}\\[5pt] &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\overline{D_nC_n})^2 \cdot (\overline{AD_n} + \overline{D_nB}) \end{array}$
$V_{ges}= \dotsc$
Hierbei gilt, dass $\overline{AD_n} + \overline{D_nB}= \overline{AB}$ gilt. Somit folgt für das gesamte Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{ges} &=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\overline{D_nC_n})^2 \cdot \overline{AB} \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (6 \cdot \cos \alpha \sin \alpha \text{ cm})^2 \cdot 6 \text{ cm}\\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha \cdot 6 \text{ cm}^3\\[5pt] &=& 72 \cdot \pi \cdot \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha \text{ cm}^3 \end{array}$
$V_{ges}=\dotsc$
Dadurch hast du rechnerisch begründet, dass für das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\alpha$ folgendes gilt:
$V(\alpha)= 72 \cdot \pi \cdot \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha \text{ cm}^3$
$V(\alpha)= \dotsc$
.
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Anschließend sollst du das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $\alpha = 30 ^\circ$ berechnen. Setze also $\alpha = 30 ^\circ$ in die obere Formel für das Volumen ein. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& 72 \cdot \pi \cdot (\cos 30 ^\circ)^2 \cdot (\sin 30^\circ)^2 \text{ cm}^3\\[5pt] &\approx& 42,41 \text{ cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V \approx 42,41 \text{ cm}^3$
Das Volumen des entstehenden Rotationskörpers beträgt für für $\alpha = 30^\circ$ $V\approx 42,41 \text{ cm}^3$.
Bildnachweise [nach oben]
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