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Teil A

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Aufgabe A 1

1.0
Die Zeichnung zeigt das Dreieck $A_1B_1C$ für $\phi = 80^{\circ}$.
1.1
Zeichne das Dreieck $A_2B_2C$ für $\phi = 50^{\circ}$ in die Zeichnung zu A 1.0 ein.
(1P)
1.2
Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $A(\phi)=25\cdot tan \frac{\phi}{2}\,\text{cm}^2$.
(2P)
1.3
Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3B_3C$ ist um $25\%$ größer als der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3B_3C$. Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $A_3CB_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
(2P)

Aufgabe A 2

2.0
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=10\cdot (x+3)^{-2}-2,5$ ($\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$) eingezeichnet.
2.1
Der Graph zu $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab ($k\in \mathbb{R} \setminus {0}$) auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=-4\cdot (x+3)^{-2}+1$ ($\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$) abgebildet.
Bestimme den Affinitätsmaßstab $k$ und gib die Gleichungen der Asymptoten von $f_2$ an.
Zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in [-6;4]$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
(3P)
2.2
Punkte $A_n(x\mid 10\cdot (x+3)^{-2}-2,5)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $M_n(x\mid -4\cdot (x+3)^{-2}+1)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$. Die Punkte $A_n$ sind für $x> -1$ zusammen mit Punkten $B_n$, $C_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkt $M_n$.
Es gilt: $\overline{B_nD_n}=4LE$.
Zeichne die Raute $A_1B_1C_1D_1$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_1$ für $x=0,5$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
(1P)
2.3
Zeige, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=[-28\cdot (x+3)^{-2}+7]LE$.
(1P)
2.4
Unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Quadrat $A_2B_2C_2D_2$.
Berechne den zugehörigen Wert für $x$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
(2P)
2.5
Begründe, dass die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14\,\text{FE}$ besitzen.
(2P)

Aufgabe A 3

3.0
Punkte $C_n$ liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke $[AB]$ mit dem Mittelpunkt $M$. Die Winkel $BAC_n$ haben das Maß $\alpha$ mit dem $\alpha\in ]0^{\circ}$; $90^{\circ}[$. Die Punkte $A$, $B$ und $C_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $ABC_n$. Punkte $D_n$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $C_n$ auf die Strecke $[AB]$.
Es gilt: $\overline{AB}=6\,\text{cm}$.
3.1
Zeige, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängikeit von $\alpha$ gilt: $\overline{C_nD_n}(\alpha )=6\cdot \alpha \cdot sin \alpha \,\text{cm}$.
(2P)
3.2
Die Dreiecke $ABC_n$ rotieren um die Achse $AB$.
Begründe rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt: $V(\alpha ) =72\cdot \pi \cdot cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha \,\text{cm}^3$.
Berechne sodann für $\alpha =30^{\circ}$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
(3P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
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