Teil A

Aufgabe A 1

1.0

Die gleichschenkligen Dreiecke $A_nB_nC$ haben die Basen $[A_nB_n]$ und die gemeinsame Höhe $[CM]$ . Die Winkel $A_nCB_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^{\circ}[$ .

Es gilt: $\overline{CM}=5\,\text{cm}$ .

Abb. 1

Die Zeichnung zeigt das Dreieck $A_1B_1C$ für $\phi = 80^{\circ}$ .

1.1

Zeichne das Dreieck $A_2B_2C$ für $\phi = 50^{\circ}$ in die Zeichnung zu A 1.0 ein.

(1P)

1.2

Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $A(\phi)=25\cdot tan \frac{\phi}{2}\,\text{cm}^2$ .

(2P)

1.3

Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3B_3C$ ist um $25\%$ größer als der Flächeninhalt des Dreiecks $A_3B_3C$ . Berechne das Maß $\phi$ des Winkels $A_3CB_3$ des Dreiecks $A_3B_3C$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

(2P)

Aufgabe A 2

2.0

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=10\cdot (x+3)^{-2}-2,5$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ ) eingezeichnet.

Abb. 2

2.1

Der Graph zu $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und $k$ als Affinitätsmaßstab ( $k\in \mathbb{R} \setminus {0}$ ) auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=-4\cdot (x+3)^{-2}+1$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ ) abgebildet.

Bestimme den Affinitätsmaßstab $k$ und gib die Gleichungen der Asymptoten von $f_2$ an.

Zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in [-6;4]$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.

(3P)

2.2

Punkte $A_n(x\mid 10\cdot (x+3)^{-2}-2,5)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $M_n(x\mid -4\cdot (x+3)^{-2}+1)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Die Punkte $A_n$ sind für $x\gt -1$ zusammen mit Punkten $B_n$ , $C_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkt $M_n$ .

Es gilt: $\overline{B_nD_n}=4LE$ .

Zeichne die Raute $A_1B_1C_1D_1$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M_1$ für $x=0,5$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.

(1P)

2.3

Zeige, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=[-28\cdot (x+3)^{-2}+7]LE$ .

(1P)

2.4

Unter den Rauten $A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Quadrat $A_2B_2C_2D_2$ .

Berechne den zugehörigen Wert für $x$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

(2P)

2.5

Begründe, dass die Rauten $A_nB_nC_nD_n$ stets einen kleineren Flächeninhalt als $14\,\text{FE}$ besitzen.

(2P)

Aufgabe A 3

3.0

Punkte $C_n$ liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke $[AB]$ mit dem Mittelpunkt $M$ . Die Winkel $BAC_n$ haben das Maß $\alpha$ mit dem $\alpha\in ]0^{\circ}$ ; $90^{\circ}[$ . Die Punkte $A$ , $B$ und $C_n$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $ABC_n$ . Punkte $D_n$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $C_n$ auf die Strecke $[AB]$ .

Es gilt: $\overline{AB}=6\,\text{cm}$ .

Abb. 3

3.1

Zeige, dass für die Länge der Strecken $[C_nD_n]$ in Abhängikeit von $\alpha$ gilt: $\overline{C_nD_n}(\alpha )=6\cdot \alpha \cdot sin \alpha \,\text{cm}$ .

(2P)

3.2

Die Dreiecke $ABC_n$ rotieren um die Achse $AB$ .

Begründe rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\alpha$ gilt: $V(\alpha ) =72\cdot \pi \cdot cos^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha \,\text{cm}^3$ .

Berechne sodann für $\alpha =30^{\circ}$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

Aufgabe A1

1.1

$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $A_2B_2C$ für $\varphi = 50^\circ$ in die Zeichnung zu $A 1.0$ einzeichnen. Hierbei weißt du bereits, dass die Höhe gleich bleibt und dass es sich erneut um ein gleichschenkliges Dreieck handeln muss. Somit besitzen die Punkte $M$ und $C$ die gleiche Lage. Der Winkel $\varphi$ ändert sich hierbei auf einen Wert von $50^\circ$ und somit ändert sich auch die Lage der Schenkel des Dreiecks. Die Zeichnung sieht dadurch wie folgt aus:

Abb. 1: Eingezeichnetes Dreieck

1.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt zeigen

In dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass für den Flächeninhalt $A$ der Dreiecke $A_nB_nC$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $A(\varphi)=25 \cdot \tan\frac{\varphi}{2} \text{ cm}^2$ . Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt folgende Formel:

$A=\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$

Hierbei ist bereits bekannt, dass $h_g= \overline{CM} = 5 \text{ cm}$ gilt. Nun ist also nur noch die Länge der Grundseite in Abhängigkeit von $\varphi$ gesucht. Hierzu musst du mit den Winkelfunktionen arbeiten. Zur Berechnung der Länge der Grundseite kannst du mit dem Tangens arbeiten. Dazu benötigst du ein rechtwinkliges Dreieck. Betrachte also zunächst das Dreieck $A_nMC$ mit dem Winkel $\dfrac{\varphi}{2}$ und berechne mit dem Tangens $\frac{g}{2}$ . Gehe wie folgt vor:

$g= 10 \text{ cm} \cdot \tan \frac{\varphi}{2}$

Teil A

Aufgabe A 1

Aufgabe A 2

Aufgabe A 3

Aufgabe A1

Aufgabe A2

Aufgabe A3