Teil B

Aufgabe B1

1.0

Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=3\cdot\text{log}_3(x+7)-4\,\,(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1

Gib die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_1$ an.

Zeichne sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\,\text{cm};-4\leqq x\leqq9; -6\leqq y\leqq4$

(2 P)

1.2

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\-2}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.

Bestätige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_2$ gilt:

$y=-3\cdot\text{log}_3(x+6)+2\,\,(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$

Zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in[-4;9]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(3 P)

1.3

Punkte $A_n(x\mid-3\cdot\text{log}_3(x+6)+2)$ auf dem Graphen zu $f_2$ und Punkte $D_n(x\mid 3\cdot\text{log}_3(x+7)-4)$ auf dem Graphen zu $f_1$ haben diesselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x\gt-3,46$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $C_n$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n.$ Die Punkte $B_n$ liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu $f_2$ , ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n.$

Zeichne das Parallelogramm $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-1,5$ und das Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$ für $x=4$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(2 P)

1.4

Zeige rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$A(x)=[12\cdot\text{log}_3(x^2+13x+42)-24]\,\text{FE}.$

(3 P)

1.5

Im Parallelogramm $A_3B_3C_3D_3$ liegt der Punkt $D_3$ auf der x-Achse.

Bestimme rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms $A_3B_3C_3D_3.$

(3 P)

1.6

Das Parallelogramm $A_4B_4C_4D_4$ hat einen Flächeninhalt von $16\,\text{FE}.$

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_4.$

(4 P)

Aufgabe B2

2.0

Die Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$ des Drachenvierecks $ABCD$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $ABCD$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S$ und der Höhe $[MS].$

Es gilt: $\overline{AC}=11\,\text{cm}$ ; $\overline{AM}=4,5\,\text{cm}$ ; $\overline{BD}=10\,\text{cm}$ ; $\overline{MS}=9\,\text{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ , wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^{\circ}.$

Berechne sodann das Maß des Winkels $MSC.$
[Ergebnis: $\sphericalangle MSC=35,84^{\circ}$ ]

(3 P)

2.2

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[CS].$ Die Winkel $P_nMS$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in ]0^{\circ};90^{\circ}].$ Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte von Dreiecken $BDP_n.$

Zeichne die Strecke $[MP_1]$ sowie das Dreieck $BDP_1$ für $\varphi=30^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5,27}{\sin(\varphi+35,84^{\circ})}\,\text{cm}.$

(3 P)

2.3

Das Dreieck $BDP_2$ ist gleichseitig. Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi.$

(3 P)

2.4

Die Pyramiden $BDSP_n$ haben die Grundfläche $BDS$ und die Spitzen $P_n.$ Die Höhenfußpunkte $F_n$ der Pyramiden $BDSP_n$ liegen auf der Strecke $[MS].$

Zeichne die Höhe $[F_1P_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Berechne sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $BDSP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi.$

Zwischenergebnis anzeigen

(3 P)

2.5

Die Pyramiden $ABDS$ und $BDSP_3$ haben das gleiche Volumen.

Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi.$

(3 P)

Aufgabe B1 Lösung

1.1

Asymptote
Da die Logarithmusfunktion an der Stelle $x=0$ nicht definiert ist, ergibt sich die Asymptote für den $x$ -Wert, für den das Innere der Logarithmusfunktion gleich $0$ ist.

Somit muss für die Asymptote $x + 7 = 0$ gelten, also $x= -7$ . Es ergibt sich folgende Funktionsgleichung: $h:\; x = -7$

Graph
Der Graph kann mithilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden:

x	y
-4	-1
-3	-0,21
-2	0,39
-1	0,89
0	1,31
1	1,68
2	2
3	2,29
4	2,55
5	2,79
6	3,00
7	3,21
8	3,39
9	3,57

Es ergibt sich folgender Graph:

1.2

Spiegeln an der $x$ -Achse ergibt:

$\left(\begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x \\ -\left(3 \cdot \log _{3}(x+7)-4\right) \end{array}\right)$

$y^{\prime}=-3 \cdot \log _{3}\left(x^{\prime}+7\right)+4$

Parallelverschiebung mit dem angegebenen Vektor $\vec{v}$ ergibt:

$\left(\begin{array}{c} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c} x^{\prime} \\ -3 \cdot \log _{3}\left(x^{\prime}+7\right)+4 \end{array}\right) \oplus\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{array}\right)$ $\(=\left(\begin{array}{c} x$

$\(x$ also ist $\(x$ . Einsetzen in $\(y$ ergibt:

$\(y$

$f_2: y=-3 \cdot \log _{3}\left( x+6\right)+2$

Graph
Der Graph der Funktion $f_2$ kann mithilfe einer Wertetabelle gezeichnet werden:

x	y
-4	0,11
-3	-1
-2	-1,79
-1	-2,39
0	-2,89
1	-3,31
2	-3,68
3	-4.
4	-4,29
5	-4,55
6	-4,79
7	-5.00
8	-5.21
9	-5.39

Es ergibt sich folgender Graph:

1.3

Schritte um das Parallelogramm zu konstruieren:

Angabe der Koordinaten von $A_1$ mit $x = -1,5$ und $A_2$ mit $x = 4$ ergibt: $A_1(-1,5 \mid f_2(-1,5))$ und $A_2(4 \mid f_2(4))$ .
Einzeichnen von $A_1$ und $A_2$ .
Angabe der Koordinaten von $D_1$ mit $x = -1,5$ und $D_2$ mit $x = 4$ ergibt: $D_1(-1,5 \mid f_1(-1,5))$ und $D_2(4 \mid f_1(4))$ .
Einzeichnen von $D_1$ und $D_2$ .
$B_n(x + 4 \mid f_2(x + 4))$
Angabe der Koordinaten von $B_1$ mit $x=-1,5$ und $B_2$ mit $x = 4$ ergibt: $B_1(-1,5 + 4 \mid f_2(-1,5 + 4))$ also $B_1(2,5 \mid f_2(2,5 ))$ und $B_2(4 + 4 \mid f_2(4 + 4))$ also $B_2(8 \mid f_2(8))$
Einzeichnen von $B_1$ und $B_2$ .
Vervollständigung des Parallelogramms, indem eine zu $[A_nB_n]$ gleichlange und parallele Strecke eingezeichnet wird.

1.4

$A=\overline{A_{n} D_{n}} \cdot d\left(A_{n} ; {B_{n} C_{n}}\right)$

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$A(x)=$ $\left[12 \cdot \log _{3}\left(x^{2}+13 x+42\right)-24\right] \text{FE}$

1.5

Berechnug der x-Koordinate des Punktes $D_3$ , für die dieser auf der $x$ -Achse liegt, also seine $y$ -Koordinate gleich $0$ ist:

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \log _{3}(x+7)-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 3 \cdot \log _{3}(x+7) &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \log _{3}(x+7) &=& \dfrac{4}{3} \\[5pt] x+7 &=& 3^\frac{4}{3} \\[5pt] x+7 &=& \sqrt[3]{3^4} &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] x &=& \sqrt[3]{3^4} - 7 \\[5pt] x & \approx & -2,67 \end{array}$

Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel aus 1.4:

$\mathrm{A}(-2,67) \approx 5,15$ FE

1.6

$x \in \mathbb{R} ; x>-3,46$

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$x^{2}+13 x+42 -\sqrt[3]{3^{10}} = 0$

Lösen mit der abc-Formel ergibt: $\mathbb{L}=\{-0,24\}$ . Hinweis: Die zweite Nullstelle ist nicht Teil der Lösungsmenge, da $x>-3,46$ vorgegeben ist.

Die Koordinaten von $B_{n}\left(x + 4\mid -3 \cdot \log _{3}(x+6)+2\right)$ für $x=-0,24$ sind

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$\mathrm{B}_{4}(3,76 \mid-4,22)$

Aufgabe B2 Lösung

2.1

Hinweis:

$q$ gibt den Verzerrungsfaktor an.
$\omega$ gibt den Neigungswinkel an

Konstruktionsverfahren:

Einzeichnen der Strecke $[AC].$
Einzeichnen der Strecke $[AM].$
Einzeichnen des Punktes $M.$
Einzeichnen der Strecke $[BC]$ , sodass diese im $45^\circ$ Winkel zur Strecke $[AC]$ steht, durch den Punkt $M$ verläuft, um den Faktor $2$ gestaucht wird und $\overline{BM} =$ $\overline{DM}$ gilt.
Einzeichnen der Strecke $[MS].$
Einzeichnen der Strecken $[AS],$ $[BS],$ $[CS],$ $[DS].$

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\sphericalangle MSC) &=& \dfrac{\overline{MC}}{\overline{MS}} \; \\[5pt] \tan (\sphericalangle MSC) &=& \dfrac{\overline{AC} - \overline{AM}}{\overline{MS}} \; \\[5pt] \tan (\sphericalangle MSC) &=& \dfrac{11-4,5}{9}&\quad \scriptsize \mid \; \tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle MSC &\approx& 35,84^\circ \end{array}$

2.2

Konstruktionsvorschrift:

Einzeichnen der Strecke $[MP_1]$ mit dem Winkel $\varphi=$ $\sphericalangle P_nMS =$ $30^\circ$
Einzeichnen der Strecke $[P_1B]$ und $[P_1D]$

Aus dem Sinussatz für das Dreieck $\mathrm{MP_nS}$ mit $\left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right]$ folgt:

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Somit gilt: $\overline{\mathrm{MP}}_{\mathrm{n}}(\varphi)$ $= \dfrac{5,27 \text{ cm}}{\sin \left(\varphi+35,84^{\circ}\right)}$

2.3

Um den Winkel $\varphi$ zu bestimmen, ist es sinnvoll zuerst die Länge der Strecke $\overline{MP_n}$ zu bestimmen und dann die Formel aus der Aufgabe 2.2 zu verwenden um $\varphi$ zu bestimmen.

Aus der Konstruktionsvorschrift folgt, dass $\overline{BM}$ $= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD}$ $=5 \text{cm}$ ist. Da das Dreieck $\mathrm{BDP}_{2}$ gleichseitig ist, sind auch alle Innenwinkel gleich groß und somit gilt auch folgendes: $\sphericalangle \mathrm{MBP}_2 = 60^\circ .$

Somit ergibt sich:

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$\overline{MP_2} \approx 8,66 \text{ cm}$

Gleichsetzen mit der Formel von 2.2 ergibt für $\left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right]$ :

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$\varphi = 1,64^\circ$

2.4

$\begin{array}[t]{rll} V &=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] V &=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{B D} \cdot \overline{M S} \cdot \overline{F_{n} P_{n}} \end{array}$

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$V(\varphi) = \dfrac{79,05 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+35,84^{\circ}\right)} \text{ cm}^{3}$

2.5

Für die Pyramide $\mathrm{BDSP}_3$ gilt $\overline{\mathrm{F}_{3} \mathrm{P}_{3}}$ $= \overline{AM}$ $=4,5 \text{ cm}.$

Somit ergibt sich folgende Gleichung für $\left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right]$ :

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$\varphi = 58,38^\circ$