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Teil B

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B 1.0
Die Punkte $A(-2|2)$ und $C(3|3)$ sind für $x< 8$ gemeinsam Eckpunkte von Vierecken $AB_nCD_n$. Die Eckpunkte $B_n(x|0,5x)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=0,5x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[AC]$.
Für die Diagonalen $[B_nD_n]$ gilt: $M \in [B_nD_n]$ und $\overrightarrow{B_nD_n}=3,5\cdot \overrightarrow{B_nM}$.
Runde im Folgenden auf zwei stellen nach dem Komma.
B 1.1
Zeigen rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=\log_{0,5}x-0,75$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ hat.
(2 P)
B 1.2
Zeichne die Graphen zu $f_1$ und $f_2$ für $x \in [0,5;11]$ in ein Koordinatensystem.
Berechne dann die Nullstellen der Funktion $f_1$.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm};$ $-1\leq x \leq 12;$ $-5 \leq y \leq 6$
(4 P)
#nullstelle
B 1.3
Punkte $A_n(x|-2\cdot \log_{0,5}x-1,5)$ auf dem Graphen zu $f_1$ haben die selbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|\log_{0,5}x-0,75)$ auf dem Graphen zu $f_2$. Sie sind für $x>1,19$ zusammen mit Punkten $C_n$ Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$.
Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1,5 \end{array}\right)$.
Zeichne das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=2$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=7$ in das Koordinatensystem zu B 1.2 ein.
(2 P)
#dreieck
B 1.4
Das Dreieck $A_1B_1C_1$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_3B_3]$.
Bestimme rechnerisch die $x$-Koordinate des Punktes $A_3$.
(4 P)
#gleichschenkligesdreieck
B 1.5
Berechne die Koordinaten des Schwerpunkte $S_n$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ und gebe die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_n$ an.
Zeichne dann die Schwerpunkte $S_1$ und $S_2$ der Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ in das Koordinatensystem zu $B~1.2$ ein.
(5 P)
B 2.0
Die Punkte $A(-2|2)$ und $C(3|3)$ sind für $x<8$ gemeinsame Echpunkte von Vierecken $AB_nCD_n$. Die Eckpunkte $B_n(x|0,5x)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=0,5x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[AC]$.
Für die Diagonalen $[B_nD_n]$ gilt: $M \in [B_nD_n]$ und $\overrightarrow{B_nD_n}=3,5 \cdot \overrightarrow{B_nM}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1
Zeichne die Gerade $g$ und das Viereck $AB_1CD_1$ für $x=0,5$ sowie die Diagonalen $[AC]$ und $[B_1D_1]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm};$ $-5 \leq x \leq 5;$ $ -2\leq y \leq 10$
(2 P)
B 2.2
Berechne die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.
[Ergebnis: $D_n(-2,5x+1,75|-1,25x+8,75)$]
(3 P)
B 2.3
Bestimme die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$.
(2 P)
#ortslinie
B 2.4
Unter den Vierecken $AB_nCD_n$ gibt es das Drachenviereck $AB_2CD_2$.
Zeige rechnerisch, dass für die $x$-Koordinate des Punktes $B_2$ gilt: $x=0,91$.
Berechne dann den Flächeninhalt des Drachenvierecks $AB_2CD_2$.
(5 P)
#drachenviereck
B 2.5
Der Punkt $C'$ entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes $C$ an der Geraden $g$.
Für das Dreieck $AB_3CD_3$ gilt: $B_3\in [AC']$.
Berechne die Koordinaten von $C'$ und zeichne dann das Viereck $AB_3CD_3$ in das Koordinatensystem zu $B~2.1$ ein.
(3 P)
B 2.6
Begründe, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke $AMD_n$ und $MB_nC$ gilt: $A_{AMD_n}:A_{MB_nC}=2,5:1$
(2 P)
#flächeninhalt
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