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Teil B

Aufgaben
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B 1.0
Die Punkte $A(-2|2)$ und $C(3|3)$ sind für $x< 8$ gemeinsam Eckpunkte von Vierecken $AB_nCD_n$. Die Eckpunkte $B_n(x|0,5x)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=0,5x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[AC]$.
Für die Diagonalen $[B_nD_n]$ gilt: $M \in [B_nD_n]$ und $\overrightarrow{B_nD_n}=3,5\cdot \overrightarrow{B_nM}$.
Runde im Folgenden auf zwei stellen nach dem Komma.
B 1.1
Zeigen rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=\log_{0,5}x-0,75$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ hat.
(2 P)
B 1.2
Zeichne die Graphen zu $f_1$ und $f_2$ für $x \in [0,5;11]$ in ein Koordinatensystem.
Berechne dann die Nullstellen der Funktion $f_1$.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm};$ $-1\leq x \leq 12;$ $-5 \leq y \leq 6$
(4 P)
#nullstelle
B 1.3
Punkte $A_n(x|-2\cdot \log_{0,5}x-1,5)$ auf dem Graphen zu $f_1$ haben die selbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|\log_{0,5}x-0,75)$ auf dem Graphen zu $f_2$. Sie sind für $x>1,19$ zusammen mit Punkten $C_n$ Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$.
Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1,5 \end{array}\right)$.
Zeichne das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=2$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=7$ in das Koordinatensystem zu B 1.2 ein.
(2 P)
#dreieck
B 1.4
Das Dreieck $A_1B_1C_1$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_3B_3]$.
Bestimme rechnerisch die $x$-Koordinate des Punktes $A_3$.
(4 P)
#gleichschenkligesdreieck
B 1.5
Berechne die Koordinaten des Schwerpunkte $S_n$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ und gebe die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_n$ an.
Zeichne dann die Schwerpunkte $S_1$ und $S_2$ der Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ in das Koordinatensystem zu $B~1.2$ ein.
(5 P)
B 2.0
Die Punkte $A(-2|2)$ und $C(3|3)$ sind für $x<8$ gemeinsame Echpunkte von Vierecken $AB_nCD_n$. Die Eckpunkte $B_n(x|0,5x)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=0,5x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Diagonalen $[AC]$.
Für die Diagonalen $[B_nD_n]$ gilt: $M \in [B_nD_n]$ und $\overrightarrow{B_nD_n}=3,5 \cdot \overrightarrow{B_nM}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1
Zeichne die Gerade $g$ und das Viereck $AB_1CD_1$ für $x=0,5$ sowie die Diagonalen $[AC]$ und $[B_1D_1]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1~\text{cm};$ $-5 \leq x \leq 5;$ $ -2\leq y \leq 10$
(2 P)
B 2.2
Berechne die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.
[Ergebnis: $D_n(-2,5x+1,75|-1,25x+8,75)$]
(3 P)
B 2.3
Bestimme die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$.
(2 P)
#ortslinie
B 2.4
Unter den Vierecken $AB_nCD_n$ gibt es das Drachenviereck $AB_2CD_2$.
Zeige rechnerisch, dass für die $x$-Koordinate des Punktes $B_2$ gilt: $x=0,91$.
Berechne dann den Flächeninhalt des Drachenvierecks $AB_2CD_2$.
(5 P)
#drachenviereck
B 2.5
Der Punkt $C'$ entsteht durch Achsenspiegelung des Punktes $C$ an der Geraden $g$.
Für das Dreieck $AB_3CD_3$ gilt: $B_3\in [AC']$.
Berechne die Koordinaten von $C'$ und zeichne dann das Viereck $AB_3CD_3$ in das Koordinatensystem zu $B~2.1$ ein.
(3 P)
B 2.6
Begründe, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke $AMD_n$ und $MB_nC$ gilt: $A_{AMD_n}:A_{MB_nC}=2,5:1$
(2 P)
#flächeninhalt
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Lösungen
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B 1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung der Funktion $f_2$ zeigen
Die Funktion $f_1$ lässt sich in Vektorschreibweise als
$f_1=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x\\ -2\cdot \log_{0,5}x-1,5 \end{array}\right)$
$ f_1=\left(\begin{array}{c} x\\ -2\cdot \log_{0,5}x-1,5 \end{array}\right) $
schreiben. Unter „orthogonaler Affinität mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=-0,5$“ versteht man eine senkrechte Streckung (orthogonal zur $x$-Achse) um den Faktor $k=-0,5$. Damit erhältst du die veränderte Funktion:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c} x \\ k\cdot y \end{array}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x \\ -0,5\cdot (-2\cdot \log_{0,5}x-1,5) \end{array}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x \\ \log_{0,5}x+0,75 \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x \\ k\cdot y \end{array}\right) \\[5pt] =\left(\begin{array}{c} x \\ \log_{0,5}x+0,75 \end{array}\right) \end{array}$
Danach musst du diese Funktion noch um den Vektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{c} 0 \\-1,5 \end{array}\right)$ verschieben, um die Funktion $f_2$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\begin{array}{c} x'' \\ y'' \end{array}\right)&=& \left(\begin{array}{c} x' \\y' \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\-1,5 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x' \\y'-1,5 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x \\\log_{0,5}x+0,75-1,5 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x \\\log_{0,5}x-0,75 \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(\begin{array}{c} x'' \\ y'' \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} x' \\y' \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\-1,5 \end{array}\right) \\[5pt] =\left(\begin{array}{c} x \\\log_{0,5}x-0,75 \end{array}\right) \end{array}$
Damit gilt für die Funktion $f_2$:
$f_2:\quad y=\log_{0,5}x-0,75$
#verschiebung
B 1.2
$\blacktriangleright$  Funktionen zeichnen
Durch Einzeichnen der Funktionen $f_1$ und $f_2$ erhältst du:
Teil B
Abb. 1: Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$
Teil B
Abb. 1: Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$
$\blacktriangleright$  Nullstelle berechnen
Um die Nullstelle der Funktion $f_1$ zu erhalten, musst du diese gleich null setzen und nach $x$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} -2\cdot \log_{0,5}x-1,5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1,5 \\[5pt] -2\cdot \log_{0,5}x&=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \log_{0,5}x&=& -0,75 &\quad \scriptsize \mid\; 0,5^{\square} \\[5pt] x&=& 0,5^{-0,75} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 1,68 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -2\cdot \log_{0,5}x-1,5= 0 \\[5pt] x \approx 1,68 \end{array}$
B 1.3
$\blacktriangleright$  Dreiecke einzeichnen
Fange mit den Punkten $A_1$, $B_1$, $A_2$ und $B_2$ an, indem du die Punkte auf die jeweiligen Graphen bei $x=2$, bzw. $x=7$ einzeichnest:
$\begin{array}[t]{rll} &A_1(2|-2\cdot\log{0,5}2-1,5)&=& A_1(2|0,5) &\quad \scriptsize \\[5pt] &B_1(2|\log{0,5}2-0,75)&=& B_1(2|-1,75) &\quad \scriptsize \\[5pt] &A_2(7|-2\cdot\log{0,5}7-1,5)&\approx& A_2(7|4,1) &\quad \scriptsize \\[5pt] &B_1(7|\log{0,5}7-0,75)&\approx& B_2(7|3,6) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ A_1(2|0,5) \\[5pt] B_1(2|-1,75) \\[5pt] A_2(7|4,1) \\[5pt] B_2(7|3,6) $
Zeichne danach die Vektoren $\overrightarrow{A_1C_1}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1,5 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{A_2C_2}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1,5 \end{array}\right)$, um $C_1$ und $C_2$ zu finden.
Verbinde jetzt die Punkte, um die Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$ zu erhalten.
Teil B
Abb. 2: Graphen $f_1$ und $_2$ mit den Dreiecken $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_3$
Teil B
Abb. 2: Graphen $f_1$ und $_2$ mit den Dreiecken $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_3$
B 1.4
$\blacktriangleright$  Berechnen der $x$-Koordinate
Da das Dreieck $A_3B_3C_3$ gleichschenklig mit der Basis $[A_3B_3]$ ist, sind die Seiten $[A_3C_3]$ und $[B_3C_3]$ gleich lang. Wegen des $y$-Wertes des Vektors $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1,5 \end{array}\right)$ ist die Strecke $[A_3B_3]$ gerade $2\cdot 1,5~\text{LE}$ lang.
Außerdem gilt für die Strecke $[A_nB_n]$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nB_n}&=& y_{A_n}-y_{B_n} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& [-2\cdot \log_{0,5}x-1,5,(\log_{0,5}x-0,75)]~\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& (-3\cdot \log_{0,5}x-0,75) ~\text{LE}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{A_nB_n}= y_{A_n}-y_{B_n} \\[5pt] = (-3\cdot \log_{0,5}x-0,75) ~\text{LE} $
Setzt du diesen Ausdruck mit der zuvor bestimmten Strecke $\overline{A_3B_3}=3~\text{LE}$ gleich, kannst du nach $x$ auflösen, um die $x$-Koordinate der Punkte $A_3$ und $B_3$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} (-3\cdot \log_{0,5}x-0,75) ~\text{LE}&=&3~\text{LE} &\quad \scriptsize \mid\; +0,75 \\[5pt] -3\cdot \log_{0,5}x &=& 3,75 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] \log_{0,5}x &=& -1,25 &\quad \scriptsize \mid\; 0,5^{\square} \\[5pt] x&\approx& 2,38 \end{array}$
$ x\approx 2,38 $
B 1.5
$\blacktriangleright$  Berenen der Koordinaten des Schwerpunkte
Um die Schwerpunkte der Dreiecke zu bestimmen, brauchst du die Koordinaten aller Punkte. Die fehlenden Koordinaten der Punkte $C_n$ kannst du berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC_n}&=& \overrightarrow{OA_n}+\overrightarrow{A_nC_n} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} x \\ -2\cdot \log_{0,5}x-1,5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1,5 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x+4 \\ -2\cdot \log_{0,5}x-1,5-1,5 \end{array}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x+4 \\ -2\cdot \log_{0,5}x-3 \end{array}\right) \end{array}$
$ \overrightarrow{OC_n}= \overrightarrow{OA_n}+\overrightarrow{A_nC_n} \\[5pt] =\left(\begin{array}{c} x+4 \\ -2\cdot \log_{0,5}x-3 \end{array}\right) $
Für den Schwerpunkt der Dreiecke gilt:
$\begin{array}[t]{rll} & S_n\left(\dfrac{x_{A_n}+ x_{B_n}+ x_{C_n}}{3} \,\bigg \vert \, \dfrac{y_{A_n}+ y_{B_n}+ y_{C_n}}{3} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] =& S_n\left(\dfrac{x+x+(x+4)}{3} \,\bigg \vert \, \dfrac{-2\cdot \log_{0,5}x-1,5+\log_{0,5}x-0,75-2\cdot \log_{0,5}x-3}{3} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] =& S_n\left(\dfrac{3x+4)}{3} \,\bigg \vert \, \dfrac{-3\cdot \log_{0,5}x-5,25}{3} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \approx& S_n\left(x+1,33 \,\bigg \vert \, -\log_{0,5}x-1,75 \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ S_n(…|…) $
Der Trägergraph (oder die Ortskurve) ist der Graph, welcher durch die Schwerpunkte aller Dreiecke läuft. Hierfür musst du den Wert der $x$-Koordinate $x'=x+1,33$ in die Gleichung der $y$-Werte $y=-\log_{0,5}x'-1,75$ einsetzen. Damit erhältst du für den Trägergraphen:
$y=-\log_{0,5}x'-1,75=-\log_{0,5}(x-1,33)-1,75$
$ y=-\log_{0,5}(x-1,33)-1,75 $
$\blacktriangleright$  Einzeichnen der Schwerpunkte $S_1$ und $S_2$
Setzt $x=2$ und $x=7$ in die gerade berechnete Formel für $S_n$ ein, um $S_1$ und $S_2$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} S_1\left(2+1,33\,\bigg \vert \,-\log_{0,5}2-1,75\right)&=& S_1\left(3,33\,\bigg \vert \,-0,75\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] S_2\left(7+1,33\,\bigg \vert \,-\log_{0,5}7-1,75\right)&\approx& S_2\left(8,33\,\bigg \vert \,1,06\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ S_1\left(3,33\,\bigg \vert \,-0,75\right) \\[5pt] S_2\left(8,33\,\bigg \vert \,1,06\right) $
Teil B
Abb. 3: Graphen $f_1$, $f_1$ mit den Schwerpunkten $S_1$ und $S_2$ der Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$
Teil B
Abb. 3: Graphen $f_1$, $f_1$ mit den Schwerpunkten $S_1$ und $S_2$ der Dreiecke $A_1B_1C_1$ und $A_2B_2C_2$
#koordinaten
B 2.1
$\blacktriangleright$  Einzeichnen der Gerade und Punkte
Fange mit der Gerade $g$ und den Punkten $A(-2|2)$, $B_1(0,5|0,5\cdot 0,5)=B_1(0,5|0,25)$ und $C(3|3)$, gefolgt von der Diagonalen $[AC]$ und deren Mittelpunkt $M(0,5|2,5)$ an. Dann kannst du den Vektor $\overrightarrow{B_1M}$ einzeichnen und ausmessen. Für den Punkt $D_1$ multiplizierst du den Vektor $\overrightarrow{B_1M}$ mit $3,5$ und zeichnest den neuen Vektor $\overrightarrow{B_1D_1}$ ein. Jetzt kannst du auch den Punkt $D_1$ einzeichnen und die Diagonale $[B_1D_1]$:
Teil B
Abb. 4: Viereck $AB_1CD_1$ und gerade $g$
Teil B
Abb. 4: Viereck $AB_1CD_1$ und gerade $g$
#koordinaten#vektoren
B 2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Für die Punkte $D_n$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD_n}&=&\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nD_n} &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{B_nD_n}=3,5\cdot \overrightarrow{B_nM} \\[5pt] &=&\overrightarrow{OB_n}+3,5 \cdot \overrightarrow{B_nM} \end{array}$
$ \overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{OB_n}+\overrightarrow{B_nD_n} \\[5pt] =\overrightarrow{OB_n}+3,5 \cdot \overrightarrow{B_nM} $
Um den Vektor $\overrightarrow{B_nM}$ zu berechnen, benötigst du zuerst den Punkt $M$. Diesen erhältst du mit:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AC} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c} 3-(-2) \\3-2 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 2,5 \\0,5 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} 0,5 \\ 2,5 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt] =\left(\begin{array}{c} 0,5 \\ 2,5 \end{array}\right) $
Jetzt kannst du den Vektor $\overrightarrow{B_nM}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{B_nM}&=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB_n} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} 0,5 \\ 2,5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} x \\ 0,5x \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} 0,5-x \\ 2,5-0,5x \end{array}\right) \end{array}$
$ \overrightarrow{B_nM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB_n} \\[5pt] =\left(\begin{array}{c} 0,5-x \\ 2,5-0,5x \end{array}\right) $
Und damit gilt für $D_n$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD_n}&=&\overrightarrow{B_n}+3,5\cdot \overrightarrow{B_nM} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x \\ 0,5x \end{array}\right)+3,5 \cdot \left(\begin{array}{c} 0,5-x \\ 2,5-0,5x \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} x \\ 0,5x \end{array}\right)+ \cdot \left(\begin{array}{c} 1,75-3,5x \\ 8,75-1,75x \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} 1,75-2,5x \\ 8,75-1,25x \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OD_n}=\overrightarrow{B_n}+3,5\cdot \overrightarrow{B_nM} \\[5pt] =\left(\begin{array}{c} 1,75-2,5x \\ 8,75-1,25x \end{array}\right) $
Oder in Punktschreibweise: $D_n\left(-2,5x+1,75\,\bigg \vert \, -1,25x+8,75 \right)$
#vektoren
B 2.3
$\blacktriangleright$  Trägergraph bestimmen
Um den Trägergraphen (die Ortskurve) zu bestimmen, musst du zuerst die Punkte $D_n$ in deren $x$- und $y$-Gleichung aufteilen:
$\begin{array}[t]{rll} x_{D_n}&=& -2,5x+1,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] y_{D_n}&=& -1,25x+8,75 \end{array}$
Löse jetzt die $x_{D_n}$-Gleichung nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} x_{D_n}&=& -2,5x+1,75 &\quad \scriptsize \mid\; -1,75 \\[5pt] x_{D_n}-1,75&=& -2,5x &\quad \scriptsize \mid\; :(-2,5) \\[5pt] 0,7-\dfrac{x_{D_n}}{2,5}&=& x \end{array}$
$ x_{D_n}= -2,5x+1,75 ) \\[5pt] x=0,7-\dfrac{x_{D_n}}{2,5}$
Setze nun das berechnete $x$ in die $y_{D_n}$-Gleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} y_{D_n}&=& -1,25\cdot \left(0,7-\dfrac{x_{D_n}}{2,5} \right)+8,75 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -0,875+0,5x_{D_n} + 8,75&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,5 x_{D_n} + 7,875 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ y_{D_n}= 0,5 x_{D_n} + 7,875 $
Damit ist der Trägergraph der Punkte $D_n$:
$y\approx 0,5 x + 7,88$
B 2.4
$\blacktriangleright$  $x$-Koordinate zeigen
Teil B
Abb. 5: Skizze des Drachenvierecks $AB_2CD_2$
Teil B
Abb. 5: Skizze des Drachenvierecks $AB_2CD_2$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Für den Flächeninhalt $A_{AB_2CD_2}$ gilt:
$A_{AB_2CD_2}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{B_2D_2}$
Die Längen der Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{B_2D_2}$ erhältst du aus den Beträgen der Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{B_2D_2}$:
$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AC}|&=&\,\bigg \vert \, \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \end{array}\right) \,\bigg \vert \, &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{5^2+1^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 5,10 ~\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt] |\overrightarrow{B_2D_2}|&=& 3,5 \cdot \,\bigg \vert \, \left(\begin{array}{c} 0,5-0,91 \\ 2,5-0,5\cdot 0,91 \end{array}\right) \,\bigg \vert \, &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,5 \cdot \sqrt{(0,5-0,91)^2+(2,5-0,5\cdot0,91)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 7,3 ~\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ |\overrightarrow{AC}|\approx 5,10 ~\text{LE} \\[5pt] |\overrightarrow{B_2D_2}|\approx 7,3 ~\text{LE} $
Und damit den Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{AB_2CD_2}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{B_2D_2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&\dfrac{1}{2} \cdot 5,1~\text{LE} \cdot 7,3~\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 18,65 ~\text{FE} \end{array}$
$ A_{AB_2CD_2}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{B_2D_2} \\[5pt] \approx 18,65 ~\text{FE}$
#flächeninhalt#vektorbetrag
B 2.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Um den Punkt $C$ an der Ursprungsgeraden $g$ zu spiegeln benötigst du zuerst den Steigungswinkel $\phi$ der Geraden $g$. Diesen erhältst du über die Beziehung zur Steigung $m=0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\phi)&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \phi &\approx& 26,57 \end{array}$
Für den Punkt $C'$ gilt mit der Abbildungsmatrix $A=\left(\begin{array}{c c} \cos(2\phi) & \sin(2\phi) \\ \sin(2\phi) & -\cos(2\phi) \end{array}\right)$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC'}&=& A \circ \overrightarrow{OC} &\quad \scriptsize \\[5pt] \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right)&=& \left(\begin{array}{c c} \cos(2\cdot 26,57) & \sin(2\cdot 26,57) \\ \sin(2\cdot 26,57) & -\cos(2\cdot 26,57) \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{c} 3\cdot \cos(2\cdot 26,57)+3\cdot \sin(2\cdot 26,57) \\ 3\cdot \sin(2\cdot 26,57)-3\cdot \cos(2\cdot 26,57) \end{array}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& \left(\begin{array}{c} 4,2 \\ 0,6 \end{array}\right) \end{array}$
$ \overrightarrow{OC'}= A \circ \overrightarrow{OC} \\[5pt] \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c} 4,2 \\ 0,6 \end{array}\right) $
Somit ist $C'\left(4,2\,\bigg \vert \, 0,6\right)$.
$\blacktriangleright$  Dreieck $AB_3CD_3$ einzeichnen
Fange mit dem Punkt $C'$ an und zeichne die Verbindungslinie $\overline{C'A}$. Deren Schnittpunkt mit der Geraden $g$ ist der Punkt $B$. Jetzt kannst du wie in $B~2.1$ den Vektor zum Mittelpunkt einzeichnen, ausmessen und diesen mit $3,5$ multiplizieren, um $\overrightarrow{B_3D_3}$ zu erhalten. Mit diesem kannst du $D_3$ einzeichnen und die Eckpunkte verbinden.
Teil B
Abb. 6: Viereck $AB_3CD_3$
Teil B
Abb. 6: Viereck $AB_3CD_3$
#spiegelung
B 2.6
$\blacktriangleright$  Begründe den Flächeninhalt
Teil B
Abb. 6: Skizze der Dreiecke $AMD_n$ und $B_nMC$
Teil B
Abb. 6: Skizze der Dreiecke $AMD_n$ und $B_nMC$
Setze diese Ausdrücke in die Formel für $A_{AMD_n}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} A_{AMD_n}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{MC} \cdot 2,5 \cdot \overline{MB_n}\cdot \sin(\sphericalangle B_nMC) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5\cdot A_{B_nMC} \end{array}$
$ A_{AMD_n}=2,5\cdot A_{B_nMC} $
Damit hast du das Verhältnis $A_{AMD_n}:A_{MB_nC}=2,5:1$ gezeigt.
#flächeninhalt#winkel
Bildnachweise [nach oben]
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