Aufgabe 1

B 1

Gegeben ist die Funktion Formula: f_1 mit einer Gleichung der Form $Formula: y=\log_2(x+b)+1\;$ $Formula: y=\log_2(x+b)+1\;$ $Formula: (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} ; b \in \mathbb{R}).$ $Formula: (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} ; b \in \mathbb{R}).$ Der Graph zu schneidet die -Achse im Punkt $Formula: P(0 \mid 3).$ $Formula: P(0 \mid 3).$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 1.1

Zeige rechnerisch, dass die Funktion Formula: f_1 die Gleichung $Formula: y=\log_2(x+4)+1$ $Formula: y=\log_2(x+4)+1$ besitzt.

Zeichne sodann den Graphen zu Formula: f_1 für $Formula: x \in[-3,5 ; 6]$ $Formula: x \in[-3,5 ; 6]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1\;\mathrm{cm} ;-6 \leqq x \leqq 6 ;-2 \leqq y \leqq 5$ $Formula: 1\;\mathrm{cm} ;-6 \leqq x \leqq 6 ;-2 \leqq y \leqq 5$

3 BE

B 1.2

Der Graph der Funktion Formula: f_1 wird durch Achsenspiegelung an der Formula: x -Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $Formula: \overrightarrow{v}=\pmatrix{-2 \\ 3}$ $Formula: \overrightarrow{v}=\pmatrix{-2 \\ 3}$ auf den Graphen der Funktion Formula: f_2 abgebildet.

Zeige rechnerisch, dass die Funktion Formula: f_2 die Gleichung $Formula: y=-\log_2(x+6)+2$ $Formula: y=-\log_2(x+6)+2$ mit $Formula: \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ besitzt.

Zeichne sodann den Graphen zu Formula: f_2 für $Formula: x \in[-5,5 ; 6]$ $Formula: x \in[-5,5 ; 6]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

3 BE

B 1.3

Punkte $Formula: A_n\left(x \mid \log_2(x+4)+1\right)$ $Formula: A_n\left(x \mid \log_2(x+4)+1\right)$ auf dem Graphen zu Formula: f_1 haben dieselbe Abszisse Formula: x wie Punkte $Formula: C_n\left(x \mid-\log 2(x+6)+2\right)$ $Formula: C_n\left(x \mid-\log 2(x+6)+2\right)$ auf dem Graphen zu Formula: f_2. Zusammen mit Punkten Formula: B_n sind sie für $Formula: x\gt-3,26$ $Formula: x\gt-3,26$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken Formula: A_n B_n C_n mit den Hypotenusen $Formula: \left[\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n\right].$ $Formula: \left[\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n\right].$ Es gilt: $Formula: \overline{A_n B_n}=4\;\mathrm{LE}.$ $Formula: \overline{A_n B_n}=4\;\mathrm{LE}.$

Zeichne in das Koordinatensystem zu B 1.1 die Dreiecke Formula: A_1 B_1 C_1 für Formula: x=-1 und Formula: A_2 B_2 C_2 für Formula: x=5 ein.

2 BE

B 1.4

Zeige, dass für die Länge der Strecken $Formula: \left[A_n C_n\right]$ $Formula: \left[A_n C_n\right]$ in Abhängigkeit von der Abszisse Formula: x der Punkte Formula: A_n gilt:

$Formula: \overline{A_n C_n}(x)=\left[\log_2\left(x^2+10 x+24\right)-1\right]\;\mathrm{LE}.$ $Formula: \overline{A_n C_n}(x)=\left[\log_2\left(x^2+10 x+24\right)-1\right]\;\mathrm{LE}.$