Teil A

A 1.0

Es werden zwei Versuche zur Abkühlung von heißem Wasser durchgeführt. Der Temperaturverlauf während dieser Versuche lässt sich jeweils näherungsweise durch die Expotentialfunktion der Form $y=(y_A-y_U)\cdot 0,9^x+y_U$ $\mathbb{G}=\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+, y_A\in \mathbb{R}^+)$ beschreiben.

Dabei ist nach $x$ Minuten die Temperatur des Wassers auf $y~^{\circ}\text{C}$ gesunken. Die Anfangstemperatur des Wassers beträgt $y_A~^{\circ}\text{C}$ und die Umgebungstemperatur $y_U~^{\circ}\text{C}$ .

Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 1.1

Im ersten Versuch kühlt $95~^{\circ}\text{C}$ heißes Wasser in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von $20~^{\circ}\text{C}$ ab.
Berechne, nach welcher Zeit die Wassertemperatur auf $60~^{\circ}\text{C}$ gesunken ist.

(2 P)

A 1.2

Im zweiten Versuch kühlt $72~^{\circ}\text{C}$ heißes Wasser in einem ersten Raum mit einer Umgebungstemperatur von $18~^{\circ}\text{C}$ für $3$ Minuten ab. Anschließend wird der Abkühlungsvorgang in einem zweiten Raum für weitere $8$ Minuten fortgesetzt, bis das Wasser eine Temperatur von $39~^{\circ}\text{C}$ besitzt.

Berechne die Umgebungstemperatur im zweiten Raum.

(3 P)

A 2.0

Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit der Basis $[BC]$ und der Höhe $[AM]$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$ mit der Spitze $S$ . Der Punkt $D\in[AM]$ ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe $[DS]$ , die senkrecht auf der Grundfläche steht.

Es gilt: $\overline{AM}=8~\text{cm};\quad$ $\overline{AD}=4,5~\text{cm};\quad$ $\overline{DS}=8,5~\text{cm}.$

Die untenstehende Zeichung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $ABCS$ .

In der Zeichung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \quad$ $\omega=45^{\circ};\quad$ $[AM]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Abb. 1: Pyramide $ABCS$

A 2.1

Berechne das Maß des Winkels $MAC$ .

[Ergebnis: $\sphericalangle MAC = 32,01^{\circ}$ ]

(1 P)

A 2.2

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[DS]$ . Die Winkel $DAP_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ~]0^{\circ}; 62,10^{\circ}[$ .

Zeichne den Punkt $P_1$ und die Strecke $[AP_1]$ für $\phi=40^{\circ}$ in das Schrägbild zu $A~2.0$ ein.

(1 P)

A 2.3

Durch die Punkte $P_n$ verlaufen zur Grundfläche $ABC$ parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide $ABCS$ in Punkten $E_n \in [BS]$ , $F_n\in [BS]$ und $G_n \in [CS]$ und die Strecke $[MS]$ in Punkten $N_n$ schneiden. Die Dreiecke $E_nF_nG_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $E_nF_nG_nD$ mit der Spitze $D$ .

Zeichne die Pyramide $E_1F_1G_1D$ und den Punkt $N_1$ in das Schrägbild zu $A~2.0$ ein.

(1 P)

A 2.4

Berechne die Längen der Strecken $[DP_n]$ und $[E_nN_n]$ in Anhängigkeit von $\phi$ .

[Ergebnisse: $\overline{DP_n}(\phi)=4,5\cdot \tan(\phi) ~\text{cm};\quad$ $\overline{E_nN_n}(\phi)=(8-4,24\cdot \tan(\phi)~\text{cm}$ ]

(3 P)

A 2.5

Berechne das Volumen der Pyramide $E_1F_1G_1D$ .

(3 P)

A 3.0

Gegeben sind Dreiecke $AB_nC$ mit der Seitenlänge $\overline{AC}=4~\text{cm}.$

Die Winkel $B_nAC$ haben das Maß $\alpha$ mit $\alpha \in ]0^{\circ}; 60^{\circ}[.$

Das Maß der Winkel $ACB_n$ ist doppelt so groß wie das Maß der winkel $B_nAC.$

A 3.1

Ergänze die Zeichnung zum Dreieck $AB_1C$ mit $\alpha=50^{\circ}$ .

Abb. 2: Zeichnung A 3.1

(1 P)

A 3.2

Bestimme die Länge der Strecken $[B_nC]$ in Abhängigkeit von $\alpha$ und vereinfache mithilfe einer Supplementbeziehung.

(2 P)

A 3.3

Das Dreieck $AB_2C$ ist gleichschenklig mit der Basis $[AB_2]$ .

Begründe, dass das Dreieck $AB_2C$ rechtwinklig ist.

(2 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[2]

A 1.1

$\blacktriangleright$ Zeit berechnen

Aus dem Aufgabentext kannst du $y_A=95~^{\circ}\text{C}$ , $y_U=20~^{\circ}\text{C}$ und $y=60~^{\circ}\text{C}$ ablesen. Setze nun alle Informationen in die gegebene Gleichung ein und löse diese nach $x$ auf:

$x\approx 6,0$

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Die Wassertemperatur ist also nach $6$ Minuten auf $60~^{\circ}\text{C}$ gesunken.

A 1.2

$\blacktriangleright$ Temperatur nach erstem Raum berechnen

Für den ersten Raum kannst du $y_A=72~^{\circ}\text{C}$ und $y_U=18~^{\circ}\text{C}$ aus der Aufgabenstellung ablesen. Damit gilt für die Temperatur nach $x=3$ Minuten:

$y(3) \approx 57,4~^{\circ}\text{C}$

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$\blacktriangleright$ Temperatur des zweiten Raumes berechnen

Mit der neuen Anfangstemperatur $y_A=57,4~^{\circ}\text{C}$ und den Angaben $x=8$ und $y(8)=39~^{\circ}\text{C}$ erhältst du für die Umgebungstemperatur $y_u$ :

$y_U\approx 25,1~^{\circ}\text{C}$

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Im zweiten Raum herrscht also eine Temperatur von $y_U=25,1~^{\circ}\text{C}$ .

A 2.1

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Da das Dreieck $ABC$ gleichschenklig mit der Basis $[BC]$ ist, erhältst du die Strecke $[MC]$ mit:

$\overline{MC}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}=5~\text{cm}$

Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck $ACM$ für den Winkel $\alpha=\sphericalangle MAC$ :

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{MC}}{\overline{AM}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \alpha&\approx& 32,01^{\circ} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

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A 2.2

$\blacktriangleright$ Punkt und Strecke einzeichnen

Mithilfe der Winkelangabe $\sphericalangle DAP_1=\phi =40~^{\circ}$ , kannst du eine Linie ziehen, die sich mit der Höhe $[DS]$ schneidet. Der Schnittpunkt ist der Punkt $P_1$ :

Abb. 1: Pyramide $ABCS$ mit Strecke $[AP_1]$

A 2.3

$\blacktriangleright$ Pyramide einzeichnen

Zeichne zuerst die Punkte $E_1$ und $N_1$ , die auf der gleichen Höhe wie $P_1$ liegen, ein. Danach kannst du im $45^{\circ}$ Winkel zur Horizontalen eine Linie durch $N_1$ ziehen. Diese schneidet die Strecken $[BS]$ und $[CS]$ in den Punkten $F_1$ und $G_1$ .

Abb. 2l: Skizze mit Pyramide $E_nF_nG_nD$

A 2.4

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $[DP_n]$ berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck $ADP_n$ gilt mit dem Tangens:

$\tan(\phi)= \dfrac{\overline{DP_n}}{\overline{AD}} \\[5pt] \overline{DP_n}= 4,5\cdot \tan(\phi) ~\text{cm}$

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$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $[E_nN_n]$ berechnen

Mit dem Strahlensatz gilt:

$\dfrac{\overline{E_nN_n}}{\overline{AM}}=\dfrac{\overline{P_1S}}{\overline{DS}} \\[5pt] \overline{E_nN_n}\approx 8-4,24\cdot \tan(\phi)$

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A 2.5

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Für das Volumen einer Pyramide gilt:

$A=\dfrac{1}{3}\cdot Grundseite \cdot Höhe$

Die Höhe ist hier durch $DP_1$ gegeben und lässt sich durch die zuvor berechnete Bedingung mit $\phi=40^{\circ}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DP_1}&=& 4,5\cdot \tan(40^{\circ}) ~\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& 3,78 ~\text{cm} \end{array}$

Das Dreieck $E_1F_1G_1$ stellt die Grundseite dar. Der Flächeninhalt lässt sich durch

$A=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{F_1G_1} \cdot \overline{E_1N_1}$

berechnen. Die Strecke $[E_1N_1]$ kannst du ebenso über die zuvor berechnete Formel mit $\phi=40^{\circ}$ bestimmen:

$\overline{E_1N_1}\approx 4,44~\text{cm}$

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Da die Winkel im Dreieck $E_1F_1G_1$ denen im Dreieck $ABC$ entsprechen, gilt $\sphericalangle N_1E_1G_1=\sphericalangle MAC=\alpha$ . Damit kannst du mithilfe des Tangens im Dreieck $E_1F_1N_1$ die Seite $\overline{F_1N_1}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{F_1G_1}$ berechnen:

$\overline{F_1G_1} \approx 5,55 ~\text{cm}$

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Jetzt kannst du das Volumen der Pyramide $E_1F_1G_1D$ berechnen:

$V \approx 15,52 ~\text{cm}^3$

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A 3.1

$\blacktriangleright$ Dreieck zeichnen

Da der Winkel $\sphericalangle B_nAC=\alpha$ ist, kannst du an den Punkt $A$ eine Linie mit dem Winkel $\alpha=50^{\circ}$ einzeichnen. Mit dem Winkel $\sphericalangle ACB_n=2\cdot \alpha$ , kannst du an den Punkt $C$ eine weitere Linie im Winkel $2\cdot \alpha=100^{\circ}$ zeichnen. Der Schnittpunkt der beiden Linien bildet den Punkt $B_1$ .

Abb. 3: Dreieck $AB_1C$

A 3.2

$\blacktriangleright$ Strecke $[B_nC]$ bestimmen

Mithilfe des Sinussatzes erhältst du:

$\overline{B_nC}=\dfrac{\overline{AC}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}$

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Den fehlenden Winkel $\gamma$ kannst du über die Winkelinnensumme mihilfe von $\alpha$ ausdrücken:

$\gamma=180-3\cdot \alpha$

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Mithilfe der Supplementbeziehung kannst du $\sin(\gamma)$ umschreiben:

$\sin(\gamma)=\sin(3\cdot \alpha)$

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Damit gilt für die Dreicke $[B_nC]$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overline{B_nC}&=&\dfrac{\overline{AC}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4~\text{cm}\cdot \sin(\alpha)}{\sin(3\cdot \alpha)}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4\sin(\alpha)}{\sin(3\cdot \alpha)}~\text{cm} \end{array}$

A 3.3

$\blacktriangleright$ Begründe

Für ein gleichschenkliges Dreieck sind die Winkel, die an die Basis grenzen, gleich. Im Dreieck $AB_2C$ mit Basis $[AB_2]$ gilt also:

$\sphericalangle B_2AC=CB_2A=\alpha$

Der Winkel $\sphericalangle ACB_2$ ist in der Aufgabenstellung als $2\cdot \alpha$ definiert. Mit der Winkelsumme im Dreieck gilt daher:

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&\alpha+\alpha+2\cdot \alpha &\quad \scriptsize \\[5pt] 90^{\circ}&=& 2\cdot \alpha \end{array}$

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Der Winkel $\sphericalangle ACB_2=2\alpha=90^{\circ}$ ist also ein rechter Winkel und damit das Dreieck $AB_2C$ ein rechtwinkliges Dreieck.

Bildnachweise [nach oben]

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