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Teil B

Aufgaben
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B 1.0
Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=-1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1)$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$
B 1.1
Gebe die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f_1$ an und zeichne den Graphen der Funktion $f_1$ für $x \in [1,5;11]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}; -1 \leq x \leq 12; -6 \leq y \leq 6$
(4 P)
#definitionsbereich#wertebereich
B 1.2
Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der $x$-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=1,5 \cdot \log_{0,5}x \, (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ abgebildet.
Gebe die Koordinaten des Verschiebungsvektors $\overrightarrow{v}$ an und zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x \in [1,5 ; 11]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
(3 P)
#verschiebung
B 1.3
Punkte $A_n(x \mid 1,5 \cdot \log_{0,5}x)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x \mid -1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1))$ auf dem Graphen zu $f_1.$ Sie sind für $x> 1,62$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n.$
Es gilt: $\overline{B_nD_n}=6 \,\text{LE}.$
Zeichne die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ für $x=2,5$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=8,5$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nC_n}(x)=-1,5 \cdot \log_{0,5}\left(x^2-x \right) \,\text{LE}.$
$\overline{A_nC_n}(x)=\dotsc $
(4 P)
#abszisse#raute
B 1.4
Die Raute $A_3B_3C_3D_3$ ist ein Quadrat. Berechne die zugehörige $x$-Koordinate des Punktes $A_3.$ Runde dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.
(2 P)
#quadrat
B 1.5
Zeige rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte $M_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$M_n \left(x\, \big| \, 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right)$
(2 P)
B 1.6
Gib die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ an.
(2 P)
B 2.0
Die Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$ des Drachenvierecks $ABCD$ schneiden sich im Punkt $K.$ Das Drachenviereck $ABCD$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH.$ Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A.$
Es gilt: $\overline{AC}=12 \,\text{cm}$; $\overline{BD}=10 \,\text{cm}$; $\overline{AK}=4 \,\text{cm}$; $\overline{AE}=6 \,\text{cm}.$
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1
Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung: $q=\frac{1}{2}$; $\omega=45^°$
Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $L.$
Berechne das Maß des Winkels $LCK.$ $[$Ergebnis: $\sphericalangle{LCK} = 36,87^° ]$
(3 P)
#prisma
B 2.2
Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[LC].$ Die Winkel $CKP_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^°;90^°].$ Die Punkte $P_n$ sind zusammmen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke $BDP_n$ mit der Basis $[BD].$
Zeichne das Dreieck $BDP_1$ sowie die Strecke $[KP_1]$ für $\phi=78^°$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Begründe sodann, dass keines der Dreiecke $BDP_n$ gleichseitig ist.
(3 P)
#gleichschenkligesdreieck#gleichseitigesdreieck
B 2.3
Zeige, dass für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:
$\overline{KP_n}(\phi)=\dfrac{4,80}{\sin(\phi+36,87^°)} \text{ cm}.$
$\overline{KP_n}(\phi)=\dotsc$
Die Länge der Strecke $[KP_0]$ ist minimal. Gib den zugehörigen Wert für $\phi$ an.
(3 P)
B 2.4
Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABBCDP_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[P_nQ_n].$ Die Punkte $Q_n$ liegen auf der Strecke $[KC].$
Zeichne die Pyramide $ABCDP_1$ und die Höhe $[P_1Q_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Ermittle sodann durch Rechnung das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\phi.$
$\left[ \text{Ergebnis: } V(\phi)= \dfrac{96 \cdot \sin \phi}{\sin(\phi+36,87^°)}\text{cm}^3 \right]$
$\left[ \text{Ergebnis: } V(\phi)=\dotsc \right]$
(3 P)
#pyramide
B 2.5
Das Volumen der Pyramide $ABCDP_2$ beträgt $96 \,\text{cm}^3.$
Berechne das zugehörige Maß für $\phi.$
(3 P)
B 2.6
Begründe, dass die Volumina der Pyramiden $ABDP_n$ mit der Grundfläche $ABD$ und der Pyramiden $BCDP_n$ mit der Grundfläche $BCD$ stets im Verhältnis $1:2$ stehen.
(2 P)
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Lösungen
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B 1.1
$\blacktriangleright$  Definitions- und Wertemenge bestimmen
Die Logarithmusfunktion $\log(x)$ ist nur für Werte $x > 0$ definiert. Somit lautet die Definitionsmenge $\mathbb{D}=]1;\infty[.$
Die Wertemenge der Logarithmusfunktion ist ganz $\mathbb{R}$. Damit folgt für die Wertemenge $\mathbb{W}=\mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Für den Graph der Funktion $f_1$ folgt für $x \in [1,5;11]$:
Teil B
Abb. 1: Graph der Funktion $f_1$
Teil B
Abb. 1: Graph der Funktion $f_1$
#logarithmus
B 1.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Verschiebungsvektors angeben
Der Graph der Funktion $f_2$ mit der Funktionsgleichung $y=1,5 \cdot \log_{0,5}x$ entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion $f_1$ an der $x$-Achse und durch Verschiebung um $1\,\text{LE}$ in negative $x$-Richtung.
Somit lautet der Verschiebungsvekor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{-1\\0}.$
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Für den Graph der Funktion $f_2$ für $x \in [1,5;11]$ folgt:
Teil B
Abb. 2: Graphen
Teil B
Abb. 2: Graphen
B 1.3
$\blacktriangleright$  Rauten zeichnen
Für die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ folgen:
Teil B
Abb. 3: Rauten
Teil B
Abb. 3: Rauten
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke nachweisen
Die Längen der Strecken $\overline{A_nC_n}$ ist die Differenz der $y$-Koordinaten von den Punkten $C_n$ und den Punkten $A_n$. Es folgt für $x>1,62$:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nC_n}&=& -1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1)- 1,5 \cdot \log_{0,5}x\\[5pt] &=& -1,5 \cdot (\log_{0,5}(x-1)+ \log_{0,5}x) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Logarithmus Regel} \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \log_{0,5}((x-1)\cdot x) \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \log_{0,5}(x^2-x) \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{A_nC_n}=\dotsc $
Somit gilt in Abhängigkeit der Abszisse:
$\overline{A_nC_n}=-1,5 \cdot \log_{0,5}(x^2-x) \,\text{LE}$
$ \overline{A_nC_n}=\dotsc$
B 1.4
$\blacktriangleright$  Koordinate berechnen
Für ein Quadrat gilt $\overline{B_3D_3}=\overline{A_3C_3}$. Damit folgt mit $\overline{B_3D_3}=6 \,\text{LE}$ und dem Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{B_3D_3}&=& \overline{A_3C_3} \\[5pt] 6&=& -1,5 \cdot \log_{0,5}(x^2-x) &\quad \scriptsize \mid\; :(-1,5) \\[5pt] -4&=& \log_{0,5}(x^2-x) \\[5pt] 0,5^{-4}&=& x^2-x \\[5pt] 16&=& x^2-x &\quad \scriptsize \mid\; -16\\[5pt] 0&=& x^2-x -16 &\quad \scriptsize \mid\; pq \text{ -Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& 0,5 \pm \sqrt{0,25 +16} \\[5pt] x_{1,2}&=& 0,5 \pm \sqrt{16,25} \\[5pt] x_1&\approx& 4,53 \\[5pt] x_2&\approx& -3,52 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1 \approx 4,53 $
Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass $x> 1,62$ gilt, ist $x_1 \approx 4,53$ die einzige Lösung. Somit ist die Raute $A_3B_3C_3D_3$ mit $x \approx 4,53$ ein Quadrat.
B 1.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Diagonalschnittpunkte bestimmen
Die Diagonalschnittpunkte $M_n$ besitzen die gleichen $x$-Koordinaten wie die Punkte $A_n$ und $C_n$. Somit ist die $x$-Koordinate durch die Abszisse $x$ gegeben. Die $y$-Koordinate entspricht dem Mittelpunkt der Strecke $[A_nC_n]$. Mit der Formel für den Mittelwert und den $y$-Koordinaten der Punkte $A_n$ und $B_n$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y_{M_n}&=& \dfrac{1,5 \cdot \log_{0,5}x-1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1)}{2} \\[5pt] &=& 1,5 \cdot \dfrac{\log_{0,5}x-\log_{0,5}(x-1)}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Logarithmus Regel}\\[5pt] &=& 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ y_{M_n}=\dotsc $
Somit besitzen die Diagonalschnittpunkte die Koordinaten $M_n\left(x \, \Big| \, 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right) \right).$
#mittelwert
B 1.6
$\blacktriangleright$  Gleichung des Trägergraphen bestimmen
Die $x$-Koordinaten der Punkte $D_n$ entsprechen den $x$-Koordinaten der Diagonalschnittpunkte um $3 \,\text{LE}$ in negative $x$-Richtung verschoben. Die $y$-Koordinaten der Punkte $D_n$ entsprechen den $y$-Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte $M_n$. Somit gelten für die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit der Abszisse
$D_n\left(x-3 \Big| 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right).$
$D_n\left(x-3 | \dotsc \right) $
Für die Gleichungen des Trägergraphen ergeben sich mit den Koordinaten der Punkte $D_n$:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& x_D&=& x-3 \\[5pt] \text{II}\quad& y_D&=& 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right) \\[5pt] \end{array}$
$\text{I}: \dotsc $
Die Gleichung $\text{I}$ kann somit wie folgt nach $x$ umgeformt werden:
$\begin{array}[t]{rll} x_D&=& x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x_D+3&=& x\\[5pt] \end{array}$
Durch Einsetzen in die Gleichung $\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y_D&=& 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x_D+3}{x_D+3-1}\right)\\[5pt] &=& 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x_D+3}{x_D+2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$y_D=\dotsc$
Damit lautet die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$:
$y= 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x+3}{x+2}\right)$
B 2.1
$\blacktriangleright$  Schrägbild zeichnen
Für das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ folgt mit $q=\frac{1}{2}$ und $\omega=45^°$:
Teil B
Abb. 4: Schrägbild
Teil B
Abb. 4: Schrägbild
$\blacktriangleright$  Winkelmaß berechnen
Im rechtwinkligen Dreieck $LCK$ folgt mit dem Tangens für den Winkel $\sphericalangle{LCK}$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \sphericalangle{LCK}&=& \dfrac{\overline{KL}}{\overline{CK}} \\[5pt] \tan \sphericalangle{LCK}&=& \dfrac{6 \,\text{cm}}{12\,\text{cm}-4 \,\text{cm}} \\[5pt] \tan \sphericalangle{LCK}&=& \dfrac{6 \,\text{cm}}{8\,\text{cm}} \\[5pt] \sphericalangle{LCK}&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{6}{8}\right) \\[5pt] \sphericalangle{LCK}&\approx& 36,87^° \\[5pt] \end{array}$
$\sphericalangle{LCK} \approx 36,87^°$
Somit beträgt der Winkel $\sphericalangle{LCK}$ etwa $36,87^°.$
#winkelsätze
B 2.2
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Für das Dreieck $BDP_1$ folgt mit $\phi=78^°$:
Teil B
Abb. 5: Dreieck $BDP_1$
Teil B
Abb. 5: Dreieck $BDP_1$
$\blacktriangleright$  Geometrie nachweisen
Da die Dreiecke $BDP_n$ gleichschenklig sind, folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BK}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 10 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 5 \,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Falls unter den Dreiecken ein gleichseitiges Dreieck ist, dann gilt $\overline{BD}=\overline{BP_n}=\overline{P_nD}.$ Somit folgt im rechtwinkligen Dreieck $BKP_n$ mit dem Satz des Pythogaros:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BP_n}^2&=& \overline{BK}^2 + \overline{KP_n}^2 &\quad \scriptsize \mid\; -\overline{BK}^2\\[5pt] \overline{BP_n}^2-\overline{BK}^2&=& \overline{KP_n}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{(10 \,\text{cm})^2-(5 \,\text{cm})^2}&=& \overline{KP_n} \\[5pt] \sqrt{75 \,\text{cm}^2}&=& \overline{KP_n} \\[5pt] 8,66 \,\text{cm} &\approx& \overline{KP_n} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{KP_n} \approx 8,66 \,\text{cm} $
Somit müsste für ein gleichseitiges Dreieck die Länge der Strecke $[KP_n]$ etwa $8,66 \,\text{cm}$ betragen. Hierbei kann man allerdings erkennen, dass $\overline{KP_n} < \overline{KC}$ gelten muss. Somit folgt, dass $\overline{KP_n}< 8 \,\text{cm}$ gilt für alle Winkel $\phi \in ]0^°;90^°[$.
Somit kann für keinen Winkel $\phi \in ]0^°;90^°[$ ein Dreieck $BDP_n$ gleichseitig sein.
#satzdespythagoras
B 2.3
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke nachweisen
Für den Winkel $\sphericalangle{KLC}$ folgt im Dreieck $KLC$ in Abhängigkeit von $\phi$ mit der Winkelsumme und dem Winkel $\sphericalangle{LCK}$ aus der vorherigen Teilaufgabe:
$\begin{array}[t]{rll} 180^°&=&\phi +\sphericalangle{LCK} + \sphericalangle{KLC} &\quad \scriptsize \mid\;-\phi \\[5pt] 180^°- \phi &=& \sphericalangle{LCK} + \sphericalangle{KLC} &\quad \scriptsize \mid\;-\sphericalangle{LCK} \\[5pt] 180^°- \phi -\sphericalangle{LCK}&=& \sphericalangle{KLC} \\[5pt] \end{array}$
$\sphericalangle{KLC}=180^°- \phi -\sphericalangle{LCK}$
Mit dem Sinussatz im Dreieck $KCP_n$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{KP_n}}{\sin \sphericalangle{LCK}}&=& \dfrac{\overline{KC}}{\sin \sphericalangle{KLC}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin \sphericalangle{LCK} \\[5pt] \overline{KP_n}&=& \dfrac{\overline{KC}}{\sin \sphericalangle{KLC}} \cdot \sin \sphericalangle{LCK} \\[5pt] &=& \dfrac{8 \,\text{cm}}{\sin (180^°- (\phi +\sphericalangle{LCK}))} \cdot \sin \sphericalangle{LCK} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Eigenschaft der Sinusfunktion} \\[5pt] &=& \dfrac{8 \,\text{cm}}{\sin ( \phi +\sphericalangle{LCK})} \cdot \sin \sphericalangle{LCK} \\[5pt] &\approx& \dfrac{8 \,\text{cm}}{\sin (\phi +36,87^°)} \cdot \sin (36,87^°) \\[5pt] &\approx& \dfrac{4,80 \,\text{cm}}{\sin (\phi +36,87^°)} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{KP_n} \approx \dfrac{4,80 \,\text{cm}}{\sin (\phi +36,87^°)}$
Somit gilt für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$:
$\overline{KP_n}(\phi)\approx \dfrac{4,80 \,\text{cm}}{\sin (\phi +36,87^°)}$
$\blacktriangleright$  Winkelmaß angeben
Die Länge der Strecke wird minimal, wenn der Ausdruck $\sin(\phi +36,87^°)$ maximal wird. Die Sinusfunktion $\sin\alpha$ nimmt bei $\alpha=90^°$ ihr Maximum an. Daraus folgt für den Winkel $\phi$:
$\begin{array}[t]{rll} 90^°&\approx&\phi + 36,87^° &\quad \scriptsize \mid\; -36,87^°\\[5pt] 53,13^°&\approx& \phi \end{array}$
$\phi \approx 53,13^° $
Somit folgt, dass für $\phi \approx 53,13^°$ die Länge der Strecke $[KP_n]$ minimal wird.
#sinusfunktion
B 2.4
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Für die Pyramide $ABCDP_1$ mit der Höhe $[P_1Q_1]$ folgt:
Teil B
Abb. 6: Pyramide
Teil B
Abb. 6: Pyramide
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Für die Länge der Höhe $[P_nQ_n]$ folgt mit dem Sinus im Dreieck $KQ_nP_n$:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \phi&=&\dfrac{\overline{P_nQ_n}}{\overline{KP_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{KP_n}\\[5pt] \overline{KP_n} \cdot \sin \phi&=& \overline{P_nQ_n} \\[5pt] \dfrac{4,80\cdot \sin \phi \,\text{cm}}{\sin(\phi+36,87^°)} &\approx& \overline{P_nQ_n} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{P_nQ_n} \approx \dfrac{4,80\cdot \sin \phi \,\text{cm}}{\sin(\phi+36,87^°)} $
Somit folgt mit der Formel für das Volumen der Pyramide und der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks in Abhängigkeit von $\phi$:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{P_nQ_n} \\[5pt] &\approx&\dfrac{1}{6} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot \dfrac{4,80\cdot \sin \phi \,\text{cm}}{\sin(\phi+36,87^°)} \\[5pt] &\approx& \dfrac{96 \cdot \sin \phi \,\text{cm}^3}{\sin(\phi+36,87^°)} \\[5pt] \end{array}$
$V \approx \dotsc$
Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
$V(\phi)\approx\dfrac{96 \cdot \sin \phi \,\text{cm}^3}{\sin(\phi+36,87^°)}$
$V(\phi)\approx \dotsc$
#winkelsätze
B 2.5
$\blacktriangleright$  Winkelmaß berechnen
Aus der vorherigen Teilaufgabe und $V(\phi)=96\,\text{cm}^3$ folgt mit $\phi \in ]0^°;90^°[$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{96 \cdot \sin \phi \,\text{cm}^3}{\sin(\phi+36,87^°)}&\approx& 96 \,\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \mid\; :96\,\text{cm}^3\\[5pt] \dfrac{\sin \phi }{\sin(\phi+36,87^°)}&\approx& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin(\phi+36,87^°) \\[5pt] \sin \phi &\approx& \sin(\phi+36,87^°) \\[5pt] \end{array}$
$\sin \phi \approx \sin(\phi+36,87^°) $
Für den Sinus gilt $\sin (90^°-\alpha)=\sin (90^°+\alpha)$. Somit muss $\phi=90^°- \alpha$ und $\phi+36,87^°\approx 90^°+\alpha$ gelten, damit die Gleichung erfüllt ist.
Für $\alpha$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} \phi+36,87^°&\approx& 90^°+\alpha &\quad \scriptsize \mid\; -90^° \\[5pt] \phi -53,13^°&\approx& \alpha \end{array}$
$\alpha \approx \phi -53,13^°$
Damit folgt für $\phi$:
$\begin{array}[t]{rll} \phi&=& 90^°- \alpha \\[5pt] \phi&\approx& 90^°- \phi +53,13^° &\quad \scriptsize \mid\; +\phi \\[5pt] 2 \cdot \phi&\approx& 143,13^° &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \phi&\approx& 71,57^° \\[5pt] \end{array}$
$ \phi \approx 71,57^°$
Für $\phi \approx 71,57^°$ beträgt das Volumen der Pyramide $96\,\text{cm}^3.$
#sinus
B 2.6
$\blacktriangleright$  Volumenverhältnis bestimmen
Die Pyramide $ABDP_n$ besteht aus einer dreieckigen Grundfläche $ABD$ und besitzt die Höhe $\overline{P_nQ_n}$.
Für das Volumen $V_1$ der Pyramide $ABDP_n$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} V_1&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AK} \cdot \overline{P_nQ_n}\\[5pt] \end{array}$
$V_1=\dotsc$
Entsprechend folgt für das Volumen $V_2$ der Pyramide $BCDP_n$:
$\begin{array}[t]{rll} V_2&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CK} \cdot \overline{P_nQ_n} \\[5pt] \end{array}$
$V_2= \dotsc$
Damit folgt für das Verhältnis der Volumina der Pyramiden $ABDP_N$ und $BCDP_n$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_1}{V_2}&=& \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{AK} \cdot \overline{P_nQ_n}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CK} \cdot \overline{P_nQ_n} } \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{AK}}{ \overline{CK} } \\[5pt] &=& \dfrac{4 \,\text{cm}}{ 8\,\text{cm} } \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2 } \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{1}{2 } $
Somit gilt, dass die Volumina der Pyramide $ABDP_n$ und der Pyramide $BCDP_n$ immer im Verhältnis $1:2$ stehen.
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