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Inhaltsverzeichnis

Teil B

B 1.0

Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=-1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1)$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$

B 1.1

Gebe die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f_1$ an und zeichne den Graphen der Funktion $f_1$ für $x \in [1,5;11]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}; -1 \leq x \leq 12; -6 \leq y \leq 6$

(4 P)

B 1.2

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der $x$ -Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=1,5 \cdot \log_{0,5}x \, (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ abgebildet.

Gebe die Koordinaten des Verschiebungsvektors $\overrightarrow{v}$ an und zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x \in [1,5 ; 11]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(3 P)

B 1.3

Punkte $A_n(x \mid 1,5 \cdot \log_{0,5}x)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x \mid -1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1))$ auf dem Graphen zu $f_1.$ Sie sind für $x\gt 1,62$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n.$

Es gilt: $\overline{B_nD_n}=6 \,\text{LE}.$

Zeichne die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ für $x=2,5$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=8,5$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$\overline{A_nC_n}(x)=\dotsc$

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(4 P)

B 1.4

Die Raute $A_3B_3C_3D_3$ ist ein Quadrat. Berechne die zugehörige $x$ -Koordinate des Punktes $A_3.$ Runde dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

(2 P)

B 1.5

Zeige rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte $M_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$M_n \left(x\, \big| \, 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right)$

(2 P)

B 1.6

Gib die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ an.

(2 P)

B 2.0

Die Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$ des Drachenvierecks $ABCD$ schneiden sich im Punkt $K.$ Das Drachenviereck $ABCD$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH.$ Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A.$
Es gilt: $\overline{AC}=12 \,\text{cm}$ ; $\overline{BD}=10 \,\text{cm}$ ; $\overline{AK}=4 \,\text{cm}$ ; $\overline{AE}=6 \,\text{cm}.$
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1

Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ , wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung: $q=\frac{1}{2}$ ; $\omega=45^°$

Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $L.$
Berechne das Maß des Winkels $LCK.$ $[$ Ergebnis: $\sphericalangle{LCK} = 36,87^° ]$

(3 P)

B 2.2

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[LC].$ Die Winkel $CKP_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^°;90^°].$ Die Punkte $P_n$ sind zusammmen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke $BDP_n$ mit der Basis $[BD].$
Zeichne das Dreieck $BDP_1$ sowie die Strecke $[KP_1]$ für $\phi=78^°$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Begründe sodann, dass keines der Dreiecke $BDP_n$ gleichseitig ist.

(3 P)

B 2.3

Zeige, dass für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:

$\overline{KP_n}(\phi)=\dotsc$

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Die Länge der Strecke $[KP_0]$ ist minimal. Gib den zugehörigen Wert für $\phi$ an.

(3 P)

B 2.4

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABBCDP_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[P_nQ_n].$ Die Punkte $Q_n$ liegen auf der Strecke $[KC].$

Zeichne die Pyramide $ABCDP_1$ und die Höhe $[P_1Q_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Ermittle sodann durch Rechnung das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\phi.$

$\left[ \text{Ergebnis: } V(\phi)=\dotsc \right]$

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(3 P)

B 2.5

Das Volumen der Pyramide $ABCDP_2$ beträgt $96 \,\text{cm}^3.$
Berechne das zugehörige Maß für $\phi.$

(3 P)

B 2.6

Begründe, dass die Volumina der Pyramiden $ABDP_n$ mit der Grundfläche $ABD$ und der Pyramiden $BCDP_n$ mit der Grundfläche $BCD$ stets im Verhältnis $1:2$ stehen.

(2 P)

B 1.1

$\blacktriangleright$ Definitions- und Wertemenge bestimmen

Die Logarithmusfunktion $\log(x)$ ist nur für Werte $x \gt 0$ definiert. Somit lautet die Definitionsmenge $\mathbb{D}=]1;\infty[.$

Die Wertemenge der Logarithmusfunktion ist ganz $\mathbb{R}$ . Damit folgt für die Wertemenge $\mathbb{W}=\mathbb{R}.$

$\blacktriangleright$ Graph zeichnen

Für den Graph der Funktion $f_1$ folgt für $x \in [1,5;11]$ :

Abb. 1: Graph der Funktion $f_1$

B 1.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Verschiebungsvektors angeben

Der Graph der Funktion $f_2$ mit der Funktionsgleichung $y=1,5 \cdot \log_{0,5}x$ entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion $f_1$ an der $x$ -Achse und durch Verschiebung um $1\,\text{LE}$ in negative $x$ -Richtung.

Somit lautet der Verschiebungsvekor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{-1\\0}.$

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Für den Graph der Funktion $f_2$ für $x \in [1,5;11]$ folgt:

Abb. 2: Graphen

B 1.3

$\blacktriangleright$ Rauten zeichnen

Für die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ und $A_2B_2C_2D_2$ folgen:

Abb. 3: Rauten

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke nachweisen

Die Längen der Strecken $\overline{A_nC_n}$ ist die Differenz der $y$ -Koordinaten von den Punkten $C_n$ und den Punkten $A_n$ . Es folgt für $x\gt 1,62$ :

$\overline{A_nC_n}=\dotsc$

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Somit gilt in Abhängigkeit der Abszisse:

$\overline{A_nC_n}=\dotsc$

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B 1.4

$\blacktriangleright$ Koordinate berechnen

Für ein Quadrat gilt $\overline{B_3D_3}=\overline{A_3C_3}$ . Damit folgt mit $\overline{B_3D_3}=6 \,\text{LE}$ und dem Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe:

$x_1 \approx 4,53$

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Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass $x\gt 1,62$ gilt, ist $x_1 \approx 4,53$ die einzige Lösung. Somit ist die Raute $A_3B_3C_3D_3$ mit $x \approx 4,53$ ein Quadrat.

B 1.5

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Diagonalschnittpunkte bestimmen

Die Diagonalschnittpunkte $M_n$ besitzen die gleichen $x$ -Koordinaten wie die Punkte $A_n$ und $C_n$ . Somit ist die $x$ -Koordinate durch die Abszisse $x$ gegeben. Die $y$ -Koordinate entspricht dem Mittelpunkt der Strecke $[A_nC_n]$ . Mit der Formel für den Mittelwert und den $y$ -Koordinaten der Punkte $A_n$ und $B_n$ folgt:

$y_{M_n}=\dotsc$

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Somit besitzen die Diagonalschnittpunkte die Koordinaten $M_n\left(x \, \Big| \, 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right) \right).$

B 1.6

$\blacktriangleright$ Gleichung des Trägergraphen bestimmen

Die $x$ -Koordinaten der Punkte $D_n$ entsprechen den $x$ -Koordinaten der Diagonalschnittpunkte um $3 \,\text{LE}$ in negative $x$ -Richtung verschoben. Die $y$ -Koordinaten der Punkte $D_n$ entsprechen den $y$ -Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte $M_n$ . Somit gelten für die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit der Abszisse

$D_n\left(x-3 | \dotsc \right)$

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Für die Gleichungen des Trägergraphen ergeben sich mit den Koordinaten der Punkte $D_n$ :

$\text{I}: \dotsc$

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Die Gleichung $\text{I}$ kann somit wie folgt nach $x$ umgeformt werden:

$\begin{array}[t]{rll} x_D&=& x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x_D+3&=& x\\[5pt] \end{array}$

Durch Einsetzen in die Gleichung $\text{II}$ folgt:

$y_D=\dotsc$

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Damit lautet die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ :

$y= 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x+3}{x+2}\right)$

B 2.1

$\blacktriangleright$ Schrägbild zeichnen

Für das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ folgt mit $q=\frac{1}{2}$ und $\omega=45^°$ :

Abb. 4: Schrägbild

$\blacktriangleright$ Winkelmaß berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck $LCK$ folgt mit dem Tangens für den Winkel $\sphericalangle{LCK}$ :

$\sphericalangle{LCK} \approx 36,87^°$

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Somit beträgt der Winkel $\sphericalangle{LCK}$ etwa $36,87^°.$

B 2.2

$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

Für das Dreieck $BDP_1$ folgt mit $\phi=78^°$ :

Abb. 5: Dreieck $BDP_1$

$\blacktriangleright$ Geometrie nachweisen

Da die Dreiecke $BDP_n$ gleichschenklig sind, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BK}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{BD} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 10 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 5 \,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Falls unter den Dreiecken ein gleichseitiges Dreieck ist, dann gilt $\overline{BD}=\overline{BP_n}=\overline{P_nD}.$ Somit folgt im rechtwinkligen Dreieck $BKP_n$ mit dem Satz des Pythogaros:

$\overline{KP_n} \approx 8,66 \,\text{cm}$

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Somit müsste für ein gleichseitiges Dreieck die Länge der Strecke $[KP_n]$ etwa $8,66 \,\text{cm}$ betragen. Hierbei kann man allerdings erkennen, dass $\overline{KP_n} \lt \overline{KC}$ gelten muss. Somit folgt, dass $\overline{KP_n}\lt 8 \,\text{cm}$ gilt für alle Winkel $\phi \in ]0^°;90^°[$ .

Somit kann für keinen Winkel $\phi \in ]0^°;90^°[$ ein Dreieck $BDP_n$ gleichseitig sein.

B 2.3

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke nachweisen

Für den Winkel $\sphericalangle{KLC}$ folgt im Dreieck $KLC$ in Abhängigkeit von $\phi$ mit der Winkelsumme und dem Winkel $\sphericalangle{LCK}$ aus der vorherigen Teilaufgabe:

$\sphericalangle{KLC}=180^°- \phi -\sphericalangle{LCK}$

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Mit dem Sinussatz im Dreieck $KCP_n$ folgt:

$\overline{KP_n} \approx \dfrac{4,80 \,\text{cm}}{\sin (\phi +36,87^°)}$

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Somit gilt für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ :

$\overline{KP_n}(\phi)\approx \dfrac{4,80 \,\text{cm}}{\sin (\phi +36,87^°)}$

$\blacktriangleright$ Winkelmaß angeben

Die Länge der Strecke wird minimal, wenn der Ausdruck $\sin(\phi +36,87^°)$ maximal wird. Die Sinusfunktion $\sin\alpha$ nimmt bei $\alpha=90^°$ ihr Maximum an. Daraus folgt für den Winkel $\phi$ :

$\phi \approx 53,13^°$

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Somit folgt, dass für $\phi \approx 53,13^°$ die Länge der Strecke $[KP_n]$ minimal wird.

B 2.4

$\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

Für die Pyramide $ABCDP_1$ mit der Höhe $[P_1Q_1]$ folgt:

Abb. 6: Pyramide

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Für die Länge der Höhe $[P_nQ_n]$ folgt mit dem Sinus im Dreieck $KQ_nP_n$ :

$\overline{P_nQ_n} \approx \dfrac{4,80\cdot \sin \phi \,\text{cm}}{\sin(\phi+36,87^°)}$

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Somit folgt mit der Formel für das Volumen der Pyramide und der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks in Abhängigkeit von $\phi$ :

$V \approx \dotsc$

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Damit gilt für das Volumen der Pyramide:

$V(\phi)\approx \dotsc$

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B 2.5

$\blacktriangleright$ Winkelmaß berechnen

Aus der vorherigen Teilaufgabe und $V(\phi)=96\,\text{cm}^3$ folgt mit $\phi \in ]0^°;90^°[$ :

$\sin \phi \approx \sin(\phi+36,87^°)$

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Für den Sinus gilt $\sin (90^°-\alpha)=\sin (90^°+\alpha)$ . Somit muss $\phi=90^°- \alpha$ und $\phi+36,87^°\approx 90^°+\alpha$ gelten, damit die Gleichung erfüllt ist.

Für $\alpha$ folgt somit:

$\alpha \approx \phi -53,13^°$

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Damit folgt für $\phi$ :

$\phi \approx 71,57^°$

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Für $\phi \approx 71,57^°$ beträgt das Volumen der Pyramide $96\,\text{cm}^3.$

B 2.6

$\blacktriangleright$ Volumenverhältnis bestimmen

Die Pyramide $ABDP_n$ besteht aus einer dreieckigen Grundfläche $ABD$ und besitzt die Höhe $\overline{P_nQ_n}$ .

Für das Volumen $V_1$ der Pyramide $ABDP_n$ folgt somit:

$V_1=\dotsc$

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Entsprechend folgt für das Volumen $V_2$ der Pyramide $BCDP_n$ :

$V_2= \dotsc$

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Damit folgt für das Verhältnis der Volumina der Pyramiden $ABDP_N$ und $BCDP_n$ :

$\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{1}{2 }$

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Somit gilt, dass die Volumina der Pyramide $ABDP_n$ und der Pyramide $BCDP_n$ immer im Verhältnis $1:2$ stehen.

Bildnachweise [nach oben]

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