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Teil B

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B 1.0
Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=-1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1)$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.$
B 1.1
Gebe die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f_1$ an und zeichne den Graphen der Funktion $f_1$ für $x \in [1,5;11]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}; -1 \leq x \leq 12; -6 \leq y \leq 6$
(4 P)
#definitionsbereich#wertebereich
B 1.2
Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der $x$-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=1,5 \cdot \log_{0,5}x \, (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ abgebildet.
Gebe die Koordinaten des Verschiebungsvektors $\overrightarrow{v}$ an und zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x \in [1,5 ; 11]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
(3 P)
#verschiebung
B 1.3
Punkte $A_n(x \mid 1,5 \cdot \log_{0,5}x)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x \mid -1,5 \cdot \log_{0,5}(x-1))$ auf dem Graphen zu $f_1.$ Sie sind für $x> 1,62$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Rauten $A_nB_nC_nD_n.$
Es gilt: $\overline{B_nD_n}=6 \,\text{LE}.$
Zeichne die Rauten $A_1B_1C_1D_1$ für $x=2,5$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=8,5$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nC_n}(x)=-1,5 \cdot \log_{0,5}\left(x^2-x \right) \,\text{LE}.$
$\overline{A_nC_n}(x)=\dotsc $
(4 P)
#abszisse#raute
B 1.4
Die Raute $A_3B_3C_3D_3$ ist ein Quadrat. Berechne die zugehörige $x$-Koordinate des Punktes $A_3.$ Runde dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.
(2 P)
#quadrat
B 1.5
Zeige rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalschnittpunkte $M_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$M_n \left(x\, \big| \, 0,75 \cdot \log_{0,5}\left(\dfrac{x}{x-1}\right)\right)$
(2 P)
B 1.6
Gib die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $D_n$ der Rauten $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ an.
(2 P)
B 2.0
Die Diagonalen $[AC]$ und $[BD]$ des Drachenvierecks $ABCD$ schneiden sich im Punkt $K.$ Das Drachenviereck $ABCD$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH.$ Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A.$
Es gilt: $\overline{AC}=12 \,\text{cm}$; $\overline{BD}=10 \,\text{cm}$; $\overline{AK}=4 \,\text{cm}$; $\overline{AE}=6 \,\text{cm}.$
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1
Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung: $q=\frac{1}{2}$; $\omega=45^°$
Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $L.$
Berechne das Maß des Winkels $LCK.$ $[$Ergebnis: $\sphericalangle{LCK} = 36,87^° ]$
(3 P)
#prisma
B 2.2
Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[LC].$ Die Winkel $CKP_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^°;90^°].$ Die Punkte $P_n$ sind zusammmen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke $BDP_n$ mit der Basis $[BD].$
Zeichne das Dreieck $BDP_1$ sowie die Strecke $[KP_1]$ für $\phi=78^°$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Begründe sodann, dass keines der Dreiecke $BDP_n$ gleichseitig ist.
(3 P)
#gleichschenkligesdreieck#gleichseitigesdreieck
B 2.3
Zeige, dass für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:
$\overline{KP_n}(\phi)=\dfrac{4,80}{\sin(\phi+36,87^°)} \text{ cm}.$
$\overline{KP_n}(\phi)=\dotsc$
Die Länge der Strecke $[KP_0]$ ist minimal. Gib den zugehörigen Wert für $\phi$ an.
(3 P)
B 2.4
Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABBCDP_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[P_nQ_n].$ Die Punkte $Q_n$ liegen auf der Strecke $[KC].$
Zeichne die Pyramide $ABCDP_1$ und die Höhe $[P_1Q_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Ermittle sodann durch Rechnung das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\phi.$
$\left[ \text{Ergebnis: } V(\phi)= \dfrac{96 \cdot \sin \phi}{\sin(\phi+36,87^°)}\text{cm}^3 \right]$
$\left[ \text{Ergebnis: } V(\phi)=\dotsc \right]$
(3 P)
#pyramide
B 2.5
Das Volumen der Pyramide $ABCDP_2$ beträgt $96 \,\text{cm}^3.$
Berechne das zugehörige Maß für $\phi.$
(3 P)
B 2.6
Begründe, dass die Volumina der Pyramiden ABDPn mit der Grundfläche ABD und der Pyramiden BCDPn mit der Grundfläche BCD stets im Verhältnis 1:2 stehen.
(2 P)
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