Teil A

A 1

Mia lernt in der Schule den Begriff „Inflation“ kennen. Damit wird der Preisanstieg von Produkten über einen bestimmten Zeitraum hinweg bezeichnet. Dieser Zusammenhang lässt sich unter der Annahme einer gleichbleibenden jährlichen Preissteigerung von $Formula: p\,\%$ $Formula: p\,\%$ näherungsweise durch eine Funktion Formula: f mit einer Gleichung der Form $Formula: y=a \cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^{x}\;$ $Formula: y=a \cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^{x}\;$ $Formula: \left(\mathbb{G}=\mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} ; a, p \in \mathbb{R}^{+}\right)$ $Formula: \left(\mathbb{G}=\mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} ; a, p \in \mathbb{R}^{+}\right)$ beschreiben. Dabei steht $Formula: a\,€$ $Formula: a\,€$ für den Anfangspreis eines Produkts und $Formula: y\,€$ $Formula: y\,€$ für dessen Preis nach Formula: x Jahren.

Mia kauft ihrer Mutter jährlich am 1. Juni Rosen beim örtlichen Blumenladen.

A 1.1

Am 1. Juni 2020 kostete eine Rose noch $Formula: 2,20\,€.$ $Formula: 2,20\,€.$ Am 1. Juni 2022 lag der Preis pro Rose bei $Formula: 2,50\,€.$ $Formula: 2,50\,€.$

Berechne den voraussichtlichen Preis einer Rose am 1. Juni 2027 unter der Voraussetzung, dass die jährliche Preissteigerung von $Formula: p\,\%$ $Formula: p\,\%$ gleich bleibt.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Zwischenergebnis: Formula: p = 6,60 ]

3 BE

A 1.2

Berechne, in welchem Jahr Mia erstmals mehr als doppelt so viel für eine Rose bezahlen müsste wie am 1. Juni 2020, wenn von einer jährlichen Preissteigerung von $Formula: 6,60\,\%$ $Formula: 6,60\,\%$ ausgegangen wird.

2 BE

A 2

Die Strecke Formula: [BC] mit dem Mittelpunkt Formula: M ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks Formula: ABC. Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide Formula: ABCS mit der Höhe Formula: [MS].

Es gilt: $Formula: \overline{BC}=10\;\mathrm{cm} ; \overline{AM}=9\;\mathrm{cm} ; \overline{MS}=7\;\mathrm{cm}.$ $Formula: \overline{BC}=10\;\mathrm{cm} ; \overline{AM}=9\;\mathrm{cm} ; \overline{MS}=7\;\mathrm{cm}.$

Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide Formula: ABCS.

In der Zeichnung gilt: $Formula: q=\tfrac{1}{2} ; \omega=45^{\circ} ;[AM]$ $Formula: q=\tfrac{1}{2} ; \omega=45^{\circ} ;[AM]$ liegt auf der Schrägbildachse.

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geometrische Skizze einer Pyramide/Dreieckskörper mit Punkten A, B, C, S und Markierung M

A 2.1

Berechne das Maß des Winkels Formula: ASM.

[Ergebnis: $Formula: \sphericalangle ASM=52,13^{\circ}$ $Formula: \sphericalangle ASM=52,13^{\circ}$ ]

1 BE

A 2.2

Punkte Formula: P_n liegen auf der Strecke Formula: [AS]. Die Winkel Formula: SMP_n haben das Maß $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ mit $Formula: \varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\left[\right..$ $Formula: \varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\left[\right..$ Punkte Formula: Q_n liegen auf der Strecke Formula: [A M] mit $Formula: \left[P_n Q_n\right] \perp[A M].$ $Formula: \left[P_n Q_n\right] \perp[A M].$ Die Dreiecke Formula: B C Q_n sind die Grundflächen der Pyramiden Formula: B C Q_n S mit der Spitze Formula: S und der Höhe Formula: [MS].

Zeichne die Strecken $Formula: \left[M P_1\right]$ $Formula: \left[M P_1\right]$ und $Formula: \left[P_1 Q_1\right]$ $Formula: \left[P_1 Q_1\right]$ sowie die Pyramide Formula: B C Q_1 S für $Formula: \varphi=60^{\circ}$ $Formula: \varphi=60^{\circ}$ in das Schrägbild ein.

2 BE

A 2.3

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken Formula: [MP_n] in Abhängigkeit von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ gilt: $Formula: \overline{MP}_n(\varphi)=\tfrac{5,53}{\sin \left(\varphi+52,13^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}.$ $Formula: \overline{MP}_n(\varphi)=\tfrac{5,53}{\sin \left(\varphi+52,13^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}.$

Die Länge der Strecke $Formula: \left[M P_0\right]$ $Formula: \left[M P_0\right]$ ist minimal. Gib den zugehörigen Wert für $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ an.

3 BE

A 2.4

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $Formula: \left[MQ_n\right]$ $Formula: \left[MQ_n\right]$ in Abhängigkeit von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ gilt: $Formula: \overline{MQ_n}(\varphi)=\tfrac{5,53 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+52,13^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}.$ $Formula: \overline{MQ_n}(\varphi)=\tfrac{5,53 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+52,13^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}.$

Berechne sodann das Volumen der Pyramide Formula: B C Q_1 S.

3 BE

A 3

Pfeile $Formula: \overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\pmatrix{5 \cdot \sin \varphi \\ 5 \cdot \cos \varphi}$ $Formula: \overrightarrow{OP_n}(\varphi)=\pmatrix{5 \cdot \sin \varphi \\ 5 \cdot \cos \varphi}$ und $Formula: \overrightarrow{OQ_n}(\varphi)=\pmatrix{-2 \cdot \sin ^2 \varphi \\ \tfrac{4}{\sin \varphi}}$ $Formula: \overrightarrow{OQ_n}(\varphi)=\pmatrix{-2 \cdot \sin ^2 \varphi \\ \tfrac{4}{\sin \varphi}}$ mit $Formula: O(0 \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0)$ spannen für $Formula: \left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right]$ $Formula: \left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right]$ Dreiecke Formula: OP_nQ_n auf.

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Koordinatensystem mit x- und y-Achse, gepunktetem Raster, Achsenbeschriftungen und Markierungen von −5 bis 5

A 3.1

Gib für $Formula: \varphi=80^{\circ}$ $Formula: \varphi=80^{\circ}$ die Koordinaten der Pfeile $Formula: \overrightarrow{OP}_1$ $Formula: \overrightarrow{OP}_1$ und $Formula: \overrightarrow{OQ_1}$ $Formula: \overrightarrow{OQ_1}$ an. Zeichne sodann das Dreieck Formula: OP_1Q_1 in das Koordinatensystem ein.