Aufgabe 4
Das Trapez 
mit 
ist die Grundfläche des Prismas 
mit der Höhe 
(siehe Skizze).
Es gilt:
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne das Schrägbild des Prismas und die Strecke 
wobei die Strecke 
auf der Schrägbildachse und der Punkt 
links vom Punkt 
liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 
Zeige sodann, dass für das Maß des Winkels 
gilt: 
Punkte 
liegen auf der Strecke 
Die Winkel 
haben das Maß 
mit ![Formula: \varphi \in\;] 0^{\circ} ; 90^{\circ}].](https://www.schullv.de/resources/formulas/b96308f485b7d855704f034467d62d43c710a7d0b4a6035e9a0374722abe9fc4_light.svg)
![Formula: \varphi \in\;] 0^{\circ} ; 90^{\circ}].](https://www.schullv.de/resources/formulas/b96308f485b7d855704f034467d62d43c710a7d0b4a6035e9a0374722abe9fc4_dark.svg)
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden 
mit den Höhen 
Es gilt: 
Zeichne für 
die Strecke 
die Pyramide 
und die Höhe 
in das Schrägbild zu B 4.1 ein.
Ermittle sodann rechnerisch die Länge der Strecken 
in Abhängigkeit von 
![Formula: \left[\text{Teilergebnis: } \left|\overline{AS_n}\right|(\varphi)=\dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/b207ff7d48b62138d0cef9fe7f00bda71089df9c277d4a05b36efe38f8fd35f4_light.svg)
![Formula: \left[\text{Teilergebnis: } \left|\overline{AS_n}\right|(\varphi)=\dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/b207ff7d48b62138d0cef9fe7f00bda71089df9c277d4a05b36efe38f8fd35f4_dark.svg)
In der Pyramide 
gilt: 
Berechne die Länge der Strecke 
sowie den zugehörigen Wert für
[Teilergebnis: 
]
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen 
der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: 
Unter den Strecken 
hat die Strecke 
die minimale Länge.
Begründe, dass für die zugehörige Belegung für gilt: 
Berechne sodann den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide 
am Volumen des Prismas 
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Maß des Winkels zeigen
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan \sphericalangle F A E &=&\dfrac{5,5}{9} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle F A E &=& \tan^{-1}\dfrac{5,5}{9} \\[5pt] \sphericalangle F A E &=& 31,43^\circ \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0f80c9f10f66eab462693e1d6e371c33b49b1ba9ab17a21efec3ac3a3e7fa0c7_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan \sphericalangle F A E &=&\dfrac{5,5}{9} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle F A E &=& \tan^{-1}\dfrac{5,5}{9} \\[5pt] \sphericalangle F A E &=& 31,43^\circ \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0f80c9f10f66eab462693e1d6e371c33b49b1ba9ab17a21efec3ac3a3e7fa0c7_dark.svg)
Strecke rechnerisch ermitteln
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|\overline{A S_n}\right|}{\sin \varphi} &=& \dfrac{9\;\mathrm{cm}}{\sin \left(180^{\circ}-\left(\varphi+31,43^{\circ}\right)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \varphi \\[5pt] \left|\overline{A S_n}\right|(\varphi) &=& \dfrac{9\cdot\sin\varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a97b68e02e62cf022c274dd75b31b59b2c4cc711e91eb6450b8e293aa14ab5c_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|\overline{A S_n}\right|}{\sin \varphi} &=& \dfrac{9\;\mathrm{cm}}{\sin \left(180^{\circ}-\left(\varphi+31,43^{\circ}\right)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \varphi \\[5pt] \left|\overline{A S_n}\right|(\varphi) &=& \dfrac{9\cdot\sin\varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a97b68e02e62cf022c274dd75b31b59b2c4cc711e91eb6450b8e293aa14ab5c_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos \left(90^{\circ}-31,43^{\circ}\right) &=& \dfrac{3,5\;\mathrm{cm}}{\left|\overline{AS_2}\right|} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\left|\overline{AS_2}\right| \\[5pt] \cos 58,57^{\circ}\cdot\left|\overline{AS_2}\right| &=& 3,5\;\mathrm{cm} &\quad\scriptsize\mid\;:\cos 58,57^{\circ} \\[5pt] \left|\overline{AS_2}\right| &=& \dfrac{3,5}{\cos 58,57^{\circ}}\;\mathrm{cm} \\[5pt] \left|\overline{AS_2}\right| &=& 6,71\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/99c2516c73172d27618293cf199cfbd48f2d612382afd50f927e3f813ea6e5b0_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos \left(90^{\circ}-31,43^{\circ}\right) &=& \dfrac{3,5\;\mathrm{cm}}{\left|\overline{AS_2}\right|} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\left|\overline{AS_2}\right| \\[5pt] \cos 58,57^{\circ}\cdot\left|\overline{AS_2}\right| &=& 3,5\;\mathrm{cm} &\quad\scriptsize\mid\;:\cos 58,57^{\circ} \\[5pt] \left|\overline{AS_2}\right| &=& \dfrac{3,5}{\cos 58,57^{\circ}}\;\mathrm{cm} \\[5pt] \left|\overline{AS_2}\right| &=& 6,71\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/99c2516c73172d27618293cf199cfbd48f2d612382afd50f927e3f813ea6e5b0_dark.svg)
Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe B 4.2 und den Additionstheoremen des Sinus folgt somit für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 6,71 &=& \dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right) \\[5pt] 6,71\cdot\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right) &=& 9 \cdot \sin \varphi \\[5pt] 6,71\cdot\left(\sin \varphi \cdot \cos 31,43^{\circ}+\cos \varphi \cdot \sin 31,43^{\circ}\right) &=& 9 \cdot \sin \varphi &\quad\scriptsize\mid\;:\cos \varphi \\[5pt] 6,71\cdot\left(\tan \varphi \cdot \cos 31,43^{\circ}+\sin 31,43^{\circ}\right) &=& 9 \cdot \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;-6,71\cdot\tan \varphi \cdot \cos 31,43^{\circ} \\[5pt] 6,71\cdot\sin 31,43^{\circ} &=& (9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ})\cdot \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;:(9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ}) \\[5pt] \dfrac{6,71\cdot\sin 31,43^{\circ}}{9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ}} &=& \tan\varphi &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \tan^{-1}\left( \dfrac{6,71\cdot\sin 31,43^{\circ}}{9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ}}\right)&=& \varphi \\[5pt] 46,90^\circ &\approx& \varphi \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1033a3ebb4ac9b17dde60c3b833f27172c80396974156f514969691123dbeb14_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 6,71 &=& \dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right) \\[5pt] 6,71\cdot\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right) &=& 9 \cdot \sin \varphi \\[5pt] 6,71\cdot\left(\sin \varphi \cdot \cos 31,43^{\circ}+\cos \varphi \cdot \sin 31,43^{\circ}\right) &=& 9 \cdot \sin \varphi &\quad\scriptsize\mid\;:\cos \varphi \\[5pt] 6,71\cdot\left(\tan \varphi \cdot \cos 31,43^{\circ}+\sin 31,43^{\circ}\right) &=& 9 \cdot \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;-6,71\cdot\tan \varphi \cdot \cos 31,43^{\circ} \\[5pt] 6,71\cdot\sin 31,43^{\circ} &=& (9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ})\cdot \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;:(9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ}) \\[5pt] \dfrac{6,71\cdot\sin 31,43^{\circ}}{9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ}} &=& \tan\varphi &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \tan^{-1}\left( \dfrac{6,71\cdot\sin 31,43^{\circ}}{9 -6,71\cdot \cos 31,43^{\circ}}\right)&=& \varphi \\[5pt] 46,90^\circ &\approx& \varphi \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1033a3ebb4ac9b17dde60c3b833f27172c80396974156f514969691123dbeb14_dark.svg)
Es gilt:
Für 
ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \left(90^{\circ}-31,43^{\circ}\right) &=& \dfrac{\left|\overline{S_nT_n}\right|}{\tfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\tfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \\[5pt] \dfrac{7,68 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} &=& \left|\overline{S_nT_n}\right|(\varphi) \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0124087811cdb269612e890d4bbeb1e06066d8cba5c76f58ab57b2f1b2061528_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin \left(90^{\circ}-31,43^{\circ}\right) &=& \dfrac{\left|\overline{S_nT_n}\right|}{\tfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\tfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \\[5pt] \dfrac{7,68 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} &=& \left|\overline{S_nT_n}\right|(\varphi) \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0124087811cdb269612e890d4bbeb1e06066d8cba5c76f58ab57b2f1b2061528_dark.svg)
Einsetzen aller Werte in die Formel für das Volumen liefert damit:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(\varphi) &=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot(8+6) \cdot 5,5 \cdot \dfrac{7,68 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& \dfrac{98,56 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f9827dc6b2fcabd0d765983f885be7316050d8962e8da572b58a3780acdc1c83_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(\varphi) &=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot(8+6) \cdot 5,5 \cdot \dfrac{7,68 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& \dfrac{98,56 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f9827dc6b2fcabd0d765983f885be7316050d8962e8da572b58a3780acdc1c83_dark.svg)
In der Pyramide gilt: 
also Einsetzen in die Formel des Volumens aus Aufgabenteil B 4.4 liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(58,57^\circ) &=& \dfrac{98,56 \cdot \sin58,57^\circ}{\sin \left(58,57^\circ+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& 84,10\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd8634d1d4da30556ad65acf847a9c9f7f690f22a0e0e25c2414ab6e2ea3be05_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(58,57^\circ) &=& \dfrac{98,56 \cdot \sin58,57^\circ}{\sin \left(58,57^\circ+31,43^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& 84,10\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd8634d1d4da30556ad65acf847a9c9f7f690f22a0e0e25c2414ab6e2ea3be05_dark.svg)
Für das Volumen des Prismas gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{ABCDEFGH} &=& \dfrac{1}{2} \cdot(8+6) \cdot 5,5 \cdot 9\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& 346,5\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c15939d80cbe3c7444f2dff433c5ee80a4e8e4ccc96538a059e7f83cb49fbf9c_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{ABCDEFGH} &=& \dfrac{1}{2} \cdot(8+6) \cdot 5,5 \cdot 9\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& 346,5\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c15939d80cbe3c7444f2dff433c5ee80a4e8e4ccc96538a059e7f83cb49fbf9c_dark.svg)
Der prozentuale Anteil ergibt sich damit als 
