Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion 
mit der Gleichung 
und die Funktion 
mit der Gleichung 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Gib die Wertemenge von an und zeichne die Graphen zu und für ![Formula: x \in[-3 ; 8]](https://www.schullv.de/resources/formulas/eab58329d94a1c6f7bfcedaac20a058d038d346bf8130b9e7e6eb01a12ce8633_light.svg)
![Formula: x \in[-3 ; 8]](https://www.schullv.de/resources/formulas/eab58329d94a1c6f7bfcedaac20a058d038d346bf8130b9e7e6eb01a12ce8633_dark.svg)
in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 
Der Graph der Funktion kann durch Parallelverschiebung mit dem Vektor 
auf den Graphen der Funktion abgebildet werden 
Gib die Koordinaten des Vektors 
an.
Punkte 
auf dem Graphen zu und Punkte 
auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse 
Sie sind zusammen mit Punkten 
Eckpunkte von Dreiecken 
Es gilt: 
Zeichne das Dreieck 
für 
und das Dreieck 
für 
in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.
Berechne sodann die 
-Koordinate des Punktes 
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken 
in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte 
gilt:
Berechne sodann den Flächeninhalt des Dreiecks 
Das Dreieck 
ist gleichschenklig mit der Basis 
Berechne die zugehörige -Koordinate des Punktes 
Begründe, weshalb das Dreieck gleichseitig ist.
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Wegen 
folgt für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{C_1} &=&x_{A_1}+5 \cdot \sin 60^{\circ} \\[5pt] &=&-2+5 \cdot \sin 60^{\circ} \\[5pt] &=& 2,33 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1c857eb6538470401fbb59815617d55f01cf95e81d782e2a7910df41dd783242_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{C_1} &=&x_{A_1}+5 \cdot \sin 60^{\circ} \\[5pt] &=&-2+5 \cdot \sin 60^{\circ} \\[5pt] &=& 2,33 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1c857eb6538470401fbb59815617d55f01cf95e81d782e2a7910df41dd783242_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{A_n B_n}\right|(x) &=& \left[0,75^{x-4}+1-\left(0,75^{x-2}-3\right)\right]\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \left(0,75^{-2}\cdot0,75^{x-2}-0,75^{x-2}+4\right)\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \left(0,78\cdot0,75^{x-2}+4\right)\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/338b595e4c82626faa742411c1b9aaddf1ad7fc1d94c1d048a9d6f5ace6af307_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{A_n B_n}\right|(x) &=& \left[0,75^{x-4}+1-\left(0,75^{x-2}-3\right)\right]\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \left(0,75^{-2}\cdot0,75^{x-2}-0,75^{x-2}+4\right)\;\mathrm{LE} \\[5pt] &=& \left(0,78\cdot0,75^{x-2}+4\right)\;\mathrm{LE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/338b595e4c82626faa742411c1b9aaddf1ad7fc1d94c1d048a9d6f5ace6af307_dark.svg)
Für den Flächeninhalt des Dreiecks 
folgt damit:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} A &=& 0,5 \cdot\left|\overline{A_1 B_1}\right| \cdot\left|\overline{A_1 C_1}\right| \cdot \sin \sphericalangle B_1 A_1 C_1 \\[5pt] &=& 0,5\cdot\left(0,78\cdot0,75^{x-2}+4\right)\cdot5\cdot\sin60^\circ\;\mathrm{FE} \\[5pt] &=& 0,5\cdot6,47\cdot5\cdot\sin60^\circ\;\mathrm{FE} \\[5pt] &=&14,01\;\mathrm{FE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/887e3eef727a459bd3b6ea2b19c74161f0dbf00830725d6225c947886cfa6197_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} A &=& 0,5 \cdot\left|\overline{A_1 B_1}\right| \cdot\left|\overline{A_1 C_1}\right| \cdot \sin \sphericalangle B_1 A_1 C_1 \\[5pt] &=& 0,5\cdot\left(0,78\cdot0,75^{x-2}+4\right)\cdot5\cdot\sin60^\circ\;\mathrm{FE} \\[5pt] &=& 0,5\cdot6,47\cdot5\cdot\sin60^\circ\;\mathrm{FE} \\[5pt] &=&14,01\;\mathrm{FE} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/887e3eef727a459bd3b6ea2b19c74161f0dbf00830725d6225c947886cfa6197_dark.svg)
Im Dreieck 
gilt 
Damit folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,78\cdot0,75^{x-2}+4 &=& 5 &\quad\scriptsize\mid\;-4\\[5pt] 0,78\cdot0,75^{x-2} &=& 1 &\quad\scriptsize\mid\;:0,78 \\[5pt] 0,75^{x-2} &=& \dfrac{1}{0,78} &\quad\scriptsize\mid\;\log_{0,75} \\[5pt] x-2 &=& \log_{0,75}\dfrac{1}{0,78} &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] x &=& 1,14 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d6ba1aaa8621c9600e7b30f3af7398eb2ea53be2421b2983b5f045328f97ad7_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,78\cdot0,75^{x-2}+4 &=& 5 &\quad\scriptsize\mid\;-4\\[5pt] 0,78\cdot0,75^{x-2} &=& 1 &\quad\scriptsize\mid\;:0,78 \\[5pt] 0,75^{x-2} &=& \dfrac{1}{0,78} &\quad\scriptsize\mid\;\log_{0,75} \\[5pt] x-2 &=& \log_{0,75}\dfrac{1}{0,78} &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] x &=& 1,14 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d6ba1aaa8621c9600e7b30f3af7398eb2ea53be2421b2983b5f045328f97ad7_dark.svg)
Der Winkel 
hat das Maß 
Folglich gilt für die beiden Basiswinkel 
und 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \sphericalangle C_3 B_3 A_3 &=& \sphericalangle A_3 C_3 B_3 \\[5pt] &=& \dfrac{\left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)}{2} \\[5pt] &=& 60^\circ \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ef051d2c0daf398b4f6c0322b81df6e751cb851a2c9afbf0636c008041c52240_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \sphericalangle C_3 B_3 A_3 &=& \sphericalangle A_3 C_3 B_3 \\[5pt] &=& \dfrac{\left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)}{2} \\[5pt] &=& 60^\circ \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ef051d2c0daf398b4f6c0322b81df6e751cb851a2c9afbf0636c008041c52240_dark.svg)
Somit ist das Dreieck gleichseitig.