Aufgabe 2
Das Rechteck 
ist die Grundfläche des Quaders 
Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild des Quaders
Es gilt:
-
-
-
liegt auf der Schrägbildachse.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Punkte 
liegen auf der Strecke 
Punkte 
liegen auf der Strecke 
wobei 
gilt.
Die Dreiecke 
sind die Grundflächen von Prismen 
Zeichne das Prisma 
für 
in das Schrägbild ein.
Die Winkel 
haben das Maß 
mit 
Zeige, dass für das Volumen 
der Prismen 
in Abhängigkeit von gilt: 
Das Volumen des Prismas 
beträgt 
Berechne das zugehörige Winkelmaß 
Gibt es unter den Prismen 
ein Prisma 
, dessen Volumen mehr als halb so groß ist wie das Volumen des Quaders 
Begründe deine Entscheidung.
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Für das Volumen der Prismen gilt:
Für die Länge der Strecke 
ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan \varphi &=&\dfrac{\left|\overline{AP_n}\right|}{3\;\mathrm{cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot3\;\mathrm{cm} \\[5pt] \tan \varphi\cdot3\;\mathrm{cm} &=&\left|\overline{AP_n}\right|(\varphi) \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b9638a454471316b3c77cab2e0ace315ff59117c43d48a676a64d4642cb541c6_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \tan \varphi &=&\dfrac{\left|\overline{AP_n}\right|}{3\;\mathrm{cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot3\;\mathrm{cm} \\[5pt] \tan \varphi\cdot3\;\mathrm{cm} &=&\left|\overline{AP_n}\right|(\varphi) \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b9638a454471316b3c77cab2e0ace315ff59117c43d48a676a64d4642cb541c6_dark.svg)
Einsetzen der Werte in die Formel für das Volumen liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(\varphi) &=&\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \tan \varphi \cdot 3 \cdot 4\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=&18 \cdot \tan \varphi\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/15046662bce81df3ceb73631d04e76d4f236b76aad15fe182532f80a9a74586f_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(\varphi) &=&\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \tan \varphi \cdot 3 \cdot 4\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=&18 \cdot \tan \varphi\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/15046662bce81df3ceb73631d04e76d4f236b76aad15fe182532f80a9a74586f_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 50 &=&18 \cdot \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;:18 \\[5pt] \dfrac{50}{18} &=& \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \tan^{-1}\left(\dfrac{50}{18}\right) &=& \varphi \\[5pt] 70,20^\circ &=& \varphi \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e6e943aed3a07ac5afcdb0d68ef951955b791d12a0ffc4e4c97bb419896b8c14_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 50 &=&18 \cdot \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;:18 \\[5pt] \dfrac{50}{18} &=& \tan \varphi &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \tan^{-1}\left(\dfrac{50}{18}\right) &=& \varphi \\[5pt] 70,20^\circ &=& \varphi \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e6e943aed3a07ac5afcdb0d68ef951955b791d12a0ffc4e4c97bb419896b8c14_dark.svg)
Das Prisma 
mit dem größten Volumen ergibt sich für 
Für dieses Prisma gilt 
Folglich kann es kein solches Prisma 
geben.