Aufgabe 3
Gegeben sind die Funktion 
mit der Gleichung 
und die Funktion 
mit der Gleichung 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne die Graphen zu und für ![Formula: x \in[-9 ; 1]](https://www.schullv.de/resources/formulas/328c57c44ed7190b3e0fe0c203bcac5a6adfa6991c6c5159f28ea989fff27923_light.svg)
![Formula: x \in[-9 ; 1]](https://www.schullv.de/resources/formulas/328c57c44ed7190b3e0fe0c203bcac5a6adfa6991c6c5159f28ea989fff27923_dark.svg)
in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 
Punkte 
auf dem Graphen zu und Punkte 
auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse 
Sie sind zusammen mit Punkten 
und 
die Eckpunkte von Quadraten 
Zeichne die Quadrate 
für 
und 
für 
mit ihren Diagonalen in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken 
in Abhängigkeit von der Abszisse 
der Punkte 
gilt: 
Die Diagonalen der Quadrate 
schneiden sich in Punkten 
Die Punkte 
sind die Mittelpunkte von Kreisen 
mit den Durchmessern 
Zeichne den Kreis 
in das Koordinatensystem zu B 3.1 ein.
Die Diagonale 
liegt auf der 
-Achse.
Berechne den Umfang des Kreises 
Der Kreis 
hat den Flächeninhalt 
Berechne den Durchmesser 
des Kreises sowie die -Koordinate des Punktes 
Teilergebnis: ![Formula: \left. d_4=7,14 \;\mathrm{LE}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/ed1c161c659b4bec58aefc5589a08347faf2f8bc515465414d35306182ef7589_light.svg)
![Formula: \left. d_4=7,14 \;\mathrm{LE}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/ed1c161c659b4bec58aefc5589a08347faf2f8bc515465414d35306182ef7589_dark.svg)
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![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left|\overline{A_n C_n}\right|(x) &=& \left(2,5 \cdot 1,3^{x+3}+2-\left(-2 \cdot 1,3^x-0,5\right)\right) \mathrm{~LE} \\[5pt]
&=& \left(2,5 \cdot 1,3^{x} \cdot 1,3^{3}+2+2 \cdot 1,3^x+0,5\right) \mathrm{~LE} \\[5pt]
&=& \left((2,5\cdot 1,3^3 +2) \cdot 1,3^{x} +2,5\right) \mathrm{~LE}\\[5pt]
&\approx& \left(7,49 \cdot 1,3^x+2,5\right) \mathrm{LE}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/410852f3265a6a7ff791d1bb799cd6e3ba344ce3870fb958f5c71ab234dee4fa_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left|\overline{A_n C_n}\right|(x) &=& \left(2,5 \cdot 1,3^{x+3}+2-\left(-2 \cdot 1,3^x-0,5\right)\right) \mathrm{~LE} \\[5pt]
&=& \left(2,5 \cdot 1,3^{x} \cdot 1,3^{3}+2+2 \cdot 1,3^x+0,5\right) \mathrm{~LE} \\[5pt]
&=& \left((2,5\cdot 1,3^3 +2) \cdot 1,3^{x} +2,5\right) \mathrm{~LE}\\[5pt]
&\approx& \left(7,49 \cdot 1,3^x+2,5\right) \mathrm{LE}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/410852f3265a6a7ff791d1bb799cd6e3ba344ce3870fb958f5c71ab234dee4fa_dark.svg)
Für den Durchmesser 
von 
gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
d_3 &=&\left|\overline{A_3 C_3}\right| \\[5pt]
&=& \left(7,49 \cdot 1,3^0 +2,5\right)\;\mathrm{LE} \\[5pt]
&=& 9,99 \mathrm{~LE}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/62d92d3f4795fed022701ba0f760941b81fc52149159e98352ec8edb10fb88f2_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
d_3 &=&\left|\overline{A_3 C_3}\right| \\[5pt]
&=& \left(7,49 \cdot 1,3^0 +2,5\right)\;\mathrm{LE} \\[5pt]
&=& 9,99 \mathrm{~LE}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/62d92d3f4795fed022701ba0f760941b81fc52149159e98352ec8edb10fb88f2_dark.svg)
Somit folgt für den Umfang von 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
u_{k_3} &=& d_3 \cdot \pi \\[5pt]
&=& 9,99 \cdot \pi \mathrm{~LE} \\[5pt]
&\approx& 31,38 \mathrm{~LE}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/bee878929b0e7ae28586c05823594431a8e6dbaddfb00f349272596b3cf93fe9_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
u_{k_3} &=& d_3 \cdot \pi \\[5pt]
&=& 9,99 \cdot \pi \mathrm{~LE} \\[5pt]
&\approx& 31,38 \mathrm{~LE}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/bee878929b0e7ae28586c05823594431a8e6dbaddfb00f349272596b3cf93fe9_dark.svg)
Das Einsetzen in die Formel zur Bestimmung der Kreisfläche liefert für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
A_{k_4} &=& \left(\dfrac{1}{2} \cdot d_4\right)^2 \cdot \pi \\[5pt]
40 \mathrm{~FE} &=& \left(d_4\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \pi \mathrm{~LE} &\quad\scriptsize\mid\; : \dfrac{\pi}{4} \mathrm{~LE} \\[5pt]
\dfrac{160}{\pi} \mathrm{~LE} &=& \left(d_4\right)^2 &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{160}{\pi}} \mathrm{~LE} &=& d_4 \\[5pt]
7,14 \mathrm{~LE} &\approx& d_4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e67d5932f2b2494ad9344498ccd536c3f391dcde19aac69349c6766f62c06fc_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
A_{k_4} &=& \left(\dfrac{1}{2} \cdot d_4\right)^2 \cdot \pi \\[5pt]
40 \mathrm{~FE} &=& \left(d_4\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \pi \mathrm{~LE} &\quad\scriptsize\mid\; : \dfrac{\pi}{4} \mathrm{~LE} \\[5pt]
\dfrac{160}{\pi} \mathrm{~LE} &=& \left(d_4\right)^2 &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{160}{\pi}} \mathrm{~LE} &=& d_4 \\[5pt]
7,14 \mathrm{~LE} &\approx& d_4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e67d5932f2b2494ad9344498ccd536c3f391dcde19aac69349c6766f62c06fc_dark.svg)
Für die -Koordinate von 
gilt dann mithilfe der Durchmesserformel:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
7,14 &=&7,49 \cdot 1,3^x +2,5 &\quad\scriptsize\mid\; -2,5 \\[5pt]
4,64 &=& 7,49 \cdot 1,3^x &\quad\scriptsize\mid\; :7,49 \\[5pt]
\dfrac{464}{749} &=& 1,3^x &\quad\scriptsize\mid\; \log_{1,3} \\[5pt]
\log_{1,3}\left(\dfrac{464}{749}\right) &=& x \\[5pt]
-1,83 &\approx& x
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d6086dd139670c71bba60da5dd629c87dad5277500d8d1e53f023637db33e13c_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
7,14 &=&7,49 \cdot 1,3^x +2,5 &\quad\scriptsize\mid\; -2,5 \\[5pt]
4,64 &=& 7,49 \cdot 1,3^x &\quad\scriptsize\mid\; :7,49 \\[5pt]
\dfrac{464}{749} &=& 1,3^x &\quad\scriptsize\mid\; \log_{1,3} \\[5pt]
\log_{1,3}\left(\dfrac{464}{749}\right) &=& x \\[5pt]
-1,83 &\approx& x
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d6086dd139670c71bba60da5dd629c87dad5277500d8d1e53f023637db33e13c_dark.svg)
Somit folgt für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
x_{B_4} &=& x + 0,5 \cdot d_4 \\[5pt]
&=& -1,83 + 0,5 \cdot 7,14 \\[5pt]
&=& 1,74
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/82015a51c8f45cc115e314b8cbfc6af3f9d68a96621c8e7c3ae83667ba33835e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
x_{B_4} &=& x + 0,5 \cdot d_4 \\[5pt]
&=& -1,83 + 0,5 \cdot 7,14 \\[5pt]
&=& 1,74
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/82015a51c8f45cc115e314b8cbfc6af3f9d68a96621c8e7c3ae83667ba33835e_dark.svg)