Aufgabe 2
Die Axialschnitte von Rotationskörpern sind symmetrische Siebenecke 
mit der Symmetrieachse 
wobei 
und 
die Mittelpunkte der Strecken 
und 
sind. Die Winkel 
haben das Maß 
mit ![Formula: \left.\varphi \in\right] 0^{\circ} ; 39,09^{\circ}[.](https://www.schullv.de/resources/formulas/14b84599470b0869607f677491a2996286d06ee62eb52ba34cb7435a7b715fda_light.svg)
![Formula: \left.\varphi \in\right] 0^{\circ} ; 39,09^{\circ}[.](https://www.schullv.de/resources/formulas/14b84599470b0869607f677491a2996286d06ee62eb52ba34cb7435a7b715fda_dark.svg)
Es gilt:
Die Skizze zeigt das Siebeneck 
für 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Begründe rechnerisch: Das Maß der oberen Intervallgrenze für beträgt 
Die Siebenecke rotieren um die Gerade 
Zeige, dass für das Volumen 
der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt: 
Die Rotationskörper sind Vorlagen für Werkstücke aus Edelstahl. Dabei haben 
des verwendeten Edelstahls eine Masse von 
Berechne das Maß von 
für das man ein Werkstück mit einer Masse von 
erhält.
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Das Maß der oberen Intervallgrenze für entspricht dem Maß des Winkels 
Für diesen folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\tan \sphericalangle {A C M} &=& \dfrac{0,5 \cdot 6,5}{4} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\tan^{-1} \\[5pt]
\sphericalangle{ACM}&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{13}{16}\right) \\[5pt]
\sphericalangle{ACM}&\approx&39,09^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a2bbf17ca6b1910a9b805e0d62c959ab242f8e437c98611b81e64c11815f967d_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\tan \sphericalangle {A C M} &=& \dfrac{0,5 \cdot 6,5}{4} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\tan^{-1} \\[5pt]
\sphericalangle{ACM}&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{13}{16}\right) \\[5pt]
\sphericalangle{ACM}&\approx&39,09^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a2bbf17ca6b1910a9b805e0d62c959ab242f8e437c98611b81e64c11815f967d_dark.svg)
Somit beträgt das Maß der oberen Intervallgrenze für ungefähr
Für das Volumen der Rotationskörper gilt:
Für die Länge der Strecke 
ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\tan \varphi &=& \dfrac{\left|\overline{B_nM}\right|}{4\mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 4\mathrm{~cm} \\[5pt]
4 \cdot \tan \varphi \mathrm{~cm}&=&\left|\overline{B_nM}\right| (\varphi)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/06e49ec8d49fafcc14915525916ed034e8023f3e7ac2f5f862c0bd1d80b2b807_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\tan \varphi &=& \dfrac{\left|\overline{B_nM}\right|}{4\mathrm{~cm}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 4\mathrm{~cm} \\[5pt]
4 \cdot \tan \varphi \mathrm{~cm}&=&\left|\overline{B_nM}\right| (\varphi)
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/06e49ec8d49fafcc14915525916ed034e8023f3e7ac2f5f862c0bd1d80b2b807_dark.svg)
Das Einsetzen der Werte in die Formel für das Volumen liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V(\varphi) &=&\left(\left(\dfrac{1}{2} \cdot 6,5\right)^2 \cdot \pi \cdot 7 - \dfrac{1}{3} \cdot (4 \cdot \tan \varphi)^2 \cdot \pi \cdot 4\right) \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=&\left(232,28-67,02 \cdot \tan ^2 \varphi\right) \;\mathrm{cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7e83b93d42c00d430978a55f1413f3454a9839fc2f0591b260b6e15c9e7c9054_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V(\varphi) &=&\left(\left(\dfrac{1}{2} \cdot 6,5\right)^2 \cdot \pi \cdot 7 - \dfrac{1}{3} \cdot (4 \cdot \tan \varphi)^2 \cdot \pi \cdot 4\right) \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=&\left(232,28-67,02 \cdot \tan ^2 \varphi\right) \;\mathrm{cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7e83b93d42c00d430978a55f1413f3454a9839fc2f0591b260b6e15c9e7c9054_dark.svg)
Für das Volumen 
gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V_{\text{Werkstück}}&=& \dfrac{1600}{7,95} \mathrm{~cm^3} \\[5pt]
&\approx&201,26 \mathrm{~cm^3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5adaf4f5b6b0db9e3ea3e6a063cd1d3f9a6737b9adec34e523cf60ef8c61b08d_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V_{\text{Werkstück}}&=& \dfrac{1600}{7,95} \mathrm{~cm^3} \\[5pt]
&\approx&201,26 \mathrm{~cm^3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5adaf4f5b6b0db9e3ea3e6a063cd1d3f9a6737b9adec34e523cf60ef8c61b08d_dark.svg)
Das Einsetzen in die Volumenformel liefert dann für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
232,28-67,02 \cdot \tan ^2 \varphi &=& 201,26 &\quad\scriptsize\mid\; -232,28 \\[5pt]
-67,02 \cdot \tan^2 \varphi &=& -31,02 &\quad\scriptsize\mid\; :(-67,02) \\[5pt]
\tan^2 \varphi &=& \dfrac{517}{1117} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\tan \varphi &=& \sqrt{\dfrac{517}{1117}} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \tan^{-1}\\[5pt]
\varphi &\approx& 34,23^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2b444a6ddc919ad904fe8623fc6b91fae76d7384feae461d570dec9be0eb6283_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
232,28-67,02 \cdot \tan ^2 \varphi &=& 201,26 &\quad\scriptsize\mid\; -232,28 \\[5pt]
-67,02 \cdot \tan^2 \varphi &=& -31,02 &\quad\scriptsize\mid\; :(-67,02) \\[5pt]
\tan^2 \varphi &=& \dfrac{517}{1117} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\tan \varphi &=& \sqrt{\dfrac{517}{1117}} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \tan^{-1}\\[5pt]
\varphi &\approx& 34,23^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2b444a6ddc919ad904fe8623fc6b91fae76d7384feae461d570dec9be0eb6283_dark.svg)
