Aufgabe 2
Gegeben sind das Trapez 
und Punkte 
auf der Diagonalen 
(siehe Zeichnung). Die Punkte 
und legen Dreiecke 
fest. Die Winkel 
haben das Maß 
mit ![Formula: \varphi \in] 0^{\circ} ; 51,34^{\circ}].](https://www.schullv.de/resources/formulas/224bdd377ee770a5324b050d1a62cf9c3751c031cb1426d630441fa32f922f6c_light.svg)
![Formula: \varphi \in] 0^{\circ} ; 51,34^{\circ}].](https://www.schullv.de/resources/formulas/224bdd377ee770a5324b050d1a62cf9c3751c031cb1426d630441fa32f922f6c_dark.svg)
Es gilt: 
Die Zeichnung zeigt das Dreieck 
für 
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken 
in Abhängigkeit von gilt: 
Berechne sodann die Länge der Strecke 
Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Das Dreieck 
ist gleichschenklig mit der Basis 
Ergänze das Dreieck in der Zeichnung zu B 2.
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Länge der Strecken zeigen
Mit dem Sinussatz folgt:
Für den Winkel 
gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\tan\sphericalangle{ADB}&=&\dfrac{\left|\overline{AB}\right|}{\left|\overline{AD}\right|} \\[5pt]
\tan\sphericalangle{ADB}&=&\dfrac{7}{5} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\sphericalangle{ADB}&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{7}{5}\right) \\[5pt]
\sphericalangle{ADB}&=&54,46^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8f0b65c113ca88f74495825c66a1f747b464e30630a2e4cd4e65bed12adf46f2_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\tan\sphericalangle{ADB}&=&\dfrac{\left|\overline{AB}\right|}{\left|\overline{AD}\right|} \\[5pt]
\tan\sphericalangle{ADB}&=&\dfrac{7}{5} &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\sphericalangle{ADB}&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{7}{5}\right) \\[5pt]
\sphericalangle{ADB}&=&54,46^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8f0b65c113ca88f74495825c66a1f747b464e30630a2e4cd4e65bed12adf46f2_dark.svg)
Daraus folgt für den Winkel 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle{BDC}&=&90^{\circ}-\sphericalangle{ADB} \\[5pt]
&=&90^{\circ}-54,46^{\circ} \\[5pt]
&=&35,54^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7dcd08e710c574d8814356c982a342b7471c8c45430ecc545c1be7c7c6931aed_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\sphericalangle{BDC}&=&90^{\circ}-\sphericalangle{ADB} \\[5pt]
&=&90^{\circ}-54,46^{\circ} \\[5pt]
&=&35,54^{\circ}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7dcd08e710c574d8814356c982a342b7471c8c45430ecc545c1be7c7c6931aed_dark.svg)
Einsetzen in den Sinussatz liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{DP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{\left|\overline{CD}\right|}{\sin \left(180^{\circ}-(\sphericalangle {BDC}+\varphi)\right)} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{DP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{11\mathrm{~cm}}{\sin \left(180^{\circ}-(35,54^{\circ}+\varphi)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin\varphi \\[5pt]
\left|\overline{DP_n}\right|(\varphi)&=&\dfrac{11 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(35,54^{\circ}+\varphi\right)} \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7fdc2caae6d40816fdcb32040fa70202bd09ab855508d9f2da76cfa8872217cd_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{DP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{\left|\overline{CD}\right|}{\sin \left(180^{\circ}-(\sphericalangle {BDC}+\varphi)\right)} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{DP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{11\mathrm{~cm}}{\sin \left(180^{\circ}-(35,54^{\circ}+\varphi)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin\varphi \\[5pt]
\left|\overline{DP_n}\right|(\varphi)&=&\dfrac{11 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(35,54^{\circ}+\varphi\right)} \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7fdc2caae6d40816fdcb32040fa70202bd09ab855508d9f2da76cfa8872217cd_dark.svg)
Länge 
berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left|\overline{DP_1}\right|&=&\dfrac{11 \cdot \sin 20^{\circ}}{\sin \left(35,54^{\circ}+20^{\circ}\right)} \mathrm{~cm} \\[5pt]
&=&4,56 \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/87f5efa8818f21130da212defbd649d0b590dc181d488e139205d2e2492a0adf_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left|\overline{DP_1}\right|&=&\dfrac{11 \cdot \sin 20^{\circ}}{\sin \left(35,54^{\circ}+20^{\circ}\right)} \mathrm{~cm} \\[5pt]
&=&4,56 \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/87f5efa8818f21130da212defbd649d0b590dc181d488e139205d2e2492a0adf_dark.svg)
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