Teil A

A 1

Martina kümmert sich um die Wohnungen und die Briefkästen ihrer Nachbarn, wenn diese im Urlaub sind. Sie erhält deshalb von jedem ihrer fünf Nachbarn jeweils einen großen Wohnungs- und einen kleinen Briefkastenschlüssel. Die Schlüssel sind nicht beschriftet. Deshalb kann Martina keiner Wohnung und keinem Briefkasten den jeweils passenden Schlüssel zuordnen.

Moderner Wohnblock mit Balkonen und großen Fenstern

Martina möchte die Post ihres Nachbarn Stephan in dessen Wohnung bringen. Dazu nimmt sie von den zehn Schlüsseln der Nachbarn einen zufällig ausgewählten Wohnungsschlüssel und einen zufällig ausgewählten Briefkastenschlüssel.

A 1.1

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit beide Schlüssel passen.

1 P

A 1.2

Bestimme, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau einer der beiden Schlüssel passt.

1,5 P

A 2

Gegeben sind gleichschenklige Dreiecke Formula: A B_n C_n mit den Basen $Formula: \overline{A B_n}.$ $Formula: \overline{A B_n}.$

Die Winkel Formula: B_nAC_n haben das Maß $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ mit $Formula: \left.\varphi \in\right] 0^{\circ} ; 90^{\circ}[.$ $Formula: \left.\varphi \in\right] 0^{\circ} ; 90^{\circ}[.$

Es gilt: $Formula: \left|\overline{A C_n}\right|=4\;\mathrm{cm}.$ $Formula: \left|\overline{A C_n}\right|=4\;\mathrm{cm}.$

Die untenstehende Zeichnung zeigt das Dreieck Formula: A B_1 C_1 für $Formula: \varphi=40^{\circ}.$ $Formula: \varphi=40^{\circ}.$

Dreieck A-B1-C1 mit senkrechter Achse durch A und B1, Rotationspfeil oben und Winkel φ am Punkt A

A 2.1

Ergänze in der Zeichnung das Dreieck Formula: AB_2 C_2 für $Formula: \varphi=75^{\circ}.$ $Formula: \varphi=75^{\circ}.$

1 P

A 2.2

In den Dreiecken Formula: A B_n C_n gilt für den Abstand der Punkte Formula: C_n zur Geraden Formula: A B_n:

$Formula: a=x\;\mathrm{cm}\quad(x \in \mathbb{R}).$ $Formula: a=x\;\mathrm{cm}\quad(x \in \mathbb{R}).$

Kreuze das passende Intervall für Formula: x an.

 $Formula: [0 ; \infty[\quad\;$ $Formula: [0 ; \infty[\quad\;$

 $Formula: ] 0 ; \infty[\quad\;$ $Formula: ] 0 ; \infty[\quad\;$

 $Formula: ] 0 ; 4[\quad\;$ $Formula: ] 0 ; 4[\quad\;$

 $Formula: ] 0 ; 4]\quad\;$ $Formula: ] 0 ; 4]\quad\;$

 $Formula: [0 ; 4[\quad\;$ $Formula: [0 ; 4[\quad\;$

 Formula: [0 ; 4]

1 P

A 2.3

Die Dreiecke Formula: A B_n C_n rotieren um die Gerade Formula: A B_n.

Zeige, dass für den Oberflächeninhalt Formula: O der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ gilt: $Formula: O(\varphi)=32 \cdot \pi \cdot \sin \varphi\;\mathrm{cm}^2.$ $Formula: O(\varphi)=32 \cdot \pi \cdot \sin \varphi\;\mathrm{cm}^2.$

2,5 P

A 2.4

Durch Rotation des Dreiecks Formula: A B_3 C_3 um die Gerade entsteht ein Rotationskörper mit einem Oberflächeninhalt von $Formula: 16 \cdot \pi\;\mathrm{cm}^2.$ $Formula: 16 \cdot \pi\;\mathrm{cm}^2.$

Bestimme das zugehörige Maß für $Formula: \varphi.$ $Formula: \varphi.$

1,5 P

A 3

Die Skizze zeigt das rechtwinklige Dreieck Formula: ABC mit der Hypotenuse $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ und dem Schwerpunkt Formula: S. Die Gerade Formula: BS schneidet die Seite $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ im Punkt Formula: M.

Es gilt: $Formula: |\overline{AC}|=8 \sqrt{3}\;\mathrm{cm} ;|\overline{BC}|=4\;\mathrm{cm}.$ $Formula: |\overline{AC}|=8 \sqrt{3}\;\mathrm{cm} ;|\overline{BC}|=4\;\mathrm{cm}.$

Geometrische Skizze: Punkt A links, rechtwinklige Ecke C oben rechts mit BC senkrecht, Punkt B unten rechts, zwei Diagonalen von A nach B, M und markiertes S.

A 3.1

Begründe ohne zu messen, dass der Punkt Formula: M der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ ist.

1 P

A 3.2

Bestimme mithilfe einer Rechnung das Maß des Winkels $CBM.$

2 P

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