Aufgabe 4
Die Diagonalen 
und 
der Raute 
schneiden sich im Punkt 
Die Raute ist die Grundfläche der Pyramide 
mit der Höhe 
Es gilt: 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne das Schrägbild der Pyramide 
wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt 
links vom Punkt 
liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 
Berechne sodann das Maß des Winkels 
und die Länge der Strecke
Teilergebnisse: ![Formula: \left.\sphericalangle {SCA}=50,83^{\circ} ;\left|\overline{MS}\right|=7,37 \mathrm{~cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/316f8a48e9fc5383412dde9bec2cbd23112680366b71a66750d6f423a17122af_light.svg)
![Formula: \left.\sphericalangle {SCA}=50,83^{\circ} ;\left|\overline{MS}\right|=7,37 \mathrm{~cm}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/316f8a48e9fc5383412dde9bec2cbd23112680366b71a66750d6f423a17122af_dark.svg)
Punkte 
liegen auf der Strecke 
Die Winkel 
haben das Maß 
mit ![Formula: \left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 50,83^{\circ}\right].](https://www.schullv.de/resources/formulas/24a0602b80a2152dc5151abfb85bfaf7289d9c68969ebacf0c27a6c202c2c204_light.svg)
![Formula: \left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 50,83^{\circ}\right].](https://www.schullv.de/resources/formulas/24a0602b80a2152dc5151abfb85bfaf7289d9c68969ebacf0c27a6c202c2c204_dark.svg)
Die Punkte sind zusammen mit den Punkten und die Eckpunkte von Dreiecken 
Die Dreiecke 
sind Grundflächen von Pyramiden 
mit der Spitze 
Zeichne die Pyramide 
für 
in das Schrägbild zu B 4.1 ein.
Zeige, dass für die Länge der Strecken 
in Abhängigkeit von gilt:
Für die Strecke 
gilt: 
Berechne den zugehörigen Wert von 
Zeige, dass für das Volumen 
der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt:
Berechne sodann, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide kleiner ist als das Volumen der Pyramide 
Die Pyramide 
hat dasselbe Volumen wie die Pyramide 
In welchem Verhältnis steht das Volumen der Pyramide zum Volumen der Pyramide 
Begründe.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Pyramide zeichnen
Es gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{MC}\right|&=&0,5 \cdot \left|\overline{AC}\right| \\[5pt] &=&0,5 \cdot 12 \mathrm{~cm}\\[5pt] &=&6\mathrm{~cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4df99e6dea8fdd97a184794d7e35851b6fc774fe0636d8aeb7177f185dd6d609_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{MC}\right|&=&0,5 \cdot \left|\overline{AC}\right| \\[5pt] &=&0,5 \cdot 12 \mathrm{~cm}\\[5pt] &=&6\mathrm{~cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4df99e6dea8fdd97a184794d7e35851b6fc774fe0636d8aeb7177f185dd6d609_dark.svg)
Winkel berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos \sphericalangle S C A &=& \dfrac{\left|\overline{MC}\right|}{\left|\overline{CS}\right|} \\[5pt]
\cos \sphericalangle S C A &=&\dfrac{6}{9,5} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\sphericalangle S C A &=& \cos^{-1}\left(\dfrac{6}{9,5}\right) \\[5pt]
&=& 50,83^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8c4cbc8bf933c0c3c37a981341af219e6426a47e6f3d2c84103741d7ebca6e31_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos \sphericalangle S C A &=& \dfrac{\left|\overline{MC}\right|}{\left|\overline{CS}\right|} \\[5pt]
\cos \sphericalangle S C A &=&\dfrac{6}{9,5} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\sphericalangle S C A &=& \cos^{-1}\left(\dfrac{6}{9,5}\right) \\[5pt]
&=& 50,83^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8c4cbc8bf933c0c3c37a981341af219e6426a47e6f3d2c84103741d7ebca6e31_dark.svg)
Länge der Strecke berechnen
Umstellen des Satzes des Pythagoras liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{MS}\right| &=& \sqrt{\left|\overline{CS}\right|^2-\left|\overline{MC}\right|^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9,5^2-6^2}\;\mathrm{cm} \\[5pt] &=& \sqrt{54,25}\;\mathrm{cm} \\[5pt] &=& 7,37\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/33eef671ca2b7e5860e11b9c1d2f74354b955bee3e3b51de9801baca959cee51_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{MS}\right| &=& \sqrt{\left|\overline{CS}\right|^2-\left|\overline{MC}\right|^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9,5^2-6^2}\;\mathrm{cm} \\[5pt] &=& \sqrt{54,25}\;\mathrm{cm} \\[5pt] &=& 7,37\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/33eef671ca2b7e5860e11b9c1d2f74354b955bee3e3b51de9801baca959cee51_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|\overline{A P_n}\right|}{\sin \left(50,83^{\circ}\right)} &=& \dfrac{\left|\overline{AC}\right|}{\sin \sphericalangle AP_nC} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{A P_n}\right|}{\sin \left(50,83^{\circ}\right)} &=& \dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin \left(180^{\circ}-\left(\varphi+50,83^{\circ}\right)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \left(50,83^{\circ}\right) \\[5pt] \left|\overline{A P_n}\right|(\varphi) &=& \dfrac{12\cdot\sin\left(50,83^{\circ}\right)}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{9,30}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/bde46809ca183f4c66a2f62bf09a7f7a026c4ba347e46fe63985cde258be5b28_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left|\overline{A P_n}\right|}{\sin \left(50,83^{\circ}\right)} &=& \dfrac{\left|\overline{AC}\right|}{\sin \sphericalangle AP_nC} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{A P_n}\right|}{\sin \left(50,83^{\circ}\right)} &=& \dfrac{12\;\mathrm{cm}}{\sin \left(180^{\circ}-\left(\varphi+50,83^{\circ}\right)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \left(50,83^{\circ}\right) \\[5pt] \left|\overline{A P_n}\right|(\varphi) &=& \dfrac{12\cdot\sin\left(50,83^{\circ}\right)}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{9,30}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/bde46809ca183f4c66a2f62bf09a7f7a026c4ba347e46fe63985cde258be5b28_dark.svg)
Für 
gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{A P_2}\right|&=&10 \mathrm{~cm} \\[5pt]
\dfrac{9,30}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)} \mathrm{~cm}&=& 10 \mathrm{~cm} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right) \\[5pt]
9,30 &=& 10\cdot\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right) &\quad\scriptsize\mid\;:10 \\[5pt]
\dfrac{9,30}{10} &=&\sin \left(\varphi +50,83^{\circ}\right) &\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1} \\[5pt]
\sin^{-1}(0,93)&=& \varphi +50,83^{\circ} \\[5pt]
68,43^{\circ} &=& \varphi + 50,83^{\circ} &\quad\scriptsize\mid\;-50,83^{\circ} \\[5pt]
17,60^{\circ} &=& \varphi
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19b55823f9338f613e2dda625f906af570c1b75f1ea1e1d1d935792fe0693d39_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \left|\overline{A P_2}\right|&=&10 \mathrm{~cm} \\[5pt]
\dfrac{9,30}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)} \mathrm{~cm}&=& 10 \mathrm{~cm} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right) \\[5pt]
9,30 &=& 10\cdot\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right) &\quad\scriptsize\mid\;:10 \\[5pt]
\dfrac{9,30}{10} &=&\sin \left(\varphi +50,83^{\circ}\right) &\quad\scriptsize\mid\; \sin^{-1} \\[5pt]
\sin^{-1}(0,93)&=& \varphi +50,83^{\circ} \\[5pt]
68,43^{\circ} &=& \varphi + 50,83^{\circ} &\quad\scriptsize\mid\;-50,83^{\circ} \\[5pt]
17,60^{\circ} &=& \varphi
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19b55823f9338f613e2dda625f906af570c1b75f1ea1e1d1d935792fe0693d39_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(\varphi) &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AP_n}\right| \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \sin\varphi \cdot 0,5 \cdot \left|\overline{BD}\right| \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9,30}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)} \cdot 12 \cdot \sin\varphi \cdot 0,5 \cdot 8 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& \dfrac{74,40 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0bdf03ec251fe9114f7276514bec41b1170183fbbe065e165e676f11515a67b7_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(\varphi) &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AP_n}\right| \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \sin\varphi \cdot 0,5 \cdot \left|\overline{BD}\right| \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9,30}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)} \cdot 12 \cdot \sin\varphi \cdot 0,5 \cdot 8 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& \dfrac{74,40 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(\varphi+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0bdf03ec251fe9114f7276514bec41b1170183fbbe065e165e676f11515a67b7_dark.svg)
Für ergibt dann das Volumen der Pyramide 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(35^{\circ}) &=& \dfrac{74,40 \cdot \sin 35^{\circ}}{\sin \left(35^{\circ}+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& \dfrac{74,40 \cdot \sin 35^{\circ}}{\sin \left(85,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& 42,79 \;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b786757c27add87af4df7b31f073d164275e639c1e46956655dfce24ac2c14c7_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V(35^{\circ}) &=& \dfrac{74,40 \cdot \sin 35^{\circ}}{\sin \left(35^{\circ}+50,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& \dfrac{74,40 \cdot \sin 35^{\circ}}{\sin \left(85,83^{\circ}\right)}\;\mathrm{cm}^3 \\[5pt] &=& 42,79 \;\mathrm{cm}^3 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b786757c27add87af4df7b31f073d164275e639c1e46956655dfce24ac2c14c7_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{ABCDS} &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{BD}\right| \cdot \left|\overline{MS}\right| \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot 7,37 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=& 117,92\;\mathrm{cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0fdb477cb276eaa967d916817802bfcfbab7a4637042dc9139745396d628f2af_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{ABCDS} &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{BD}\right| \cdot \left|\overline{MS}\right| \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot 7,37 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=& 117,92\;\mathrm{cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0fdb477cb276eaa967d916817802bfcfbab7a4637042dc9139745396d628f2af_dark.svg)
Das Volumen der Pyramide 
ist damit um die folgende Prozentzahl kleiner als das Volumen der Pyramide 
Es gilt: 
Wegen 
folgt:
