Aufgabe 4

Der Punkt $Formula: A(-2 \mid-1)$ $Formula: A(-2 \mid-1)$ legt mit den Pfeilen $Formula: \overrightarrow{A B}=\binom{5}{-1}$ $Formula: \overrightarrow{A B}=\binom{5}{-1}$ und $Formula: \overrightarrow{A C_n}(\varphi)=\binom{2+4 \cdot \cos \varphi}{7-\cos \varphi}$ $Formula: \overrightarrow{A C_n}(\varphi)=\binom{2+4 \cdot \cos \varphi}{7-\cos \varphi}$ für $Formula: \varphi \in\left[0^{\circ} ; 180^{\circ}\right]$ $Formula: \varphi \in\left[0^{\circ} ; 180^{\circ}\right]$ Dreiecke Formula: ABC_n fest.

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B4.1

Berechne die Koordinaten der Pfeile $Formula: \overrightarrow{A C_1}$ $Formula: \overrightarrow{A C_1}$ für $Formula: \varphi=50^{\circ}$ $Formula: \varphi=50^{\circ}$ und $Formula: \overrightarrow{A C_2}$ $Formula: \overrightarrow{A C_2}$ für $Formula: \varphi=160^{\circ}$ $Formula: \varphi=160^{\circ}$ . Zeichne sodann die Dreiecke Formula: ABC_1 und Formula: ABC_2 in ein Koordinatensystem ein. Für die Zeichnung: Längeneinheit $Formula: 1 \mathrm{~cm} ;-4 \leq x \leq 4 ;-3 \leq y \leq 7$ $Formula: 1 \mathrm{~cm} ;-4 \leq x \leq 4 ;-3 \leq y \leq 7$

4 P

B4.2

Das Dreieck Formula: ABC_3 ist rechtwinklig mit der Hypotenuse $Formula: \overline{BC_3}.$ $Formula: \overline{BC_3}.$

Berechne den zugehörigen Wert von $Formula: \varphi.$ $Formula: \varphi.$

3 P

B4.3

Zeige rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte Formula: C_n in Abhängigkeit von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ gilt: $Formula: C_n(4 \cdot \cos \varphi \mid 6-\cos \varphi).$ $Formula: C_n(4 \cdot \cos \varphi \mid 6-\cos \varphi).$

Berechne sodann die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Formula: C_n.

3 P

B4.4

Die Seite $Formula: \overline{AC_4}$ $Formula: \overline{AC_4}$ des Dreiecks Formula: ABC_4 liegt parallel zur Formula: y -Achse.

Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ sowie die Formula: y -Koordinate des Punktes Formula: C_4.

2,5 P

B4.5

Zeige, dass für den Flächeninhalt Formula: A der Dreiecke Formula: ABC_n in Abhängigkeit von $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ gilt: $Formula: A(\varphi)=(18,5-0,5 \cdot \cos \varphi) \;\mathrm{FE}.$ $Formula: A(\varphi)=(18,5-0,5 \cdot \cos \varphi) \;\mathrm{FE}.$

Begründe sodann, weshalb es unter den Dreiecken Formula: A B C_n keines gibt, dessen Flächeninhalt größer als $Formula: 19\;\mathrm{FE}$ $Formula: 19\;\mathrm{FE}$ ist.

3 P

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B4.1

Koordinaten berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_1} &=&\pmatrix{2+4\cdot \cos 50^{\circ} \\ 7- \cos 50^{\circ}} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{4,57 \\ 6,36} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_1} &=&\pmatrix{2+4\cdot \cos 50^{\circ} \\ 7- \cos 50^{\circ}} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{4,57 \\ 6,36} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_2} &=&\pmatrix{2+4\cdot \cos 160^{\circ} \\ 7- \cos 160^{\circ}} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{-1,76 \\ 7,94} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_2} &=&\pmatrix{2+4\cdot \cos 160^{\circ} \\ 7- \cos 160^{\circ}} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{-1,76 \\ 7,94} \end{array}$

Dreiecke einzeichnen

Koordinatensystem mit einem Dreieck und den Punkten A, B, C1 und C2.

B4.2

Es gilt $Formula: \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC_3}.$ $Formula: \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC_3}.$ Für $Formula: \varphi$ $Formula: \varphi$ folgt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \odot \overrightarrow{AC_3} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{5 \\ -1} \odot\pmatrix{2+4\cdot \cos \varphi \\ 7- \cos \varphi} &=& 0 \\[5pt] 10 + 20 \cdot \cos \varphi -7 +\cos \varphi &=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] 21 \cdot \cos \varphi &=& -3 &\quad\scriptsize\mid\;:21 \\[5pt] \cos \varphi &=& -\dfrac{1}{7} &\quad\scriptsize\mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \varphi &\approx& 98,21^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \odot \overrightarrow{AC_3} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{5 \\ -1} \odot\pmatrix{2+4\cdot \cos \varphi \\ 7- \cos \varphi} &=& 0 \\[5pt] 10 + 20 \cdot \cos \varphi -7 +\cos \varphi &=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] 21 \cdot \cos \varphi &=& -3 &\quad\scriptsize\mid\;:21 \\[5pt] \cos \varphi &=& -\dfrac{1}{7} &\quad\scriptsize\mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \varphi &\approx& 98,21^{\circ} \end{array}$

$Formula: L=\{98,21^{\circ}\}$ $Formula: L=\{98,21^{\circ}\}$

B4.3

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{O C_n}&=&\overrightarrow{OA} \oplus \overrightarrow{AC_n} \\[5pt] \overrightarrow{O C_n} (\varphi)&=&\pmatrix{-2 \\ -1} \oplus \pmatrix{2+ 4\cdot \cos \varphi \\ 7 - \cos \varphi} \\[5pt] \overrightarrow{OC_n} (\varphi)&=&\pmatrix{4 \cdot \cos \varphi\\ 6- \cos \varphi} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{O C_n}&=&\overrightarrow{OA} \oplus \overrightarrow{AC_n} \\[5pt] \overrightarrow{O C_n} (\varphi)&=&\pmatrix{-2 \\ -1} \oplus \pmatrix{2+ 4\cdot \cos \varphi \\ 7 - \cos \varphi} \\[5pt] \overrightarrow{OC_n} (\varphi)&=&\pmatrix{4 \cdot \cos \varphi\\ 6- \cos \varphi} \end{array}$

Damit ergibt sich $Formula: C_n(4 \cdot \cos \varphi \mid 6 - \cos \varphi).$ $Formula: C_n(4 \cdot \cos \varphi \mid 6 - \cos \varphi).$

Trägergraphen berechnen

Für die Koordinatenwerte gilt:

$Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$	$Formula: x_{C_n}=4\cdot \cos \varphi$ $Formula: x_{C_n}=4\cdot \cos \varphi$
$Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$	$Formula: y_{C_n}=6- \cos \varphi$ $Formula: y_{C_n}=6- \cos \varphi$

Das Auflösen von $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ nach $Formula: \cos \varphi$ $Formula: \cos \varphi$ liefert:

$Formula: \cos \varphi = \dfrac{1}{4}x_{C_n}$ $Formula: \cos \varphi = \dfrac{1}{4}x_{C_n}$

Mit dem Einsetzen in $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ folgt dann:

$Formula: y_{C_n}= 6 - \dfrac{1}{4}x_{C_n}$ $Formula: y_{C_n}= 6 - \dfrac{1}{4}x_{C_n}$

Somit folgt für die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Formula: C_n:

$Formula: y=6-\dfrac{1}{4}x$ $Formula: y=6-\dfrac{1}{4}x$

B4.4

Es gilt $Formula: x_A=x_{C_4}=-2.$ $Formula: x_A=x_{C_4}=-2.$ Das Einsetzen in die Gleichung für $Formula: x_{C_n}$ $Formula: x_{C_n}$ liefert dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 4\cdot \cos \varphi &=&-2 &\quad\scriptsize\mid\; :4 \\[5pt] \cos \varphi &=& -0,5 &\quad\scriptsize\mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \varphi &=& 120^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 4\cdot \cos \varphi &=&-2 &\quad\scriptsize\mid\; :4 \\[5pt] \cos \varphi &=& -0,5 &\quad\scriptsize\mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \varphi &=& 120^{\circ} \end{array}$

Damit folgt für die Formula: y -Koordinate von Formula: C_4:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y_{C_4} &=&6 - \cos 120^{\circ} \\[5pt] y_{C_4} &=& 6,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y_{C_4} &=&6 - \cos 120^{\circ} \\[5pt] y_{C_4} &=& 6,5 \end{array}$

B4.5

Das Einsetzen der Werte in die Flächeninhaltsformel für Dreiecke liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A(\varphi)&=& \dfrac{1}{2} \cdot \det \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC_n}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot\left|\begin{array}{cc}5 & 2+4 \cdot \cos \varphi \\ -1 & 7-\cos \varphi\end{array}\right| \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{2} \cdot (35 - 5\cdot \cos \varphi + 2 + 4\cdot \cos \varphi)\right) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& (18,5-0,5 \cdot \cos \varphi) \mathrm{~FE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A(\varphi)&=& \dfrac{1}{2} \cdot \det \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC_n}\right) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot\left|\begin{array}{cc}5 & 2+4 \cdot \cos \varphi \\ -1 & 7-\cos \varphi\end{array}\right| \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{2} \cdot (35 - 5\cdot \cos \varphi + 2 + 4\cdot \cos \varphi)\right) \mathrm{~FE} \\[5pt] &=& (18,5-0,5 \cdot \cos \varphi) \mathrm{~FE} \end{array}$

Da $Formula: \cos \varphi\geq-1$ $Formula: \cos \varphi\geq-1$ gilt und somit $Formula: 0,5\cdot\cos \varphi\geq-0,5,$ $Formula: 0,5\cdot\cos \varphi\geq-0,5,$ folgt:

$Formula: A(\varphi) \leq(18,5+0,5) \mathrm{~FE} =19 \mathrm{~FE}$ $Formula: A(\varphi) \leq(18,5+0,5) \mathrm{~FE} =19 \mathrm{~FE}$

Unter den Dreiecken Formula: A B C_n gibt es folglich keines, dessen Flächeninhalt größer als $Formula: 19 \mathrm{~FE}$ $Formula: 19 \mathrm{~FE}$ ist.

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