Teil A
Die nebenstehende Skizze zeigt das rechtwinklige Dreieck 
Es gilt: 
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Auf einem Glücksrad sind die Kreissektoren mit „Gewinn“, „erneut drehen“ und „Niete“ beschriftet. An dem Rad wird einmal gedreht. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit für „Gewinn“ 
und für „erneut drehen“ 
Der abgebildete Kreis soll das Glücksrad darstellen.
Ergänze passend beschriftete Kreissektoren.
An einem Tresor befinden sich nebeneinander drei Zahlenräder (vgl. Skizze). Er kann geöffnet werden, indem man mit den Zahlenrädern die richtige Ziffernfolge einstellt. Im dargestellten Beispiel ist die Ziffernfolge 
eingestellt.
Gib die Anzahl aller möglichen Ziffernfolgen an.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in einer zufällig eingestellten Ziffernfolge dreimal die gleiche Ziffer vorkommt.
Paula hat das Zahlenrad 
auf die Ziffer 
eingestellt.
Ergänze das Baumdiagramm mit allen Pfaden, die sich von der Ziffer aus ergeben.
|
Zahlenrad 1 |
 
|
|---|---|
|
Zahlenrad 2 |
|
|
Zahlenrad 3 |
Das rechtwinklige Dreieck 
mit der Hypotenuse 
ist die Grundfläche der Pyramide 
mit der Höhe 
Es gilt: 
Punkte 
liegen auf der Strecke 
Die Winkel 
haben das Maß 
mit ![Formula: \left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right].](https://www.schullv.de/resources/formulas/6eb6a88d09700d0466f56091775f8f95c63d4ce35d9e56fb99a538ad86de7f3e_light.svg)
![Formula: \left.\varphi \in] 0^{\circ} ; 90^{\circ}\right].](https://www.schullv.de/resources/formulas/6eb6a88d09700d0466f56091775f8f95c63d4ce35d9e56fb99a538ad86de7f3e_dark.svg)
Die Dreiecke 
sind die Grundflächen von Pyramiden 
mit der Höhe
Die Skizze zeigt die Pyramide sowie die Pyramide 
für 
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken 
in Abhängigkeit von gilt: 
Berechne das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von 
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Mit dem Umstellen des Satz des Pythagoras folgt für die Seite 
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left|\overline{BC}\right|^2 &=& \left|\overline{AB}\right|^2-\left|\overline{AC}\right|^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& \sqrt{\left|\overline{AB}\right|^2-\left|\overline{AC}\right|^2} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& \sqrt{17^2-15^2}\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& \sqrt{64}\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& 8 \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6613461c6e567ce5c52204b8b6e0dd302ba6df62671fe4e0623a5313c123d149_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left|\overline{BC}\right|^2 &=& \left|\overline{AB}\right|^2-\left|\overline{AC}\right|^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& \sqrt{\left|\overline{AB}\right|^2-\left|\overline{AC}\right|^2} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& \sqrt{17^2-15^2}\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& \sqrt{64}\mathrm{~cm} \\[5pt]
\left|\overline{BC}\right| &=& 8 \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6613461c6e567ce5c52204b8b6e0dd302ba6df62671fe4e0623a5313c123d149_dark.svg)
Das Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right| \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \mathrm{~cm^2} \\[5pt]
&=& 60 \mathrm{~cm^2}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ecd763e79a629783fd6f6e5bebd05b89a5838f6e89914730e52456be194adfb5_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{BC}\right| \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \mathrm{~cm^2} \\[5pt]
&=& 60 \mathrm{~cm^2}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ecd763e79a629783fd6f6e5bebd05b89a5838f6e89914730e52456be194adfb5_dark.svg)
Es gibt 
mögliche Ziffernfolgen.
Das Einsetzen der Werte in den Sinussatz liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{AP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{\left|\overline{AC}\right|}{\sin \left(180^{\circ}-(\sphericalangle {BAC}+\varphi)\right)} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{AP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{9\mathrm{~cm}}{\sin \left(180^{\circ}-(30^{\circ}+\varphi)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin\varphi \\[5pt]
\left|\overline{AP_n}\right|(\varphi)&=&\dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ}+\varphi\right)} \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3f473ff6ab03e12c806aa263b595a7525cd4ad0e886e622e16dfb2ae37e37b48_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|\overline{AP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{\left|\overline{AC}\right|}{\sin \left(180^{\circ}-(\sphericalangle {BAC}+\varphi)\right)} \\[5pt]
\dfrac{\left|\overline{AP_n}\right|}{\sin \varphi}&=&\dfrac{9\mathrm{~cm}}{\sin \left(180^{\circ}-(30^{\circ}+\varphi)\right)} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\sin\varphi \\[5pt]
\left|\overline{AP_n}\right|(\varphi)&=&\dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ}+\varphi\right)} \mathrm{~cm}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3f473ff6ab03e12c806aa263b595a7525cd4ad0e886e622e16dfb2ae37e37b48_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V(\varphi) &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{AP_n}\right| \cdot \sin\sphericalangle {BAC} \cdot \left|\overline{CS}\right| \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ} + \varphi \right)} \cdot \sin \left(30^{\circ}\right) \cdot 6 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ} + \varphi \right)} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=& 40,5 \cdot \dfrac{\sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ} + \varphi \right)}\;\mathrm{cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c492c5620ca1b0084f3016f25e7ee037c25dbb4fbb2b413f2ea2ffbe04c5ab8e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
V(\varphi) &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overline{AC}\right| \cdot \left|\overline{AP_n}\right| \cdot \sin\sphericalangle {BAC} \cdot \left|\overline{CS}\right| \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ} + \varphi \right)} \cdot \sin \left(30^{\circ}\right) \cdot 6 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \dfrac{9 \cdot \sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ} + \varphi \right)} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6 \;\mathrm{cm}^3 \\[5pt]
&=& 40,5 \cdot \dfrac{\sin \varphi}{\sin \left(30^{\circ} + \varphi \right)}\;\mathrm{cm}^3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c492c5620ca1b0084f3016f25e7ee037c25dbb4fbb2b413f2ea2ffbe04c5ab8e_dark.svg)