Additionsverfahren
Vorgehen zur rechnerischen Lösung
- Multiplizieren einer oder beider Gleichungen mit geeigneten, von Null verschiedenen Zahlen, sodass die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen abgesehen von ihren Vorzeichen gleich sind.
- Addieren der Gleichungen, sodass eine Variable wegfällt.
- Auflösen der Gleichung mit einer Variable nach der Unbekannten liefert eine Koordinate der Lösung.
- Einsetzen der bekannten Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen mit zwei Variablen und Auflösen nach der Unbekannten liefert die andere Koordinate der Lösung.
- Probe durch Einsetzen beider Werte in die andere usprüngliche Gleichung.
- Lösungsmenge angeben.
Beispiel
1
Führe den ersten Schritt des Additionsverfahrens möglichst geschickt durch, indem nur eine Gleichung mit einer geeigneten Zahl multipliziert wird. Die Lösungsmenge muss hier nicht berechnet werden.
a)
b)
c)
2
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren.
a)
b)
c)
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1
a)
b)
c)
2
a)
1. Multiplizieren mit geeigneten Zahlen:
![\(\begin{array}[t]{l}
\text{I:}\quad& 4x-5y&=& 7 & \\[5pt]
\text{II:}\quad& 2x-5y&=& 1 &\quad \mid \cdot (-2)\\[5pt]
\hline
\text{I:}\quad& 4x-5y&=& 7 &\\[5pt]
\text{II:}\quad& -4x+10y&=& -2 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7c90789ad8c4857d5ad2457628091bc71c217093c225338396deed1faf4e6d4e?color=5a5a5a)
2. Addieren der Gleichungen:
![\(\begin{array}{lrrlr}
& 4x-5y-4x+10y&=& 7-2 &\\[5pt]
& 5y&=& 5 &\\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d35e5858f61ad77fe428b45c2f28e4da6d8d52b8b2ca7f1b2a7f6d830ae638eb?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach 
![\(\begin{array}{lrrrr}
& 5y&=& 5 &\quad \mid :5 \\[5pt]
& y&=& 1 &\\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/cad97f47ca1d9cdfe0dfda3c06ffd90cf67b82af3d513c1cddd02bc51fa8195e?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von 
in 
![\(\begin{array}{lrll}
\text{I:}\quad& 4x-5y&=& 7 & \quad \mid y=1\\[5pt]
& 4x-5\cdot 1&=& 7 & \quad \mid +5\\[5pt]
& 4x&=& 12 & \quad \mid :4 \\[5pt]
& x&=& 3 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3317772a23490d403f50f0074be12ef4a89fd5cf9866ffe58f88f6a5bebc9764?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}{lrll}
\text{II:}\quad& 2x-5y&=& 1 & \quad \mid (3 \mid 1)\\[5pt]
& 2\cdot 3-5\cdot 1&=& 1 &\\[5pt]
& 1&=& 1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ae31e865e0794142112f843e8e9d933d8c6c44e6eb0331569f5c3edae95eab21?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
b)
1. Multiplizieren mit geeigneten Zahlen:
![\(\begin{array}[t]{l}
\text{I:}\quad& 2x+3y&=& 10 & \quad \mid \cdot (3) \\[5pt]
\text{II:}\quad& 3x-2y&=& 2 &\quad \mid \cdot (-2)\\[5pt]
\hline
\text{I:}\quad& 6x+9y&=& 30 &\\[5pt]
\text{II:}\quad& -6x+4y&=& -4 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c6e81e3c0663bd123fea6287a699227dda473b2c331f160a88c520a2ebb321a5?color=5a5a5a)
2. Addieren der Gleichungen:
![\(\begin{array}{lrrlr}
& 6x+9y-6x+4y&=& 30-4 &\\[5pt]
& 13y&=& 26 &\\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6c81895b211c2b3eec0b4dff88e1d2f2e75d3687911899b989dcbab70d519b14?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}{lrrrr}
& 13y&=& 26 &\quad \mid :13 \\[5pt]
& y&=& 2 &\\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/000f15182c6288dcf59bf5257532a9336d967b0c92ea02529c5fdff9aeb50739?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von in
![\(\begin{array}{lrll}
\text{I:}\quad& 2x+3y&=& 10 & \quad \mid y=2\\[5pt]
& 2x+ 3\cdot 2&=& 10 & \quad \mid -6 \\[5pt]
& 2x&=& 4 & \quad \mid :2 \\[5pt]
& x&=& 2 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5847116a774b7f4016b5fdd4606157c507c780cc8d956feed48080a3dfcdbc9d?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}{lrll}
\text{II:}\quad& 3x-2y&=& 2 & \quad \mid (2 \mid 2)\\[5pt]
& 3\cdot 2-2\cdot 2&=& 2 &\\[5pt]
& 2&=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/69aa0149dbe6293848af43157b8d99a8b79240ab0494a803c093c619217dc876?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
c)
1. Multiplizieren mit geeigneten Zahlen:
![\(\begin{array}[t]{l}
\text{I:}\quad& 6x-5y&=& 5 & \quad \mid \cdot 4 \\[5pt]
\text{II:}\quad& 8x+11y&=& -11 &\quad \mid \cdot (-3)\\[5pt]
\hline
\text{I:}\quad& 24x-20y&=& 20 &\\[5pt]
\text{II:}\quad& -24x-33y&=& 33 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/172ae502580d82b47b166ebc13e0545a6eb5931c1aa43f72df3805de23607243?color=5a5a5a)
2. Addieren der Gleichungen:
![\(\begin{array}{lrrlr}
& 24x-20y-24x-33y&=& 20+33 &\\[5pt]
& -53y&=& 53 &\\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b15fcbb46bf17ae78e406e1b613d8fcf9df370a25854898f4bc0e1c38010939e?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}{lrrrr}
& 53y&=& 53 &\quad \mid :53 \\[5pt]
& y&=& 1 &\\
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/638644861b6c2b67958fa9de1e32a3cebebf95bfcc0291d36054b3619e3b9294?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von in
![\(\begin{array}{lrll}
\text{I:}\quad& 6x-5y&=& 5 & \quad \mid y=1\\[5pt]
& 6x-5\cdot 1&=& 5 & \quad \mid -5\\[5pt]
& 6x&=& 0 & \quad \mid :6 \\[5pt]
& x&=& 0 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1a5450b204475c0184d57306266b229049dd7b8837032b594d309719938159b5?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}{lrll}
\text{II:}\quad& 8x+11y&=& 11 & \quad \mid (0 \mid 1)\\[5pt]
&8\cdot 0+11\cdot 1&=& 11 &\\[5pt]
& 11&=& 11
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d76b806c65d667b0c5e3ec055f8f98099103bf2b23ab5570ab0510253e3c47d9?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
