Ähnlichkeit bei Dreiecken

Definition

Anders als bei andere Figuren müssen zur Überprüfung der Ähnlichkeit bei Dreiecken nicht alle Seitenverhältnisse und Winkelgrößen verglichen werden. Mit den Eigenschaften der zentrischen Streckung und den Kongurenzsätzen für Dreiecke gilt:

Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in der Größe zweier Winkel übereinstimmen (ww).

Herleitung

Um zu prüfen, ob die Ähnlichkeit von zwei Dreiecken $A B C$ und $\(A$ festgestellt werden kann, wenn nur gegeben ist, dass die Winkelgrößen in beiden Dreiecken übereinstimmen, wird das Dreieck $ABC$ mit einem Faktor $k$ zentrisch gestreckt, sodass eine Seite gleich groß wie die zugehörige Seite im Dreieck $\(A$ ist.

Da sich durch diese Streckung die Winkel nicht ändern, sind die Winkel des ursprünglichen und des gestreckten Dreiecks $\(A$ gleich. Da nun eine Seite gleich lang gewählt wurde und die Winkel in den Dreiecken $\(A$ und $\(A$ übereinstimmen, folgt mit dem Kongruenzsatz $wsw,$ dass die beiden Dreiecke kongruent und somit insbesondere ähnlich sind.

Wenn zwei Dreiecke also gleiche Winkel haben, sind sie automatisch ähnlich. Da der dritte Winkel wegen der Innenwinkelsumme von $180°$ im Dreieck direkt folgt, müssen also nur zwei Winkel überprüft werden.

Diagramm von zwei Dreiecken mit bezeichneten Winkeln und Punkten.

Zwei Dreiecke mit beschrifteten Winkeln und Punkten, dargestellt in unterschiedlichen Farben.

Weitere Ähnlichkeitssätze

Die gleiche Herleitung durch zentrische Streckung kann auch auf die Kongruenzsätze sss, sws und SsW angewandt werden, sodass weiterhin folgt:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie...

in allen Verhältnissen einander entsprechender Seiten übereinstimmen (sss).

in einem Winkel und den Verhältnissen einander entsprechender am Winkel anliegender Seiten übereinstimmen (sws).

in einem Winkel und den Verhältnissen einander entsprechender am Winkel anliegender Seiten übereinstimmen oder in den Verhältnissen je zweier entsprechender Seiten und dem Gegenwinkel der jeweils größeren Seite übereinstimmen (SsW).

Mit dem Innenwinkelsatz ergibt sich der dritte Winkel des ersten Dreiecks zu:

$\begin{array}[t]{rlll} \gamma&=& 180^\circ - \alpha -\beta & \\[5pt] &=& 180^\circ - 80 ^\circ -30^\circ & \\[5pt] &=& 70 ^\circ \end{array}$

Somit stimmen zwei Winkelgrößen der beiden Dreiecke überein $(80 ^\circ$ und $70 ^\circ).$

Nach dem Hauptähnlichkeitssatz (ww) sind die beiden Dreiecke also ähnlich.

Mit dem Innenwinkelsatz ergibt sich der dritte Winkel des ersten Dreiecks zu:

$\begin{array}[t]{rlll} \gamma&=& 180^\circ - \alpha -\beta & \\[5pt] &=& 180^\circ - 20 ^\circ -130^\circ & \\[5pt] &=& 30 ^\circ \end{array}$

Für das zweite Dreieck gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} \gamma&=& 180^\circ - \alpha -\beta & \\[5pt] &=& 180^\circ - 30 ^\circ -120^\circ & \\[5pt] &=& 30 ^\circ \end{array}$

Somit stimmen die beiden Dreiecke in keiner Winkelgröße überein.

Die Dreiecke sind somit nicht ähnlich.

Um entsprechende Seiten zu vergleichen, muss das Verhältnis der kleinsten Seite von Dreieck 1 zur kleinsten Seite von Dreieck 2 verglichen werden und analog für alle weiteren Seiten vorgegangen werden:

$\frac{b_1}{a_2}=\frac{3}{4}$

$\frac{a_1}{b_2}=\frac{6}{8}= \frac{3}{4}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{12}= \frac{3}{4}$

Mit dem Ähnlichkeitssatz sss sind die beiden Dreiecke somit ähnlich.

Es wird analog wie in c) vorgegangen, um die Seitenverhältnisse zu bestimmen:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{9}=3$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{12}\neq 3$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{15}\neq 3$

Die beiden Dreiecke sind somit nicht ähnlich.

Da beide Dreiecke rechtwinklig sind, folgt direkt, dass sie eine gemeinsame Winkelgröße haben $(90 ^\circ).$

Wegen der Gleichschenkligkeit muss außerdem gelten, dass die Schenkelwinkel jeweils gleichgroß sind und mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks somit jeweils $45^\circ.$

Mit dem Hauptähnlichkeitssatz (ww) sind die beiden Dreiecke somit ähnlich.

In einem gleichseitigen Dreieck sind per Definition alle drei Winkel gleich groß $(60 ^\circ).$

Da die Winkel also in beiden Dreiecken übereinstimmen, sind die Dreiecke nach dem Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke (ww) ähnlich.

Es ergeben sich sechs Dreiecke:

$\triangle A B D, \triangle CDB, \triangle A E D, \triangle A B E, \triangle C FB, \triangle CDF$

Diagramm eines Rechtecks mit Winkelbezeichnungen und Formeln zur Beziehung zwischen den Winkeln α und β.

Da die gegenüberliegenden Seiten im Rechteck gleich lang sind, gilt mit sws, dass $\triangle A B D$ und $\triangle CDB$ ähnlich sind

Mit dem Wechselwinkelsatz an der Diagonalen gilt, dass der Winkel bei $D$ im Dreieck $\triangle CDF$ gleich groß ist wie der Winkel bei $B$ im Dreieck $\triangle A B E.$ Da beide Dreiecke außerdem einen rechten Winkel besitzen, sind die beiden Dreiecke mit dem Hauptähnlichkeitssatz ww ähnlich.

Mit der gleichen Begründung sind die beiden Dreiecke $\triangle A E D$ und $\triangle C FB$ ähnlich.

Da jede Ecke im Rechteck $90 ^\circ$ hat, gilt für den Winkel bei $C$ im Dreieck $\triangle C FB: 90^\circ-\alpha = \beta.$ Analog gilt für den Winkel bei $B: 90 ^\circ- \beta = \alpha.$ Somit stimmen sich die Dreiecke $\triangle C FB$ und $\triangle CDF$ in allen Winkeln überein. Mit dem Hauptähnlichkeitssatz ww folgt also die Ähnlichkeit.

Mit der gleichen Begründung sind die beiden Dreiecke $\triangle A E D$ und $\triangle ABE$ ähnlich.

Da sich die beiden Dreiecke $\triangle A E D$ und $\triangle A B D$ den Winkel bei $D$ teilen und jeweils einen rechten Winkel besitzen, sind die beiden Dreiecke mit mit dem Hauptähnlichkeitssatz ww ähnlich.

Mit der gleichen Begründung sind die beiden Dreiecke $\triangle CFB$ und $\triangle CDB$ ähnlich.

Somit sind alle dargestellten Dreiecke ähnlich zueinander.

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} DB^2 &=& 9^2 + 12 ^2&\\[5pt] DB^2 &=& 225 &\mid\; \sqrt{\, }\\[5pt] DB&=& 15 \end{array}$

Seitenlängen von AED

Die Diagonale $BD$ des Dreiecks $ABD$ entspricht der Grundseite $AD$ des Dreiecks $AED.$ Diese sind gegeben und stehen im Verhältnis $\frac{BD}{AD}= \frac{15}{9}=\frac{5}{3}$ zueinander.

Die Höhe $AD$ des Dreiecks $ABD$ entspricht der Seite $DE$ des Dreiecks $AED.$ Mit dem gegebenen Längenverhältnis gilt also:

$\begin{array}[t]{rlll} \frac{5}{3}&=& \frac{AD}{DE} &\mid\; AD= 9\\[5pt] \frac{5}{3}&=& \frac{9}{DE} &\mid\; \cdot DE\\[5pt] \frac{5}{3}\cdot DE&=& 9 &\mid\; \cdot \frac{3}{5}\\[5pt] DE &=& 5,4 \end{array}$

Für die dritte Seite gilt analog:

$\begin{array}[t]{rlll} \frac{5}{3}&=& \frac{AB}{AE} &\mid\; AB= 12\\[5pt] \frac{5}{3}&=& \frac{12}{AE} &\mid\; \cdot AE\\[5pt] \frac{5}{3}\cdot AE&=& 12 &\mid\; \cdot \frac{3}{5}\\[5pt] AE &=& 7,2 \end{array}$

Das Dreieck $AED$ besitzt somit die Seitenlängen $AD=9, DE=5,4$ und $AE=7,2.$

Seitenlängen von ABE

Die Diagonale $BD$ des Dreiecks $ABD$ entspricht der Grundseite $AB$ des Dreiecks $ABE.$ Diese sind gegeben und stehen im Verhältnis $\frac{BD}{AB}= \frac{15}{12}=\frac{5}{4}$ zueinander.

Die Höhe $AD$ des Dreiecks $ABD$ entspricht der Seite $AE$ des Dreiecks $AED.$ Diese ist bereits berechnet worden und entspricht 7,2. Mit dem gegebenen Längenverhältnis kann dies überprüft werden:

$\begin{array}[t]{rlll} \frac{5}{4}&=& \frac{AD}{AE} &\mid\; AD= 9\\[5pt] \frac{5}{4}&=& \frac{9}{AE} &\mid\; \cdot AE\\[5pt] \frac{5}{4}\cdot AE&=& 9 &\mid\; \cdot \frac{4}{5}\\[5pt] DE &=& 7,2 \end{array}$

Für die dritte Seite gilt analog:

$\begin{array}[t]{rlll} \frac{5}{4}&=& \frac{AB}{EB} &\mid\; AB= 12\\[5pt] \frac{5}{4}&=& \frac{12}{EB} &\mid\; \cdot EB\\[5pt] \frac{5}{4}\cdot EB&=& 12 &\mid\; \cdot \frac{4}{5}\\[5pt] EB &=& 9,6 \end{array}$

Das Dreieck $ABE$ besitzt somit die Seitenlängen $AB=12, AE= 7,2$ und $EB= 9,6.$

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