Gleichungen höheren Grades

Gleichungen dritten Grades

Gleichungen dritten Grades besitzen folgende Form:

$a x^3+b x^2+c x+d=0$

Für $d=0$ können Gleichungen dieser Form durch Ausklammern von $x$ gelöst werden. So entsteht ein Produkt aus zwei Faktoren, die jeweils höchstens zweiten Grades sind.

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass die Lösungen der beiden Faktoren auch die Lösungen der gesamten Funktion sind, es kann also bis zu drei Lösungen geben.

Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungens besitzen folgende Form:

$a x^4+b x^2+c =0$

Wegen $\left(x^2\right)^2=x^4$ heißen diese Gleichungen biquadratisch und lassen sich durch Substitution mit $z=x^2$ in eine quadratische Gleichung überführen. Diese kann für $z$ gelöst werden und die Substitution anschließend wieder rückgängig gemacht werden, sodass es bis zu vier Lösungen gibt.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rlll} x^3+2x^2-3x&=& 0 &\mid\; \text{Ausklammern} \\[5pt] x\cdot (x^2+2x-3)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt $x_1=0$ sowie $x^2+2x-3=0.$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{2;3}&=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] x_{2;3}&=& -1 \pm \sqrt{4} \\[5pt] x_2&=& -5 & \\[5pt] x_3&=& 3 \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-5 ; 0 ; 3\}$

Beispiel

$x^4-6x^2-7=0$

Substitution mit $z=x^2$ ergibt:

$z^2-6z-7=0$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt nun:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=& -\dfrac{8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2-7} \\[5pt] x_{1;2}&=& 4 \pm \sqrt{9} \\[5pt] x_1&=& 1 & \\[5pt] x_2&=& 7 \end{array}$

Rücksubstitution ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_1=1 \\[5pt] 1&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm 1 &=& x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_2=7 \\[5pt] 7&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm \sqrt{7} &=& x \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-\sqrt{7}; -1; 1; \sqrt{7}\}$

$\begin{array}[t]{rlll} x^3+4 x^2+3 x&=& 0& \\[5pt] x\cdot (x^2+4x+3)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt $x_1=0$ sowie $x^2+4x+3=0.$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{2;3}&=& -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-3} \\[5pt] x_{2;3}&=& -2 \pm \sqrt{1}& \\[5pt] x_2&=& -3& \\[5pt] x_3&=& -1 \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-3 ; -1 ; 0\}$

$\begin{array}[t]{rlll} x^3-8x^2-9 x&=& 0& \\[5pt] x\cdot (x^2-8x-9)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt $x_1=0$ sowie $x^2-8x-9=0.$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{2;3}&=& -\dfrac{(-8)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-8)}{2}\right)^2-(-9)} \\[5pt] x_{2;3}&=& 4 \pm \sqrt{25}& \\[5pt] x_2&=& -1& \\[5pt] x_3&=& 9 \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-1 ; 0 ; 9\}$

$\begin{array}[t]{rlll} 2x^3+20x^2-22 x&=& 0& \mid :2 \\[5pt] x^3+10x^2-11 x&=& 0& \\[5pt] x\cdot (x^2+10x-11)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt direkt $x_1=0$ sowie $x^2+10x-11=0.$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{2;3}&=& -\dfrac{10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2-(-11)} \\[5pt] x_{2;3}&=& -5 \pm \sqrt{36}& \\[5pt] x_2&=& -11& \\[5pt] x_3&=& 1 \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-11 ; 0 ; 1\}$

Substitution mit $z=x^2$ ergibt:

$z^2-6z+5=0$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt nun:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5} \\[5pt] x_{1;2}&=& 3 \pm \sqrt{4} \\[5pt] x_1&=& 1 & \\[5pt] x_2&=& 5 \end{array}$

Rücksubstitution ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_1=1 \\[5pt] 1&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm 1 &=& x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_2=5 \\[5pt] 5&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm \sqrt{5} &=& x \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-5 ; -1 ; 1 ; 5\}$

$\begin{array}[t]{rlll} 2x^4-24x-56&=& 0 &\mid\; :2\\[5pt] x^4-12-28&=& 0 \end{array}$

Substitution mit $z=x^2$ ergibt:

$z^2-12z-28=0$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt nun:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-12)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-12)}{2}\right)^2-(-28)} \\[5pt] x_{1;2}&=& 6 \pm \sqrt{64} \\[5pt] x_1&=& -2 & \\[5pt] x_2&=& 14 \end{array}$

Rücksubstitution ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_1=-2 \\[5pt] -2&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm \sqrt{-2}&=& x & \\[5pt] \end{array}$

Da der Term unter der Wurzel negativ ist, besitzt diese Gleichung keine Lösung.

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_2=14 \\[5pt] 14&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm \sqrt{14} &=& x \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-\sqrt{14}; \sqrt{14}\}$

$\begin{array}[t]{rlll} 3x^4-72x^2&=& 69 &\mid\; -96\\[5pt] 3x^4-72x^2-69 &=& 0 &\mid\; :3 \\[5pt] x^4-24x^2-23&=& 0 \end{array}$

Substitution mit $z=x^2$ ergibt:

$z^2-24z-23=0$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt nun:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-24)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-24}{2}\right)^2-(-23)} \\[5pt] x_{1;2}&=& 12 \pm \sqrt{121} \\[5pt] x_1&=& 1 & \\[5pt] x_2&=& 23 \end{array}$

Rücksubstitution ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_1=1 \\[5pt] 1&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm 1&=& x & \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} z&=& x^2 &\mid\;z_2=23 \\[5pt] 23&=& x^2 &\mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm \sqrt{23} &=& x \end{array}$

Lösungsmenge: $L=\{-\sqrt{23}; -1 ; 1; \sqrt{23}\}$

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Für die Längen $a$ und $b$ der Seiten des Rechtecks gilt:

$a, b>0$
$a \cdot b=12$
$a^2+b^2=5^2$

Umformen der zweiten Bedingung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] b&=&\dfrac{12}{a} \end{array}$

Einsetzen in die dritte Bedingung liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} a^2+\left(\dfrac{12}{a}\right)^2&=& 5^2& \\[5pt] a^2+\dfrac{144}{a^2}&=& 25&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^2\\[5pt] a^4+144&=& 25a^2&\quad \scriptsize \mid\; -25a^2\\[5pt] a^4-25a^2+144&=& 0 \end{array}$

2. Schritt: Substitution

Mit $z=a^2$ folgt:

$z^2-25z+144= 0$

3. Schritt: Quadratische Gleichung lösen

Mit der $pq$ -Formel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{(-25)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-25}{2}\right)^2-144} \\[5pt] x_{1;2}&=& 12,5 \pm 3,4 & \\[5pt] x_1&=& 9 &\\[5pt] x_2&=& 16 \end{array}$

4. Schritt: Resubstitution

Ersetzen von $z$ durch $a^2$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& z_1& \mid z_1=9 \\[5pt] a^2&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=& \pm 3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& z_2& \mid z_2=16\\[5pt] a^2&=& 16&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=& \pm 4 \end{array}$

Da $a,b \gt 0$ gelten muss, kommen nur die positiven Lösungen $a_1=3$ und $a_2=4$ als eine Seitenlänge des Rechtecks in Betracht.

5. Schritt: Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; a_1=3\\[5pt] 3\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] b&=& 4 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; a_2=4\\[5pt] 4\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] b&=& 3 \end{array}$

Die Seitenlängen des Rechtecks betragen somit $3 \,\text{m}$ und $4\,\text{m}.$

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