Lineare Gleichungssysteme anwenden

Vorgehen

Variablen einführen
Gleichungen aufstellen
Geeignetes Lösungsverfahren wählen
Gleichungssystem lösen
Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Beispiel

Für einen Kinobesuch kosten zwei Kinder- und drei Erwachsenentickets zusammen $52 \,\text{€}.$ Drei Kinder- und vier Erwachsenentickets kosten zusammen $72\,\text{€}.$

Wie viel kostet ein Kinder- und wie viel ein Erwachsenenticket?

Filmrolle, Popcorn, Getränk und 3D-Brille in einer Illustration für Kinoerlebnis.

1. Schritt: Variablen einführen

$x:\quad$ Preis für ein Kinderticket (in $\,\text{€}$ )

$y:\quad$ Preis für ein Erwachsenenticket (in $\,\text{€}$ )

2. Schritt: Gleichungen aufstellen

$\begin{array}[t]{rlll} 2x+3y&=& 52 & \\[5pt] 3x+4y&=& 72 \end{array}$

3. Schritt: Geeignetes Lösungsverfahren wählen

Um Brüche in der Rechnung zu vermeiden, eignet sich bei dieser Rechnung das Additionsverfahren am Besten.

4. Schritt: Gleichungssystem lösen

$\begin{array}{lrll} \text{I}:\quad&2x+3y&=& 52 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot 3\\ \text{II}:\quad&3x+4y &=& 72 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot (-2) \\ \hline \text{I}:\quad&6x+9y&=& 156 &\quad \\ \text{II}:\quad& -6x-8y&=& -144 &\quad \\ \end{array}$

Addieren der beiden Gleichungen liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 6x+9y-6x-8y&=& 156-144& \\[5pt] y&=& 12 \end{array}$

Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen liefert:

$\begin{array}{lrll} \text{I}:\quad& 2x+3y&=& 52 &\quad \scriptsize\mid\;y=12\\ & 2x+3\cdot 12&=& 52 &\quad \scriptsize\mid\;-36\\ & 2x&=& 16 &\quad \scriptsize\mid\;:2\\ &y&=& 8 &\quad \\ \end{array}$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Das Lösungspaar $(8 \mid 12)$ löst somit das Gleichungssystem. Ein Kinderticket kostet also $8 \,\text{€}$ und ein Erwachsenenticket $12\,\text{€}.$

Da dies realistische Preise für ein Kinoticket sind, ist die Lösung sinnvoll.

1. Schritt: Variablen einführen

$x:\quad$ Preis für eine Tasse Kaffee (in $\,\text{€}$ )

$y:\quad$ Preis für ein Stück Kuchen (in $\,\text{€}$ )

2. Schritt: Gleichungen aufstellen

$\begin{array}[t]{rlll} 2\cdot x+1\cdot y&=& 7 & \\[5pt] 1\cdot x+2\cdot y&=& 8 \end{array}$

3. Schritt: Geeignetes Lösungsverfahren wählen

Um Brüche in der Rechnung zu vermeiden, eignet sich bei dieser Rechnung das Einsetzungs- oder Additionsverfahren am Besten.

4. Schritt: Gleichungssystem lösen

Einsetzungsverfahren:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II}:\quad 1\cdot x+2\cdot y&=& 8&\quad \mid\; -2y \\[5pt] x&=& 8-2y \end{array}$

Einsetzen in $\text{I}$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}:\quad 2\cdot (8-2y)+1\cdot y&=& 7& \\[5pt] 16-4y +y&=& 7&\quad \mid\;-16 \\[5pt] -3y&=& -9&\quad \mid\;:(-3) \\[5pt] y&=& 3 \end{array}$

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:

$\begin{array}{lrll} \text{II}: \quad x&=& 8-2y &\quad \mid\;y=3\\ &=& 8-2\cdot 3 &\\ &=& 2 \end{array}$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Das Lösungspaar $(2 \mid 3)$ löst somit das Gleichungssystem. Eine Tasse Kaffee kostet also $2 \,\text{€}$ und einStück Kuchen $3\,\text{€}.$

Da dies realistische Preise für ein Café sind, ist die Lösung sinnvoll.

1. Schritt: Variablen einführen

$x:\quad$ Aktuelles Alter von Lisa (in Jahren)

$y:\quad$ Aktuelles Alter von Ben (in Jahren)

2. Schritt: Gleichungen aufstellen

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}: \quad & (x-5)&=& 2\cdot (y-5) & \\[5pt] \text{II}: \quad & (x+3)&=& 1,5\cdot (y+3) \end{array}$

Vereinfachen durch Umformungen ergibt:

$\begin{array}{lrll} \text{I}:\quad& x-5&=& 2y-10 &\quad \mid\; +5 \\ \text{II}:\quad& x+3 &=& 1,5y+4,5 &\quad \mid\; -3 \\ \hline \text{I}:\quad& x&=& 2y-5 & \\ \text{II}:\quad& x &=& 1,5y+1,5 &\\ \end{array}$

3. Schritt: Geeignetes Lösungsverfahren wählen

Da beide Gleichungen nach $x$ umgestellt werden können, eignet sich bei dieser Rechnung das Gleichsetzungsverfahren am Besten.

4. Schritt: Gleichungssystem lösen

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}:\quad& 2y-5 &=& 1,5y + 1,5 & \quad \mid\; +5 \\[5pt] & 2y &=& 1,5y +6,5 &\quad \mid\; -1,5 \\[5pt] & 0,5y &=& 6,5 &\quad \mid\; \cdot 2 \\[5pt] & y&=& 13 \end{array}$

Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen liefert:

$\begin{array}{lrll} \text{I}:\quad& x&=& 2y-5 &\quad \mid\;y=13\\ & &=& 2\cdot 13-5 &\quad \mid\;-36\\ & &=& 21 \end{array}$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Das Lösungspaar $(21 \mid 13)$ löst somit das Gleichungssystem. Lisa ist aktuell also 21 Jahre alt, während Ben 13 Jahre alt ist.

Überprüfen der beiden Aussagen mit den gegebenen Zahlen bestätigt die Lösung.

1. Schritt: Variablen einführen

$x:\quad$ Geld, das Tim am Anfang hat (in $\,\text{€}$ )

$y:\quad$ Geld, das Mia am Anfang hat (in $\,\text{€}$ )

2. Schritt: Gleichungen aufstellen

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}: \quad & x&=& y+7 & \\[5pt] \text{II}: \quad & x-2&=& 2\cdot (y+2) \end{array}$

3. Schritt: Geeignetes Lösungsverfahren wählen

Da die erste Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist, eignet sich hier das Einsetzungsverfahren am Besten. Durch Äquivalenzumformung der zweiten Gleichung lässt sich auch das Gleichsetzungsverfahren anwenden.

4. Schritt: Gleichungssystem lösen

Einsetzen von $\text{I}$ in $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II}: \quad & x-2&=& 2\cdot (y+2)&\quad \mid\; x=y+7 \\[5pt] & y+7-2&=& 2\cdot (y+2)& \\[5pt] & y+5&=& 2y+4& \quad \mid -y \quad \mid -4 \\[5pt] & 1 &=& y& \end{array}$

Einsetzen in die erste Gleichung liefert:

$\begin{array}{lrll} \text{I}:\quad& x&=& y+7 &\quad \mid\;y=1\\ & x&=& 1+7 &\quad \mid\;-36\\ & x&=& 8 \end{array}$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Das Lösungspaar $(8 \mid 1)$ löst das Gleichungssystem. Tim besitzt am Anfang also 8 Euro, während Mia nur 1 Euro besitzt.

Überprüfen der beiden Aussagen mit den gegebenen Zahlen bestätigt die Lösung.

1. Schritt: Variablen einführen

$x:\quad$ Erste Zahl

$y:\quad$ Zweite Zahl

2. Schritt: Gleichungen aufstellen

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}: \quad & 3\cdot x +2\cdot y&=& 14 & \\[5pt] \text{II}: \quad & x+2&=& y \end{array}$

3. Schritt: Geeignetes Lösungsverfahren wählen

Da die zweite Gleichung bereits nach $y$ aufgelöst ist, eignet sich das Einsetzungsverfahren hier am Besten.

4. Schritt: Gleichungssystem lösen

Einsetzen von $\text{II}$ in $\text{I}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I}: \quad & 3x+2y&=& 14 &\mid\; y=x+2\\[5pt] & 3x+2\cdot (x+2)&=& 14 & \\[5pt] & 3x+2x+4&=& 14 &\mid\; -4 \\[5pt] & 5x&=& 10 &\mid\; :5 \\[5pt] &x&=& 2 \end{array}$

Einsetzen in eine die zweite Gleichung liefert:

$\begin{array}{lrll} \text{II}:\quad& x+2 &=& y &\quad \mid\; x=2\\ & 2+2&=& y &\quad \\ & 4&=& y \end{array}$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Das Lösungspaar $(2 \mid 4)$ löst das Gleichungssystem. Überprüfen der beiden Aussagen mit den gegebenen Zahlen bestätigt die Lösung.

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