Rechnerisches Lösungsverfahren: pq-Formel
Definition
Exakte Lösungen von quadratischen Gleichungen in der Normalform
können mit der 
-Formel bestimmt werden:
Beispiel:
Einsetzen von 
und 
in die -Formel liefert:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-5} & \\[5pt]
x_{1;2}&=& -3 \pm \sqrt{4} & \\[5pt]
x_{1;2}&=& -3 \pm 2 &\\[5pt]
x_1&=& -5 &\\[5pt]
x_2&=& -1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6dd3c87930a9fe6aab2ee54d35aee01da0b30b6d7b98403023087a21310be8c7_light.svg)
Anzahl der Lösungen
Der Term
unter der Wurzel wird als Diskriminante D bezeichnet.
Dabei gilt:
- Wenn
dann gibt es zwei Lösungen. - Wenn
dann gibt es eine Lösung. - Wenn
dann gibt es keine Lösung.
Herleitung der Formel
Anwenden der quadratischen Ergänzung auf eine beliebige quadratische Gleichung in Normalform ergibt:![\(\begin{array}[t]{rlll}
x^2+p x+q&=& 0 & \\[5pt]
x^2+p x+ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2- \left(\dfrac{p}{2}\right)^2+ q&=& 0 &\mid\; \text{1. bin. Formel} \\[5pt]
\left(x+ \dfrac{p}{2} \right)^2 - \left(\dfrac{p}{2}\right)^2+ q&=& 0 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fbdf4c2bb820b599b7274a5a00c52dadf60b432b8779a95e96f9850aae39ac77_light.svg)
Auflösen dieser Gleichung nach 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(x+ \dfrac{p}{2} \right)^2 - \left(\dfrac{p}{2}\right)^2+ q&=& 0 &\; \bigg \vert\, +\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 \; \bigg \vert\, -q \\[5pt]
\left(x+ \dfrac{p}{2} \right)^2 &=& \left(\dfrac{p}{2}\right)^2- q &\; \bigg \vert\, \sqrt{\,} \\[5pt]
x+ \dfrac{p}{2} \ &=& \pm\sqrt{ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2- q} &\;\bigg \vert\, -\dfrac{p}{2} \\[5pt]
x &=& -\dfrac{p}{2} \pm\sqrt{ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2- q} &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b4c344e3e3fa193445c6e1b5f36d7ff3133e15622eb246f5c12946691940989e_light.svg)
1
Löse die Gleichung rechnerisch.
a)
b)
c)
d)
2
Gib einen Wert der Variablen 
an, sodass die Gleichung 
...
an, sodass die Gleichung ...
a)
... zwei Lösungen besitzt.
b)
... genau eine Lösung besitzt.
c)
... keine Lösung besitzt.
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1
a)
Einsetzen von 
und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-8} \\[5pt]
x_{1;2}&=& 3 \pm \sqrt{1} \\[5pt]
x_1&=& 2&\\[5pt]
x_2&=& 4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/daf32d872a51d1ab36e5159c07fd6c17609d612ef0484d711936d7dcc2166c51_light.svg)
und in die -Formel ergibt:
b)
Einsetzen von 
und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-24)} \\[5pt]
x_{1;2}&=& 1 \pm \sqrt{25} \\[5pt]
x_1&=& -4& \\[5pt]
x_2&=& 6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d6de83dc7ac51feb1c29493ff0ae21b487e291c7467188e33e4ed57d6cc1938b_light.svg)
und in die -Formel ergibt:
c)
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x^2+4 x&=& -3 &\mid\; +3\\[5pt]
x^2+4x+3 &=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5e3d80a4a13191dee72a14190234fc09ba22d1306647fb46b27812d523f6e52f_light.svg)
Einsetzen von 
und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-3} \\[5pt]
x_{1;2}&=& -2 \pm \sqrt{1} \\[5pt]
x_1&=& -3& \\[5pt]
x_2&=&-1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3711a5157491d693b099062b7179355f01734d1dc3a776303c4616972a75ca40_light.svg)
Einsetzen von und in die -Formel ergibt:
d)
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
4 x^2+16 x&=& 84 &\mid\; -84 \\[5pt]
4 x^2+16 x -84&=& 0 &\mid\; :4 \\[5pt]
x^2+4x-21 &=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1cf3f2496c03d59ee7be255436feae8065781c7ac6979681e06fe547baf19744_light.svg)
Einsetzen von und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-21)} \\[5pt]
x_{1;2}&=& -2 \pm \sqrt{25} \\[5pt]
x_1&=& -7& \\[5pt]
x_2&=& 3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ccdabcf18624bdec4845753c59789042c5b21def38e28d58a457a1f189c8d83b_light.svg)
Einsetzen von und in die -Formel ergibt:
2
a)
Für die gegebene Gleichung gilt mit und 
Die Gleichung besitzt genau dann zwei Lösungen, wenn die Diskriminante größer als Null ist, also wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-a&\gt& 0& \\[5pt]
4-a &\gt& 0&\mid\; +a \\[5pt]
4&\gt & a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4566f15a797575559f8fcaff50139372af9f4700d04c5ce90fb6d73baac2aedc_light.svg)
Somit besitzt die Gleichung beispielsweise für 
genau zwei Lösungen.
und
Die Gleichung besitzt genau dann zwei Lösungen, wenn die Diskriminante größer als Null ist, also wenn gilt:
Somit besitzt die Gleichung beispielsweise für genau zwei Lösungen.
b)
Die Gleichung besitzt genau dann nur eine Lösung, wenn die Diskriminante Null ist, also wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-a&=& 0& \\[5pt]
4-a &=& 0&\mid\; +a \\[5pt]
4&= & a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/90737d95ce151d03e02733a18bfd867486b91c61f06098e442440409c5387e5a_light.svg)
Somit besitzt die Gleichung für 
genau eine Lösung.
Somit besitzt die Gleichung für genau eine Lösung.
c)
Die Gleichung besitzt genau dann keine Lösungen, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, also wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-a&\lt& 0& \\[5pt]
4-a &\lt& 0&\mid\; +a \\[5pt]
4&\lt & a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1472cc03a906a3059b7cd7b7a4a35891a45f88030cb644456999f6573cc0bae2_light.svg)
Somit besitzt die Gleichung beispielsweise für 
keine Lösung.
Somit besitzt die Gleichung beispielsweise für keine Lösung.