Zusammengesetzte Körper
Körper können entweder zusammengesetzt oder ausgehöhlt sein.
Die Berechnung des Volumens von zusammengesetzten bzw. ausgehöhlten Körpern erfolgt hierbei durch das Addieren bzw. Subtrahieren der einzelnen Volumina, während der Oberflächeninhalt eines solchen Körpers durch die Summe aller Einzelflächen gegeben ist.
Beispiel
Zusammengesetzter Körper
Ausgehölter Körper
1
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten bzw. ausgehöhlten Körpers.
a)
b)
2
Eine Konditorei bietet Hochzeitstorten in der unten dargestellten Form an. Aus welchen Teilkörpern setzen sich die Torten zusammen? Berechne zusätzlich das Volumen einer Torte.
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1
a)
Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&V_{\text{Quader}}+V_{\text{Pyramide}}\\[5pt]
&=&A_G\cdot c+\dfrac{1}{3}A_G\cdot h\\[5pt]
&=&4\cdot4\cdot1,5+\dfrac{1}{3}\cdot4\cdot4\cdot3\\[5pt]
&=&24+16\\[5pt]
&=&40\;[\text{cm}^3]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/854f55fbd7ccca07e1405295443f8256e1a3716e3f8e64a7ae70394106a4c15f?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt berechnen
Für den Mantelflächeninhalt der Pyramide wird die Höhe 
der Pyramidenseiten benötigt. Für diese folgt mit dem Satz des Pythagoras:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
h_s&=&\sqrt{2^2+3^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{13} \\[5pt]
&\approx&3,61\;[\text{cm}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fd676d428de4325adf1c761446fbe0609e843904dc916208d8df5e244f66a0ac?color=5a5a5a)
Damit ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_O&=&A_G+2ac+2bc+A_M\\[5pt]
&\approx&4\cdot4+2\cdot4\cdot1,5+2\cdot4\cdot1,5 \\[5pt]
&& +4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot3,61 \\[5pt]
&=&16+12+12+28,88 \\[5pt]
&=&68,88\;[\text{cm}^2]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/49fe5f25a5398a5644b7d4f816903eb597e8a73eb7c34879f605e633f3ff7fe2?color=5a5a5a)
b)
Volumen berechnen
Durch die angegebenen Durchmesser der Zylinder ergeben sich die Radien 
und 
Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
V&=&V_1-V_2 \\[5pt]
&=&A_{G_1}\cdot h_1-A_{G_2}\cdot h_2 \\[5pt]
&=&\pi\cdot3^2\cdot10-\pi\cdot2^2\cdot10 \\[5pt]
&\approx&157,08\;[\text{cm}^3]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/382e882dbc4ff88c44c9935f0f76829cc34d0e4dbce87af9197347e3e40778e6?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt berechnen
Die Oberfläche des ausgehölten Körpers, ergibt sich durch die Summe der beiden Mantelflächen plus zweimal die Differenz der beiden Zylindergrundflächen. Insgesamt ergibt sich somit:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
A_O&=&A_{M_1}+A_{M_2}+2\cdot(A_{G_1}-A_{G_2}) \\[5pt]
&=&A_{M_1}+A_{M_2}+2\cdot(A_{G_1}-A_{G_2}) \\[5pt]
&=&2\pi\cdot3\cdot10+2\pi\cdot2\cdot10 \\[5pt]
&& +2\cdot(\pi\cdot3^2-\pi\cdot2^2) \\[5pt]
&=&100\pi+10\pi \\[5pt]
&\approx&345,58\;[\text{cm}^2]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/88103ac6ba4ccbbc72cca18fc262bbb4b39947feec883aba885ae356cf031edf?color=5a5a5a)
2
Die Torte setzt sich aus zwei Zylindern und einer Halbkugel zusammen.
Da die Durchmesser der Zylinder durch 
und 
gegeben sind, folgt für die Radien 
und 
Der Raidus der Halbkugel ergibt sich als ![\(r=\frac{1}{2}\cdot20=10\;[\text{cm}].\)](https://mathjax.schullv.de/84567ab8373d470b6512a2f930f34e20cd2ad9d38d7c7a628d33f52be5c8da2e?color=5a5a5a)
Für das Gesamtvolumen der Torte folgt damit:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
V&=&V_{\text{Zylinder}_1}+V_{\text{Zylinder}_2}+V_{\text{Halbkugel}} \\[5pt]
&=&A_{G_1}\cdot h_1+A_{G_2}\cdot h_2+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3 \\[5pt]
&=&\pi\cdot20^2\cdot 5+\pi\cdot15^2\cdot 5+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi 10^3 \\[5pt]
&\approx&3791,67\pi \\[5pt]
&=&11911,87\;[\text{cm}^3]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d98c2bb89778295d3b8b36df1fe72e0200a77fc4c54c39f9821b097489856f91?color=5a5a5a)