Ereignisse

Situationen, die in einem Zufallsexperiment auftreten können, werden Ereignisse genannt. Wenn ein Ergebnis erhalten wird, das zu einem bestimmten Ereignis gehört, wird gesagt, dass das Ereignis "eintritt".

Ein Ereignis in einem Zufallsexperiment kann entweder mit Sätzen oder durch die Menge der zugehörigen möglichen Resultate beschrieben werden. Die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ für ein Ereignis $E$ ergibt sich durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen zugehörigen Ergebnisse. Dies wird deshalb auch als Summenregel bezeichnet.

Sonderfälle

Es gibt Ergebnisse, die auf den ersten Blick keinen Sinn ergeben. Bei dreimaligem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit zwei weißen und zwei schwarzen Kugeln ist das Ereignis „Alle gezogenen Kugeln besitzen die gleiche Farbe“ durch keines der Ergebnisse gegeben. Andererseits tritt unabhängig von den gezogenen Kugeln das Ereignis „Eine Farbe wird häufiger gezogen als die andere“ immer ein. Solche Ereignisse werden als unmögliches Ereignis bzw. sicheres Ereignis bezeichnet.

Beispiel

Ein Würfel, der mit den Zahlen $1$ bis $6$ beschriftet ist, wird zweimal geworfen. Schreibe das folgende Ereignis in Mengenform um berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt:

$A:$

„Die Summe der geworfenen Zahlen ist kleiner als $4.$ “

Ein Würfel mit den Zahlen 1, 2 und 3 auf den Seiten.

1. Schritt: Ereignis in Mengenform schreiben

$A=\{(1,1);(1,2);(2,1)\}$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Auf dem Würfel stehen $6$ Zahlen, somit gibt es insgesamt $6\cdot6=36$ mögliche Ergebnisse nach zwei Würfen. Jedes mögliche Ergebnis wird somit mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{36}$ erzielt. Mit der Summenregel folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} P(E)&=&\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{13} \end{array}$

Ereignis in Worten beschreiben

$A: \quad$ „Es wird nur die Zahl $4$ geworfen“

Wahrscheinlichkeit berechnen

Drei der sechs Seiten des Würfels sind mit $4$ beschriftet, das heißt die Wahrscheinlichkeit in einem Wurf eine $4$ zu würfeln beträgt $\frac{1}{2}.$ Damit folgt:

$P(A)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$

Ereignis in Mengenform umschreiben

Mengenform anzeigen

Wahrscheinlichkeit berechnen

Aus Teilaufgabe a) ist die Wahrscheinlichkeit eine $4$ zu würfeln bekannt. Da nur eine Seite des Würfels mit der $6$ beschriftet ist, beträgt deren Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}.$ Manche Zahlenkombinationen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge, in welcher die Zahlen gewürfelt werden. Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses mit der Summenregel:

Rechenweg anzeigen

$P(B) \approx 32,61\,\%$

Ereignis in Worten beschreiben

$C: \quad$ „Die Summe aller geworfenen Zahlen ergibt sieben“

Wahrscheinlichkeit berechnen

Zwei der sechs Seiten des Würfels sind mit $3$ beschriftet, das heißt die Wahrscheinlichkeit in einem Wurf eine $3$ zu würfeln beträgt $\frac{1}{3}.$ Die Wahrscheinlichkeit für eine $1$ beträgt zudem $\frac{1}{6}.$ Damit folgt:

$P(C)=3\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$

Ereignis in Mengenform umschreiben

Mit den Zahlen, die auf dem Würfel sind, lässt sich eine $6$ in drei Würfen nur durch zweimaliges Würfeln einer $1$ und einmaliges Würfeln einer $4$ erzielen. Somit ergibt sich: $D = \{(4,1,1);(1,4,1);(1,1,4)\}$

Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(D)=3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{24}$

Jeder Schüler hat nur vier Versuche, beim Torwandschießen zu treffen. Somit ist das Ereignis, dass ein Schüler sechs Mal trifft, ein unmögliches Ereignis und die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt $0.$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler bei einem einzelnen Versuch trifft, beträgt $30\,\%=0,3.$ Da der Schüler entweder beim ersten, zweiten, dritten oder vierten Versuch den Treffer erzielen kann, gibt es vier mögliche Ergebnisse dafür, beim Torwandschießen genau einen Treffer zu erzielen. Damit ergibt sich mit der Summenregel für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ des Ereignisses:

$\begin{array}[t]{rlll} p&=&4\cdot0,3\cdot0,7\cdot0,7 \\[5pt] &=&0,588 \\[5pt] &=&58,8\,\% \end{array}$

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