Vierfeldertafel

Das Baumdiagramm ist nicht die einzige Darstellungsweise für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen eines Zufallsexperiments.

Eine weitere Möglichkeit ist die Darstellung in Tabellenform. Hierbei werden jeweils zwei Ereignisse und deren Gegenereignisse in den Zeilen bzw. Spalten eingetragen. Die Anzahl der Elemente der jeweiligen Schnittmengen werden dann in die zugehörigen Kästchen der Tabelle eingetragen, in denen sich die Zeile bzw. Spalte der beiden jeweiligen Ereignisse treffen.

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$	23	46	69
$\color{#fff}{\overline{B}}$	11	20	31
Summe	34	66	100

Beispiel

Eine Maschine einer Fabrik für Autoteile hat mehrere Defekte. Täglich werden durch diese Maschine $500$ Teile produziert, von denen manche falsch eingefärbt oder mit einer Delle aus der Maschine kommen. Diese Ereignisse werden mit $F$ bzw. $D$ bezeichnet. Ein Test der Firma zeigt, dass $20\,\%$ der Teile von der Maschine falsch gefärbt werden und $5\,\%$ eine Delle aufweisen. Zudem beläuft sich die Anzahl der Teile, die beide Defekte besitzen, an diesem Tag auf $10.$
Stelle eine Vierfeldertafel auf, die den Sachverhalt an dem Tag des Testes wiedergibt.

Mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich, dass $0,2\cdot500=100$ Teile falsch eingefärbt sind und $0,05\cdot500=25$ Teile eine Delle aufweisen. Das liefert folgende Vierfeldertafel:

	$\color{#fff}{F}$	Summe
$\color{#fff}{D}$	10	25
$\color{#fff}{\overline{D}}$
Summe	100	500

Die Zeilen bzw. Spalten, in denen jeweils zwei Werte gegeben sind, liefert direkt den dritten Wert der Zeile bzw. Spalte. Somit ergibt sich beispielsweise für die Anzahl der Teile, die richtig gefärbt sind und eine Delle aufweisen $25-10=15.$ Somit kann die Vierfeldertafel Schritt für Schritt vervollständigt werden, sodass insgesamt folgt:

	$\color{#fff}{F}$	$\color{#fff}{\overline{F}}$	Summe
$\color{#fff}{D}$	10	15	25
$\color{#fff}{\overline{D}}$	90	385	475
Summe	100	400	500

Vervollständige die jeweilige Vierfeldertafel und gib den Anteil an, den $A\cap \overline{B}$ ausmacht.

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$			21
$\color{#fff}{\overline{B}}$	7		33
Summe		15

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$		71	115
$\color{#fff}{\overline{B}}$
Summe	51		287

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$	2
$\color{#fff}{\overline{B}}$		10	31
Summe			50

Eine ausgewählte Schule hat 800 Schüler, von denen $20\,\%$ in der Oberstufe sind. Auf dieser Schule lernen die Schüler entweder Französisch oder Italienisch als zweite Fremdsprache, wobei $60\,\%$ aller Schüler Französischunterricht haben. Der Anteil der Schüler aus der Oberstufe, die Französich als zweite Fremdsprache haben, beträgt $70\,\%.$ Stelle eine geeignete Vierfeldertafel auf und fülle sie vollständig aus.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Die Summe der Elemente aus $B$ und $\overline{B}$ liefert $21+33=54$ für die Anzahl aller Elemente. Somit ergibt sich für das Kästchen links unten in der Tabelle $54-15=39.$
Aus dem Feld für $A\cap \overline{B}$ und $A$ ergibt sich für $A\cap B$ genau $39-18=21.$ Da das Feld für $B$ ebenfalls eine $21$ enthält, folgt somit, dass die Anzahl der Elemente aus $\overline{A}\cap B$ Null beträgt. Durch die Zahlen in dieser Spalte folgt dann $15-0=15$ für das letzte leere Feld. Die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel ist somit wie folgt gegeben:

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$	21	0	21
$\color{#fff}{\overline{B}}$	18	15	33
Summe	39	15	54

Die Menge $A\cap \overline{B}$ macht somit $\frac{18}{54}=\frac{1}{3}$ aller Elemente aus.

Aus den Summen für $A$ und $B$ ergeben sich $287-51=236$ bzw. $287-115=172$ für $\overline{A}$ bzw. $\overline{B}.$ Der fehlende Wert in der ersten Zeile ergibt sich außerdem zu $115-71=44.$
Mit den neu ermittelten Werten ergeben sich ebenfalls die beiden letzten Werte in der zweiten Zeile, durch Berechnung mit den bereits gegebenen Werten aus der jeweiligen Spalte, als $51-44=7$ und $236-71=165.$ Die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel sieht damit wie folgt aus:

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$	44	71	115
$\color{#fff}{\overline{B}}$	7	165	172
Summe	51	236	287

Damit folgt für den gesuchten Anteil der Menge $A\cap \overline{B}$ direkt $\frac{1}{41}.$

Die eingetragenen Summen in der letzten Spalte liefert für den letzten leeren Eintrag in dieser Spalte $50-31=19.$ Damit folgt für $\overline{A}\cap B$ direkt $19-2=17.$ Die Anzahl der Elemente in $\overline{A}$ ergibt sich somit als $17+10=27,$ womit die Anzahl der Elemente aus $B$ gerade $50-27=23$ ist. Das letzte freie Feld der Tabelle ist damit durch $23-2=21$ gegeben. Insgesamt ergibt sich die Vierfeldertafel wie folgt:

	$\color{#fff}{A}$	$\color{#fff}{\overline{A}}$	Summe
$\color{#fff}{B}$	2	17	19
$\color{#fff}{\overline{B}}$	21	10	31
Summe	23	27	50

Der Anteil, den die Menge $A\cap\overline{B}$ ausmacht, ist somit gegeben durch $\frac{21}{50}.$

$O:$

„Ein Schüler ist in der Oberstufe.“

$F:$

„Ein Schüler hat Französisch als zweite Fremdsprache.“

Die Anzahl der Schüler in $O$ beträgt $800\cdot0,2=160,$ während die Anzahl der Schüler in $F$ durch $800*0,6=480$ gegeben ist. Laut Aufgabenstellung haben zudem $70\,\%$ der Schüler, die in der Oberstufe sind, Französischunterricht. Damit ergibt sich die Menge der Schüler in $O\cap F$ als $160\cdot0,7=112.$ Aufstellen einer Vierfeldertafel mit diesen Werten liefert:

	$\color{#fff}{O}$	$\color{#fff}{\overline{O}}$	Summe
$\color{#fff}{F}$	112		480
$\color{#fff}{\overline{F}}$			320
Summe	160	640	800

Mit Hilfe dieser Werte ergeben sich nun die restlichen Tabellenreinträge: Die Anzahl der Schüler in $O\cap\overline{F}$ beträgt sich auf $160-112=48,$ während $480-112=368$ Schüler in $\overline{O}\cap F$ sind. Mit diesem Wert folgt nun abschließend, dass die Menge $\overline{O}\cap\overline{F}$ aus $640-368=272$ Schülern besteht. Diese drei Werte liefern nun die vollständige Vierfeldertafel:

	$\color{#fff}{O}$	$\color{#fff}{\overline{O}}$	Summe
$\color{#fff}{F}$	112	368	480
$\color{#fff}{\overline{F}}$	48	272	320
Summe	160	640	800

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?