Ereignisse verknüpfen
Es ist möglich Ereignisse zu verknüpfen, um neue Ereignisse zu erhalten. Dafür gibt es, bei gegebenen Ereignissen
und
mehrere Möglichkeiten:
Der Additionssatz ist definiert durch
- Die Vereinigungsmenge
gibt das Ereignis „
oder
“ an
- Die Schnittmenge
gibt das Ereignis „
und
“ an
- Die Komplementmenge
gibt das Gegenereignis an, also „Nicht
“


Rechenregeln
Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses gilt
1
Es wird viermal gewürfelt. Gib für die folgenden Ereignisse jeweils das Gegenereignis an und berechne damit die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ereignisse.
a)
„Jede ungerade Zahl wird mindestens einmal gewürfelt.“
b)
„Keine Zahl wird mehr als drei Mal gewürfelt.“
c)
„Die Summe der gewürfelten Zahlen beträgt mehr als
“
d)
„Es wird mindestens zwei Mal die gleiche Zahl gewürfelt.“
2
Unter allen
Fans eines Fußballspiels wird eine Umfrage durchgeführt, ob sie Fan der Heim- oder Auswärtsmannschaft sind und wie sie zum Spiel anreisen.
geben an, dass sie für die Anreise das Auto benutzen und
dass sie die Heimmannschaft unterstützen. Unter den Heimfans liegt der Anteil derer, die mit dem Auto kommen, bei
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte befragte Person Heimfan oder mit dem Auto angereist ist. Wieviele Fans fallen in diese Kategorie?
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1
a)
Gegenereignis angeben
mögliche Ergebnisse.
Drei der Zahlen von
bis
sind gerade. Somit gibt es genau
Ergebnisse, die zu
gehören. Da
andersherum auch das Gegenereignis von
ist, lassen sich die beiden Ausdrücke in der Formel für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses tauschen und es ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
„Es werden nur gerade Zahlen gewürfelt.“
Wahrscheinlichkeit berechnen
Das viermalige Werfen eines Würfels ist ein Laplace-Experiment. Da ein Würfel sechs Seiten hat, gibt es somit insgesamt Drei der Zahlen von
b)
Gegenereignis angeben
Möglichkeiten, dass bei vier Würfen alle gewürfelten Zahlen untereinander übereinstimmen.
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
folgt somit:
„Alle gewürfelten Zahlen sind gleich.“
Wahrscheinlichkeit berechnen
Der Würfel hat sechs verschiedene Zahlen, somit gibt es genau Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
c)
Gegenereignis angeben
zu erzielen, existieren wenige Möglichkeiten. Ein Mal die
und drei Mal die
ergeben z.B. genau
Die weiteren Möglichkeiten sind zwei Mal die
und zwei Mal die
ein Mal die
und dreimal die
sowie ausschließlich Einser.
Da die
in jedem der vier Würfe auftreten kann, gibt es für die erste Möglichkeit genau vier Ergebnisse. Mit der selben Argumentation gehören auch zu der dritten Möglichkeit
Ergebnisse. Für die zweite Möglichkeiten ergeben sich die folgenden Zahlenkombinationen:

Somit ergeben sich insgesamt
Ergebnisse, die zum Gegenereignis
gehören. Damit folgt:
„Die Summe der gewürfelten Zahlen betragt höchstens
“
Wahrscheinlichkeit berechnen
Um in vier Würfen eine Summe von maximal Da die
d)
Gegenereignis angeben
verschiedene Ergebnisse für das Gegenereignis.
Die Wahrscheinlichkeit von
lässt sich somit wie folgt berechnen:
„Alle gewürfelten Zahlen sind unterschiedlich“
Wahrscheinlichkeit berechnen
Im ersten Wurf ist es egal welche der sechs Zahlen geworfen wird, damit am Ende alle vier Würfe unterschiedliche Zahlen zeigen. Für den zweiten Wurf kommen dann nur noch fünf der sechs Zahlen infrage. Das setzt sich weiter fort, sodass im dritten Wurf noch vier Zahlen bzw. im vierten noch drei Zahlen offen sind. Insgesamt gibt es also Die Wahrscheinlichkeit von
2
„Die Person ist mit dem Auto angereist.“
„Die Person ist Heimfan.“
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich