Gleichsetzungsverfahren
Vorgehen zur rechnerischen Lösung
- Umformen beider Gleichungen nach einer gemeinsamen Variable.
- Gleichsetzen ergibt eine Gleichung mit einer einzigen Variablen.
- Auflösen der Gleichung mit einer Variable nach der Unbekannten liefert eine Koordinate der Lösung.
- Einsetzen der bekannten Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen mit zwei Variablen und Auflösen nach der Unbekannten liefert die fehlende Koordinate der Lösung.
- Probe durch Einsetzen beider Werte in die andere ursprüngliche Gleichung.
- Lösungsmenge angeben.
Beispiel
Löse das folgende lineare Gleichungssystem:
1
Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit dem Gleichsetzungsverfahren.
![\(\begin{array}[t]{lrll}
& y &=& 3x+1 & \\[5pt]
& y &=& x-2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/09fd778295542f424e45e24320a6e832cab2c3d93adf47512d46f8675bda3af9?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{lrll}
& x+2y &=& 3 & \\[5pt]
& x+3y &=& -1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/991d09071edee86750352e166f4ff23631b86bd8b9cd6ca2ed8737267d033ad1?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{lrll}
& x+3y &=& -5 & \\[5pt]
& 2x+4y &=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1186f091b3386b2a2cd286b612bcb1ea088230fbf6e417c2d12e5da3444ee5e7?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
2
Es kann auch sinnvoll sein, die Gleichungen nicht nur nach 
oder 
aufzulösen, sondern nach anderen Termen. Wähle einen geschickten Term und löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
![\(\begin{array}[t]{lrll}
& 3y &=& 2x+1 & \\[5pt]
& 3y &=& -x+2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a33497463da51799344cc615c22e895d4945248f88a835c76c4214c761d7c867?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{lrll}
& 7x &=& -5y+2 & \\[5pt]
& -7x &=& 3y-2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fffdb4ce5e5960af4059af639c3958ac0e40ca6356fc37975f6dfbf3d35f2243?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{lrll}
& x+3y &=& -6 & \\[5pt]
& 2x &=& 3y+4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d069f92ffef6e0db013022d5bbdfae6ded6c11625473399c3a8fb5bf9bf181fc?color=5a5a5a)
a)
b)
c)
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1
a)
1. Umformen nach 
2. Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
&3x+1&=& x-2 &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6fc3936c77260fc8205a30835efd8d0413f8a21e7d91b50a8cf7ddb95eb80094?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach 
![\(\begin{array}[t]{rlll}
3x+1&=& x-2 &\quad \mid\; -x \quad \mid\; -1 \\[5pt]
2x&=& -3 &\quad \mid\; :2 \\[5pt]
x&=& -\dfrac{3}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/05db408e30da2c4c25d5541fc644c3c614e6b4d65b2b9a35f2c77dda7574a0f5?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von 
in 
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{I:}\quad &y&=& 3x+1 &\quad \; \bigg \vert\, \; x= -\dfrac{3}{2} \\[5pt]
&y&=& 3\cdot \left( -\dfrac{3}{2} \right)+1 & \\[5pt]
&y&=& -\dfrac{7}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/08a56a4735a447fa99e7d21bf2bdc85ccb243d121445c6d2366597e851087d89?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{II:}\quad &y&=& x-2 &\quad \; \bigg \vert\, \left(-\dfrac{3}{2}\; \bigg \vert\, -\dfrac{7}{2} \right) \\[5pt]
&-\dfrac{7}{2}&=& -\dfrac{3}{2}-2 & \\[5pt]
&-\dfrac{7}{2}&=& -\dfrac{7}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/362f19db5b08b0f1394b2bb840fc4d36c5541786c774edfaf6b0a92afba4c320?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
b)
1. Umformen nach
2. Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
&3-2y&=& -1-3y &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/863b00ff9967518533fd1257c9ba598b3aa0026fb336b53908ceda2ffc955221?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}[t]{rlll}
3-2y&=& -1-3y &\quad \mid\; +3y \quad \mid\; -3 \\[5pt]
y&=& -4 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/aebd3105c0395c8a57ba0212ca59ccf0b712a415aa88753623a9303f2bbb700e?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von 
in
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{I:}\quad &x&=& 3-2y &\quad \mid y=-4\\[5pt]
&x&=& 3-2\cdot (-4) & \\[5pt]
&x&=& 11
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/57b87211ae4978f3246358f3b274de6276fe046515ce117e112416d7f30d022f?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{II:}\quad &x&=& -1-3y &\quad \mid (11\mid -4) \\[5pt]
&11&=& -1-3\cdot (-4) & \\[5pt]
&11&=&11
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dcebac5cea52ad54b8704e19d4a55b596292924c452771e7629fe98b4ebb0d2a?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
c)
1. Umformen nach
2. Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
&-5-3y&=& 1-2y &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5efb332a9f9c78e2e0efd1c4bcf512b3174ee9bbadbcea70e0b94b0302e9d148?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-5-3y&=& 1-2y &\quad \mid\; +2y \quad \mid\; +5 \\[5pt]
-y&=& 6 &\quad \mid\; \cdot (-1) \\[5pt]
y&=& -6 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8c1fc9604d7dd26d23678f38813cfa999be5251a7dd6ff8a15120a4bad95edd1?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von in
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{I:}\quad &x&=& -5-3y &\quad \mid y=-6\\[5pt]
&x&=&-5-3\cdot (-6) & \\[5pt]
&x&=& 13
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a871ddc6f46fc53e762bc9d95bcd9e9a0f2017d0930d020e52f0d5593589f362?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{II:}\quad &x&=& 1-2y &\quad \mid (13\mid -6) \\[5pt]
&13&=& 1-2\cdot (-6) & \\[5pt]
&11&=&13
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d96ad9710446f194a51d2d9414eb07fc021e60ae3fd3721366e5e3e50f6a480d?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
2
a)
1. Umformen nach 
2. Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
&2x+1&=& -x+2 &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fa88bcb00533b7096a4a2952d237439cb1e92f6083c71f961ba96cde9f7a6647?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}[t]{rlll}
2x+1&=& -x+2 &\quad \mid\; +x \quad \mid\; -1 \\[5pt]
3x&=& 1&\quad \mid\; :3 \\[5pt]
x&=& \dfrac{1}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f677be3916188c69b374e7f297c926145bea783ec91e27550eb9351323b5f0b0?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von in
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{I:}\quad &3y&=& 2x+1 &\quad \; \bigg \vert\, \; x= \dfrac{1}{3} \\[5pt]
&3y&=& 2\cdot \dfrac{1}{3}+1 & \\[5pt]
&3y&=& \dfrac{5}{3}& \quad \; \bigg \vert\, \;:3 \\[5pt]
&y&=& \dfrac{5}{9}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3bc42f92d6209f5630acdf6e2f47048f7681e436d27c73378c0ec0b2b9023747?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{II:}\quad &3y&=& -x+2 &\quad \; \bigg \vert\, \left(\dfrac{1}{3}\; \bigg \vert\, \dfrac{5}{9} \right) \\[5pt]
&3\cdot \left(\dfrac{5}{9}\right)&=& -\dfrac{1}{3}+2 & \\[5pt]
&\dfrac{5}{3}&=& \dfrac{5}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a76511e5dd61c41f220ad5454c279813d7a791b5ea0b502f2d1ea29e32f582ba?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
b)
1. Umformen nach 
2. Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
&-5y+2&=& -3y+2 &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fcb5aaa2ca52979542c6c89ebcd50f09abd3a50e008697b6f3bcd965b85c6f44?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-5y+2&=& -3y+2 &\quad \mid\; +x \quad \mid\; -2 \\[5pt]
-5y&=& -3y&
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/22ea5bf40aa08ab58b31c24a3715a0d686d355e47c3755d4d10994adc132611c?color=5a5a5a)
Diese Gleichung besitzt nur die Lösung 
4. Einsetzen von in
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{I:}\quad &7x&=& -5y+2 &\quad\mid y=0 \\[5pt]
&7x&=& -5\cdot 0+2 & \\[5pt]
&7x&=& 2& \quad \mid :7 \\[5pt]
&x&=& \dfrac{2}{7}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/664035287ac840212f07312c40b82c0cb2100c0b0e8a42e6f95ab68609aa665f?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{II:}\quad &7x&=& -3y+2 & \quad\mid y=0 \\[5pt]
&7x&=& -3\cdot 0+2 & \\[5pt]
&7x&=& 2& \quad \mid :7 \\[5pt]
&x&=& \dfrac{2}{7}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9f520444697a0c9d12a32fef8a211263fcbfe70c5c330426cc81286548b2c1b9?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
c)
1. Umformen nach
2. Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
&-6-x&=& 2x-4 &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/498a1ff17a7ecf8ac1e8fcaef45eb006937741486f11d007e95f0d3dd2bc58c4?color=5a5a5a)
3. Auflösen nach
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-6-x&=& 2x-4 &\quad \mid\; +x \quad \mid\; +4 \\[5pt]
-2&=& 3x &\quad \mid\; :3 \\[5pt]
-\dfrac{2}{3}&=& x&
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6adef067d3f66fcd3a82f3fdaf8682198105a639d84f95c35f151e90553ad9e8?color=5a5a5a)
4. Einsetzen von in
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{I:}\quad &3y&=& -4+2x &\quad \; \bigg \vert\, \; x= -\dfrac{2}{3} \\[5pt]
&3y&=& -4+2\cdot \left( -\dfrac{2}{3} \right)& \\[5pt]
&3y&=& -\dfrac{16}{3}& \quad \; \bigg \vert\, \; :3 \\[5pt]
&x&=& -\dfrac{16}{9}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/68ef790d83d1a9853e7c5bf0e572aa2a4ace5ca6741643400c59ee7347b8b5a8?color=5a5a5a)
5. Probe:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\text{II:}\quad &3y&=& 2x-4& \quad \; \bigg \vert\, \left(-\dfrac{2}{3}\; \bigg \vert\, -\dfrac{16}{9} \right) \\[5pt]
&3\cdot \left(-\dfrac{16}{9}\right)&=& 2\cdot \left( -\dfrac{2}{3} \right)-4 & \\[5pt]
&-\dfrac{16}{3}&=& -\dfrac{16}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/72e84a57ffcca47782b3bc16b22795b5056ce2854cf30d8a51a8c8fee234168f?color=5a5a5a)
6. Lösungsmenge angeben:
