Quadratische Ergänzung
Definition
Jede Gleichung in der allgemeinen quadratischen Form
kann durch geschickte Addition von Null in die Scheitelpunktform gebracht werden. Dazu wird das Quadrat der Hälfte des Faktors 
addiert und direkt wieder subtrahiert, um den Term nicht zu verändern. So können die binomischen Formeln rückwärts angewandt und zusammengefasst werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+px+q \\[5pt]
&=& \color{#44B35A} {x^2+px+\boldsymbol{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}} \color{#5a5a5a} - \boldsymbol{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}+q & \quad \mid \text{1. bin. Formel} \\[5pt]
&=& \color{#44B35A}{\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2} -\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/730020dd64efbdb10393392b7803c547d2e1218274adba7c38809c7944ce4728_light.svg)
Dieses Vorgehen wird quadratische Ergänzung genannt.
Beispiel
Quadratische Ergänzung:
Mit 
und 
ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+4x+\boldsymbol{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2}-\boldsymbol{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2}+1 \\[5pt]
&=& x^2+4x+\boldsymbol{4}-\boldsymbol{4}+1 \\[5pt]
&=& (x^2+4x+\boldsymbol{4})-\boldsymbol{4}+1 & \quad \mid \text{1. bin. Formel}\\[5pt]
&=& (x+2)^2-4+1 \\[5pt]
&=& (x+2)^2-3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/28637ca56af5de980c61ba4406fc66a2115761e3a2bf0f49c43cad168e8c1801_light.svg)
Aus der Scheitelpunktform können die Koordinaten des Scheitelpunkts 
direkt abgelesen werden.
1
Ergänze die Funktionsgleichung quadratisch.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
Bringe die Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in Scheitelpunktform und gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an.
a)
c)
b)
d)
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2
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-4x\\[5pt]
&=& x^2-4x+\boldsymbol{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2}-\boldsymbol{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2} \\[5pt]
&=& x^2-4x+2^2-2^2 \\[5pt]
&=& (x^2-2\cdot 2\cdot x+2^2)-4\\[5pt]
&=& (x-2)^2-4 &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0a583d1309b27a9d17faff41d8f16cbe9587bc362b65bbd4c84fe74640af59c0_light.svg)
Der Scheitelpunkt kann aus der Gleichung direkt abgelesen werden und besitzt die Koordinaten 
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+10x+24 \\[5pt]
&=& x^2+10x+\boldsymbol{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2}-\boldsymbol{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2} +24 \\[5pt]
&=& x^2+10x+5^2-5^2 +24\\[5pt]
&=& (x^2+2\cdot 5\cdot x+5^2)-25+24\\[5pt]
&=& (x+5)^2+1 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/10f44c3c2a5b0d33381400b7c346d73631ad89196f393d5f8b19e7d1e9f22d7a_light.svg)
Der Scheitelpunkt kann aus der Gleichung direkt abgelesen werden und besitzt die Koordinaten 
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-8x+17\\[5pt]
&=& x^2-8x+\boldsymbol{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2}-\boldsymbol{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2} +17 \\[5pt]
&=& x^2-8x+4^2-4^2+17 \\[5pt]
&=& (x^2-2\cdot 4\cdot x+4^2)-16+17\\[5pt]
&=& (x-2)^2+1 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/df47d9f699b981923bc072781f29e4db43dc463f8cc3c3e7d21b3e356e70db5c_light.svg)
Der Scheitelpunkt kann aus der Gleichung direkt abgelesen werden und besitzt die Koordinaten 
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 3x^2+6x-24\\[5pt]
&=& 3\cdot \left(x^2+2x-8\right)\\[5pt]
&=& 3\cdot \left(x^2+2x+\boldsymbol{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2}-\boldsymbol{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2}-8 \right) \\[5pt]
&=& 3\cdot \left((x^2+2\cdot 1\cdot x+1^2)-1^2-8\right) \\[5pt]
&=& 3\cdot \left((x+1)^2-9 \right)\\[5pt]
&=& 3\cdot (x+1)^2-27 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dbd25a8f354d21dce81f263863d4ebb4ef9f3e6f355187fb9c784daea2173a2c_light.svg)
Der Scheitelpunkt kann aus der Gleichung direkt abgelesen werden und besitzt die Koordinaten 
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