Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Definition

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung der Form $ax+by=c$ mit gegebenen Zahlen $a,b$ und $c$ und jede Gleichung, die durch Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden kann.

Eigenschaften:

Jede Lösung ist durch ein Zahlenpaar $(x\mid y)$ gegeben
Jede Gleichung hat unendlich viele verschiedene Lösungen

Grafische Darstellung

Jede Gleichung der Form $ax+by=c$ stellt grafisch eine Gerade dar. Hierbei gilt:

$\boldsymbol{b\neq 0}:$

Die Gleichung kann durch Umformungen in die Form $y=mx+n$ gebracht werden. Dabei handelt es sich um eine Funktionsgleichung, deren Graph eine steigende, fallende oder zur $x$ -Achse parallele Gerade ist.

$\boldsymbol{b=0,\,a\neq 0}:$

Die Gleichung kann durch Umformungen in die Form $x=r$ gebracht werden. Der Graph einer solchen Gleichung ist eine zur $y$ -Achse parallele Gerade.

Beispiel: $4x+2y=8$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} 4x+2y&=& 8&\quad \mid\;-4x \\[5pt] 2y&=& 8-4x&\quad \mid\;:2 \\[5pt] y&=&-2x+4 \end{array}$

Beispiel: $2x+0y=6$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} 2x+0y&=& 6& \\[5pt] 2x&=& 6&\quad \mid\;:2 \\[5pt] x&=& 3 \end{array}$

Auflösen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} x-3y&=&9 &\mid\;-x \\[5pt] -3y&=&9-x &\mid\;:(-3) \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3}x-3 \end{array}$

Einsetzen von verschiedenen $x$ -Werten liefert beispielsweise:

Für $x=0:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&\dfrac{1}{3}\cdot0-3 \\[5pt] &=&-3 \end{array}$

Für $x=3:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&\dfrac{1}{3}\cdot3-3 \\[5pt] &=&-2 \\[5pt] \end{array}$

Durch Einzeichnen und Verbinden der berechneten Punkte $P_1(0\mid-3)$ und $P_2(3\mid-2)$ folgt die eindeutig festgelegte Gerade:

Diagramm eines Koordinatensystems mit einer grünen Linie und zwei Punkten P1 und P2.

Auflösen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} 5x+2y&=&4 &\mid\;-5x \\[5pt] 2y&=&4-5x &\mid\;:2 \\[5pt] y&=&-\dfrac{5}{2}x+2 \end{array}$

Einsetzen von verschiedenen $x$ -Werten liefert beispielsweise:

Für $x=0:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&-\dfrac{5}{2}\cdot0+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Für $x=2:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&-\dfrac{5}{2}\cdot2+2 \\[5pt] &=&-3 \\[5pt] \end{array}$

Durch Einzeichnen und Verbinden der berechneten Punkte $P_1(0\mid2)$ und $P_2(2\mid-3)$ folgt die eindeutig festgelegte Gerade:

Graph mit einer grünen Linie und zwei Punkten P1 und P2 im Koordinatensystem.

Auflösen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} -4x-5y&=&0 &\mid\;+4x \\[5pt] -5y&=&4x &\mid\;:(-5) \\[5pt] y&=&-\dfrac{4}{5}x \end{array}$

Einsetzen von verschiedenen $x$ -Werten liefert beispielsweise:

Für $x=0:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&-\dfrac{4}{5}\cdot0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Für $x=5:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&-\dfrac{4}{5}\cdot5 \\[5pt] &=&-4 \\[5pt] \end{array}$

Durch Einzeichnen und Verbinden der berechneten Punkte $P_1(0\mid0)$ und $P_2(5\mid-4)$ folgt die eindeutig festgelegte Gerade:

Graph mit einer grünen Linie, die Punkte P1 und P2 in einem Koordinatensystem verbindet.

Auflösen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} 2x-6y&=&3 &\mid\;-2x \\[5pt] -6y&=&3-2x &\mid\;:(-6) \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2} \end{array}$

Einsetzen von verschiedenen $x$ -Werten liefert beispielsweise:

Für $x=0:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&\dfrac{1}{3}\cdot0-\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&-0,5 \end{array}$

Für $x=3:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=&\dfrac{1}{3}\cdot3-\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&0,5 \\[5pt] \end{array}$

Durch Einzeichnen und Verbinden der berechneten Punkte $P_1(0\mid-0,5)$ und $P_2(3\mid0,5)$ folgt die eindeutig festgelegte Gerade:

Eine grüne Gerade im Koordinatensystem mit Punkten P1 und P2.

Die Variable $x$ beschreibt die Anzahl der gekauften Fußbälle und die Variable $y$ die Anzahl der gekauften Basketbälle.

Mit den gegebenen Informationen ergibt sich folgende lineare Gleichung:

$\begin{array}[t]{rlll} x\cdot 15+y\cdot 20&=& 350 & \quad \mid\; :5\\[5pt] 3x+4y&=& 70 \end{array}$

Auflösen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} 3x+4y&=& 70& \quad \mid\; -3x\\[5pt] 4y&=& 70-3x& \quad \mid\; :4\\[5pt] y&=& 17,5-0,75x \end{array}$

Einsetzen von verschiedenen $x$ -Werten liefert beispielsweise:

Für $x=6:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=& 17,5-0,75\cdot 6 \\[5pt] &=& 13 \end{array}$

Für $x=10:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=& 17,5-0,75\cdot 10 \\[5pt] &=& 10 \end{array}$

Für $x=14:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=& 17,5-0,75\cdot 14 \\[5pt] &=& 7 \end{array}$

Mögliche Lösungen sind somit $(6\mid 13),$ $(10 \mid 10)$ und $(14 \mid 7).$

Durch das Angebot wird die Anzahl der Bälle eindeutig festgelegt, während die neuen Sonderpreise unbekannt sind. Definiere also:

$x:\;$ Sonderpreis für einen Fußball in $\,\text{€}$

$y:\;$ Sonderpreis für einen Basketball in $\,\text{€}$

Es ergibt sich folgende lineare Gleichung:

$\begin{array}[t]{rlll} 20\cdot x+ 10\cdot y&=& 350 &\quad \mid\; :10\\[5pt] 2x+ y&=& 35 &\quad \mid\; -2x\\[5pt] y&=& 35-2x \end{array}$

Einsetzen verschiedener $x$ -Werte liefert beispielsweise:

Für $x=10:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=& 35-2\cdot 10 \\[5pt] &=& 15 \end{array}$

Für $x=11:$

$\begin{array}[t]{rlll} y&=& 35-2\cdot 11 \\[5pt] &=& 13 \end{array}$

Der Händler kann bei dem Angebot beispielsweise $10 \,\text{€}$ für einen Fußball und $15 \,\text{€}$ für einen Basketball oder $11 \,\text{€}$ für einen Fußball und $13 \,\text{€}$ für einen Basketball verlangt haben.

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