Einsetzungsverfahren

Vorgehen zur rechnerischen Lösung

Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen.
Einsetzen dieses Terms in die andere Gleichung ergibt eine Gleichung mit einer Variablen.
Auflösen der Gleichung mit einer Variable nach der Unbekannten liefert eine Koordinate der Lösung.
Einsetzen der bekannten Variable in die zweite Gleichung und Auflösen nach der Unbekannten liefert die andere Koordinate der Lösung.
Probe durch Einsetzen beider Werte in die andere ursprüngliche Gleichung.
Lösungsmenge angeben.

Beispiel

Löse das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I:}\quad&2x+3y&=& 5 &\\ \text{II:}\quad&y&=&-3+4x&\quad \\ \end{array}$

1. Schritt: Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable

Da die zweite Gleichung bereits nach $y$ aufgelöst ist, kann dieser Schritt übesprungen werden.

2. Schritt: Einsetzen

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad&2x+3y&=&5 &\quad \mid\; y=-3+4x \\[5pt] &2x+3\cdot (-3+4x)&=& 5 \end{array}$

3. Schritt: Auflösen nach $\boldsymbol{x}$

$\begin{array}[t]{rlll} &2x+3\cdot (-3+4x)&=& 5 &\quad \mid\;+3x \quad \mid\;+3 \\[5pt] &2x-9+12x &=&5 &\quad \mid +9 \\[5pt] &14x &=&14 &\quad \mid\;:14 \\[5pt] &x&=& 1 \end{array}$

4. Schritt: Einsetzen von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\text{II}}$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& y &=& -3+4x &\quad \mid\; x=1\\[5pt] &y &=& -3+4\cdot 1 & \\[5pt] &y &=& 1 \end{array}$

5. Schritt: Probe

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& 2x+3y&=& 5 &\quad \mid\; (1 \mid 1) \\[5pt] & 2\cdot 1+3\cdot 1&=& 5 &\\[5pt] &5&=& 5 \end{array}$

6. Schritt: Lösungsmenge angeben

$L=\{(1\mid 1)\}$

1. Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable:

Da die zweite Gleichung bereits nach $y$ aufgelöst ist, kann dieser Schritt übesprungen werden.

2. Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad&2x+y&=&4 &\quad \mid\; y=-3x+2 \\[5pt] &2x+ (-3x+2)&=& 4 \end{array}$

3. Auflösen nach $\boldsymbol{x}$ :

$\begin{array}[t]{rlll} &2x -3x+2&=& 4 &\quad \mid\;-2 \\[5pt] & -x &=&2 &\quad \mid \cdot (-1) \\[5pt] &x &=& -2 \end{array}$

4. Einsetzen von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\text{II}}$ :

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& y &=& -3x+2 &\quad \mid\; x=-2\\[5pt] &y &=& -3\cdot (-2)+2 & \quad \mid\; +4 \\[5pt] &y &=& 8 \end{array}$

5. Probe:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& 2x+y&=& 4 &\quad \mid\; (-2 \mid 8) \\[5pt] &2\cdot (-2)+8&=& 4 &\\[5pt] &4&=& 4 \end{array}$

6. Lösungsmenge angeben:

$L=\{(-2\mid 8)\}$

1. Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable:

Da die erste Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist, kann dieser Schritt übesprungen werden.

2. Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad&3x-2y&=&0 &\quad \mid\; x=2y+1 \\[5pt] &3\cdot (2y+1)-2y&=& 0 \end{array}$

3. Auflösen nach $\boldsymbol{y}:$

$\begin{array}[t]{rlll} &3\cdot (2y+1)-2y&=& 0 & \\[5pt] & 6y+3-2y&=&0 &\quad \mid -3 \\[5pt] & 4y&=& -3 &\quad \mid :4\\[5pt] &y &=& -\dfrac{3}{4} \end{array}$

4. Einsetzen von $\boldsymbol{y}$ in $\boldsymbol{\text{I}}:$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& x &=& 2y+1 &\quad \; \bigg \vert\,\; y=-\dfrac{3}{4}\\[5pt] &x &=& 2\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)+1 & \\[5pt] &y &=& -\dfrac{1}{2} \end{array}$

5. Probe:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& 3x-2y&=& 0 &\quad \; \bigg \vert\,\; \left(-\dfrac{1}{2} \; \bigg \vert\, -\dfrac{3}{4}\right) \\[5pt] &3\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)-2\cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right)&=& 0 &\\[5pt] &0&=& 0 \end{array}$

6. Lösungsmenge angeben:

$L=\left\{\left(-\dfrac{1}{2} \; \bigg \vert\, -\dfrac{3}{4}\right)\right\}$

1. Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable:

Für die erste Gleichung gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad&-2x-y&=&5 &\quad \mid\; +2x \\[5pt] &-y&=&5 +2x &\quad \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] &y&=& -5-2x \end{array}$

2. Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad&-3x+3y&=&3&\quad \mid\; :3 \\[5pt] &-x+y&=&1&\quad \mid\; y=-5-2x \\[5pt] &-x-5-2x&=& 1 &\quad \mid\;+5 \\[5pt] &-3x&=& 6 &\quad \mid\;:(-3) \\[5pt] &x&=& -2 & \\[5pt] \end{array}$

3. Auflösen nach $\boldsymbol{x}:$

$\begin{array}[t]{rlll} &2x -3x+2&=& 4 &\quad \mid\;-2 \\[5pt] & -x &=&2 &\quad \mid \cdot (-1) \\[5pt] &x &=& -2 \end{array}$

4. Einsetzen von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\text{I}}:$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& y &=& -5-2x &\quad \mid\; x=-2\\[5pt] &y &=& -5-2\cdot (-2)& \quad \mid\; +4 \\[5pt] &y &=& -1 \end{array}$

5. Probe:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& -3x+3y&=& 3 &\quad \mid\; (-2 \mid -1) \\[5pt] & -3\cdot (-2)+3\cdot (-1)&=& 3&\\[5pt] &3&=& 3 \end{array}$

6. Lösungsmenge angeben:

$L=\{(-2\mid -1)\}$

1. Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable:

Die zweite Gleichung ist bereits nach $4y$ umgestellt. Da der Term $4y$ auch in der ersten Gleichung vorkommt, kann dieser dort eingesetzt werden.

2. Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad&3x+4y&=& 11 &\quad \mid\; 4y=2x+1 \\[5pt] &3x+4\cdot (2x+1)&=& 11 \\[5pt] \end{array}$

3. Auflösen nach $\boldsymbol{x}:$

$\begin{array}[t]{rlll} &3x+2x+1&=& 11 & \quad \mid -1 \\[5pt] & 5x &=& 10 &\quad \mid :5 \\[5pt] & x &=& 2 \end{array}$

4. Einsetzen von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\text{II}}:$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& 4y &=& 2x+1 &\quad \mid\; x=2\\[5pt] &4y &=& 2\cdot 2+1 & \quad \mid\; :4 \\[5pt] &y &=& \dfrac{5}{4} \end{array}$

5. Probe:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& 3x+4y&=& 11 &\quad \; \bigg \vert\, \; \left(2 \mid \dfrac{5}{4}\right) \\[5pt] &3\cdot 2+4\cdot\dfrac{5}{4} &=& 11 &\\[5pt] &11&=& 11 \end{array}$

6. Lösungsmenge angeben:

$L=\left\{\left(2 \; \bigg \vert\, \dfrac{5}{4}\right)\right\}$

1. Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable:

Beide Gleichungen beinhalten den Term $3y.$ Umstellen der ersten Gleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& -2x+3y&=& 7 &\quad \mid\; +2x \\[5pt] &3y&=& 7+2x \\[5pt] \end{array}$

2. Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& 4x-3y&=& 2 &\quad \mid\; 3y=7+2x\\[5pt] &4x-(7+2x)&=& 2 \\[5pt] \end{array}$

3. Auflösen nach $\boldsymbol{x}:$

$\begin{array}[t]{rlll} &4x-(7+2x)&=& 2 & \\[5pt] & 4x-7-2x &=& 2 &\quad \mid +7 \\[5pt] & 2x &=& 9 &\quad \mid :2 \\[5pt] & x &=& \dfrac{9}{2} \end{array}$

4. Einsetzen von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\text{I}}:$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& 3y &=& 7+2x &\quad \; \bigg \vert\,\; x=\dfrac{9}{2} \\[5pt] &3y &=&7+2\cdot \dfrac{9}{2} & \\[5pt] &3y &=&16 & \quad \mid\; :3 \\[5pt] &y &=& \dfrac{16}{3} \end{array}$

5. Probe:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& 4x-3y&=& 2 &\quad \; \bigg \vert\, \; \left(\dfrac{9}{2} \mid \dfrac{16}{3} \right) \\[5pt] &4\cdot \dfrac{9}{2}-3\cdot \dfrac{16}{3} &=& 2 &\\[5pt] &18-16 &=& 2 &\\[5pt] &2&=& 2 \end{array}$

6. Lösungsmenge angeben:

$L=\left\{\left(\dfrac{9}{2} \; \bigg \vert\, \dfrac{16}{3}\right)\right\}$

1. Umformen einer Gleichung nach gemeinsamer Variable:

Für die erste Gleichung gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad&6x+2y&=&18 &\quad \mid\; \cdot 4\\[5pt] &24x+8y&=& 72 &\quad \mid\; -24x\\[5pt] &8y&=& 72 -24x &\\[5pt] \end{array}$

2. Einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad&-5x+8y&=& 14 &\quad \mid\; 8y=72-24x \\[5pt] &-5x+(72-24x)&=& 14 & \\[5pt] \end{array}$

3. Auflösen nach $\boldsymbol{x}:$

$\begin{array}[t]{rlll} &-5x+72-24x&=& 14 &\quad \mid\; -72 \\[5pt] &-29x&=& -58 &\quad \mid\; :(-29) \\[5pt] &x&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$

4. Einsetzen von $\boldsymbol{x}$ in $\boldsymbol{\text{I}}:$

$\begin{array}[t]{rlll} \text{I:}\quad& 8y &=& 72-24x &\quad \mid\; x=2\\[5pt] &8y &=& 72-24\cdot 2& \quad \mid\; +4 \\[5pt] &8y &=& 24 & \quad \mid\; :8 \\[5pt] &y &=& 3 \end{array}$

5. Probe:

$\begin{array}[t]{rlll} \text{II:}\quad& -5x+8y&=& 14 &\quad \mid\; (2 \mid 3) \\[5pt] &-5\cdot 2+8\cdot 3&=& 14 &\\[5pt] &14&=& 14 \end{array}$

6. Lösungsmenge angeben:

$L=\{(2\mid 3)\}$

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