Quadratische Funktionen anwenden

Im Alltag ist es oft wichtig zu wissen, wann eine Größe, wie beispielsweise der Gewinn, die Höhe eines Flugs oder ein Flächeninhalt, ihren größten oder kleinsten Wert erreicht. Solche Fragestellungen lassen sich häufig mit quadratischen Funktionen beschreiben und werden als Optimierungsprobleme bezeichnet.

Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel liefert dabei den maximalen oder minimalen Wert der Funktion.

Vorgehen

Variable einführen
Quadratische Gleichung aufstellen
Scheitelpunkt bestimmen
Ergebnis angeben
Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Beispiel

Ein Seil mit acht Metern Länge soll zu einem Rechteck gelegt werden. Wie sind $a$ und $b$ zu wählen, damit der Inhalt des Rechtecks maximal wird?

1. Schritt: Variable einführen

$x \mathrel{\widehat{=}}$ Länge der Querseiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ in Metern

2. Schritt: Quadratische Gleichung aufstellen

Da die Gesamtlänge des Seils $8$ Meter beträgt und die beiden Querseiten jeweils eine Länge von $x$ Metern haben, bleiben für die beiden Längsseiten $8-2x$ Meter übrig.

Die Länge einer Längsseite ergibt sich also zu:

$\dfrac{8-2x}{2}= 4-x \; [\text{m}]$

Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt also:

$A=x\cdot (4-x)$

Illustration eines rechteckigen Rahmens aus Seil mit den Seitenlängen x und 4-x.

3. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen

Ausmultiplizieren der Funktion für den Flächeninhalt liefert die folgende allgemeine quadratische Funktion:

$\begin{array}[t]{rlll} A&=& x\cdot (4-x) & \\[5pt] &=& -x^2+4x \end{array}$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rlll} A&=& -(x^2-4x) & \\[5pt] &=& -\left(x^2-4x+\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{4}{2}\right)^2\right) & \\[5pt] &=& -\left(\left(x-2\right)^2-4\right) & \\[5pt] &=&-\left(x-2\right)^2+4 \end{array}$

Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt $S(2 \mid 4)$ direkt abgelesen werden.

Alternativ kann der Scheitelpunkt auch mit dem CAS bestimmt werden.

4. Schritt: Ergebnis angeben

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts ist der kleinste bzw. größte Funktionswert des Rechtecks. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, handelt es sich an der Stelle $x=2$ um den Hochpunkt der Parabel und somit um den maximalen Flächeninhalt.

Für die Längseite des Rechtecks gilt für $x=2:$

$4-2=2$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Für eine Länge der Querseite von $2 \,\text{m}$ und einer Länge der Längsseite von $1 \,\text{m}$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks somit maximal.

Da dies positive, realistische Längen sind, ist die Lösung sinnvoll.

Mögliche Zahlenpaare sind:

$a=1, \; b=11$
$a=2, \; b=10$
$a=3, \; b=9$
$a=4, \; b=8$
$a=5, \; b=7$

1. Schritt: Variable einführen

$x \mathrel{\widehat{=}}$ Länge der der Seite $a$ in Metern

2. Schritt: Quadratische Gleichung aufstellen

Da die Gesamtlänge des Zauns $12$ Meter beträgt und die Seite $a$ eine Länge von $x$ Metern hat, bleiben für die Sseite $b$ noch $12-x$ Meter übrig.

Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt also:

$A=x\cdot (12-x)$

3. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen

Ausmultiplizieren der Funktion für den Flächeninhalt liefert die folgende allgemeine quadratische Funktion:

$\begin{array}[t]{rlll} A&=& x\cdot (12-x) & \\[5pt] &=& -x^2+12x \end{array}$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rlll} A&=& -(x^2+12x) & \\[5pt] &=& -\left(x^2+12x+\left(\dfrac{12}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{12}{2}\right)^2\right) & \\[5pt] &=& -\left(\left(x-6\right)^2-36\right) & \\[5pt] &=&-\left(x-6\right)^2+36 \end{array}$

Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt $S(6 \mid 36)$ direkt abgelesen werden.

Alternativ kann der Scheitelpunkt auch mit dem CAS bestimmt werden.

4. Schritt: Ergebnis angeben

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts ist der kleinste bzw. größte Funktionswert des Rechtecks. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, handelt es sich an der Stelle $x=6$ um den Hochpunkt der Parabel und somit um den maximalen Flächeninhalt $A.$

Für die Seite $b$ des Rechtecks gilt für $x=6:$

$12-6=6 \, [\text{m}]$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Für eine Länge der Seite $a$ von $6 \,\text{m}$ und einer Länge der Seite $b$ von $6 \,\text{m}$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks somit maximal.

Da dies positive, realistische Längen sind, ist die Lösung sinnvoll.

1. Schritt: Variable einführen

$x \mathrel{\widehat{=}}$ Länge der Seiten $a,$ welche nicht an der Mauer liegen, in Metern

2. Schritt: Quadratische Gleichung aufstellen

Da die Gesamtlänge des Zauns $12$ Meter beträgt und die beiden Seiten $a$ jeweils eine Länge von $x$ Metern haben,bleiben für die beiden Längsseiten $12-2x$ Meter übrig. Da das Gartenhaus zusätzlich eine Länge von $4$ Metern zur Abrenzung bietet, ergibt sich die Länge einer Längsseite also zu:

$\dfrac{12-2x+4}{2}= 8-x \; [\text{m}]$

Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt also:

$A=x\cdot (8-x)$

3. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen

Ausmultiplizieren der Funktion für den Flächeninhalt liefert die folgende allgemeine quadratische Funktion:

$\begin{array}[t]{rlll} A&=& x\cdot (8-x) & \\[5pt] &=& -x^2+8x \end{array}$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rlll} A&=& -(x^2-8x) & \\[5pt] &=& -\left(x^2-8x+\left(\dfrac{8}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{8}{2}\right)^2\right) & \\[5pt] &=& -\left(\left(x-4\right)^2-16\right) & \\[5pt] &=&-\left(x-4\right)^2+16 \end{array}$

Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt $S(4 \mid 16)$ direkt abgelesen werden.

Alternativ kann der Scheitelpunkt auch mit dem CAS bestimmt werden.

4. Schritt: Ergebnis angeben

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts ist der kleinste bzw. größte Funktionswert des Rechtecks. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, handelt es sich an der Stelle $x=4$ um den Hochpunkt der Parabel und somit um den maximalen Flächeninhalt.

Für die Längseiten $b$ des Rechtecks gilt für $x=4:$

$8-4=4$

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Für eine Länge der Seiten $a$ von jeweils $4 \,\text{m}$ und einer Länge der Seiten $b$ von $4 \,\text{m}$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks somit maximal.

Eine Seite $b$ entspricht somit genau der Wand des Gartenhauses.

Da dies positive, realistische Längen sind, ist die Lösung sinnvoll.

Bei dem inneren Viereck handelt es sich um ein Parallelogramm.

1. Schritt: Variable einführen

$x \mathrel{\widehat{=}}$ abgetragene Strecke an den Seiten des Rechtecks $ABCD$

2. Schritt: Quadratische Gleichung aufstellen

Der Flächeninhalt des Vierecks $EFGH$ ist genau dann am kleinsten, wenn die gesamte Fläche der Dreiecke, die zwischen $EFGH$ und $ABCD$ liegen, maximal ist.

Für den Flächeninhalt der abgetragenen Dreiecke mit der Grundseite von $8-x \, \text{cm}$ bzw $14-x \, \text{cm}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} A_{\text {Dreiecke }}&=& 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x \cdot (8-x)\right)+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x \cdot (14-x)\right)& \\[5pt] &=& x \cdot (8-x)+ x \cdot (14-x)& \\[5pt] &=& 8 x-x^2+14 x -x^2& \\[5pt] &=& -2x^2 +22x & \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Scheitelpunkt bestimmen

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rlll} A(x) &=& -2\cdot (x^2 - 11x) & \\[5pt] &=& -2\cdot \left(x^2-11x+\left(\dfrac{11}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{11}{2}\right)^2\right) & \\[5pt] &=& -2\cdot \left((x - 5,5)^2 - 30,25\right) & \\[5pt] &=& -2\cdot (x - 5,5)^2 + 60,5 & \\[5pt] \end{array}$

Aus der Scheitelform kann der Scheitelpunkt $S(5,5 \mid 60,5)$ direkt abgelesen werden.

Alternativ kann der Scheitelpunkt auch mit dem CAS bestimmt werden.

4. Schritt: Ergebnis angeben

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts ist der kleinste bzw. größte Funktionswert des Rechtecks. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, handelt es sich an der Stelle $x=5,5$ um den Hochpunkt der Parabel und somit um den maximalen Flächeninhalt der Dreiecke.

5. Schritt: Lösung im Sachzusammenhang prüfen

Für eine Länge der Strecke $x$ von $5,5 \,\text{cm}$ ist der Flächeninhalt des Vierecks $EFGH$ somit minimal.

Da dies positive, realistische Längen sind, ist die Lösung sinnvoll.

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