Einfache quadratische Gleichungen
Definition
Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine FormVerfahren zum Lösen einfacher quadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen der Form 
Durch Umformen und anschließends Wurzelziehen ergeben sich die Lösungen 
und 
für alle positiven Werte 
Beispiel:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x^2-16&=& 0 &\mid\; +16 \\[5pt]
x^2&=& 16 &\mid\; \sqrt{\,}\\[5pt]
x_1&=& +4 & \\[5pt]
x_2&=& -4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/993d3f08f72e9c0fcde42ed5e82ee804c644fb3a3f95a8a36fd3fdcf94fd2699?color=5a5a5a)
Quadratische Gleichungen der Form 
Ausklammern der Variablen liefert die Form 
Dieses Produkt ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist, also wenn gilt 
oder 
Die Gleichung besitzt also die Lösungen 
und 
Beispiel:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x^2-4x&=& 0 & \\[5pt]
x\cdot (x-4)&=& 0 & \\[5pt]
x_1&=& 0 & \\[5pt]
x_2&=& 4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ab5c4ae455eb9fd2a7008fcc036b48056b2fa2278c415790e24aab671f0edc70?color=5a5a5a)
1
Löse die quadratische Gleichung.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
Die parabelförmige Flugbahn eines Fußballs kann mit der Funktionsgleichung 
beschrieben werden, wobei 
dies Höhe in Metern und 
die Zeit in Sekunden beschreibt.
a)
Welche Höhe hat der Fußball nach drei Sekunden?
b)
Wann erreicht der Fußball seine maximale Höhe?
c)
Wann landet der Fußball auf dem Boden?
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1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
a)
Nach drei Sekunden gilt 
Der Funktionswert an dieser Stelle lässt sich durch Einsetzen von 
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
h(3)&=& -0,2 \cdot 3^2+1,6 \cdot 3 & \\[5pt]
&=& 3 \, [\text{m}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/16e2efa282a137764acda9ff9d2d3565b9a5a2969d207839dfa81bd6e21bc950?color=5a5a5a)
Nach drei Sekunden hat der Ball somit eine Höhe von 
Metern.
b)
Da die Parabel nach unten geöffnet ist, entspricht der Scheitelpunkt der Parabel dem Maximum.
Mit der quadratischen Ergänzung ergibt sich folgende Scheitelpunktform:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
h(x)&=& -0,2 \cdot x^2+1,6 \cdot x & \\[5pt]
&=& -0,2 \cdot \left(x^2-8 \cdot x\right) & \\[5pt]
&=& -0,2 \cdot \left(x^2-8 \cdot x +\left(\dfrac{8}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 \right) &\\[5pt]
&=& -0,2 \cdot \left(x^2-8 \cdot x +16 - 16 \right) & \\[5pt]
&=& -0,2 \cdot \left( (x-4)^2 - 16 \right) & \\[5pt]
&=& -0,2\cdot (x-4)^2 + 3,2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a4882edd70ada917453a13030c705868449ca398e518330978ed8b9d2e6dde85?color=5a5a5a)
Aus der Scheitelpunktform können die Koordinaten des Scheitelpunkts 
direkt abgelesen werden.
Der Fußball erreicht seine maximale Höhe von 3,2 Metern somit nach 4 Sekunden.
c)
Zu dem Zeitpunkt, an dem der Fußball auf dem Boden landet, beträgt seine Höhe Null Meter. Dies entspricht also genau den Nullstellen der quadratischen Funktion.
Rechnerisch können diese durch folgende Gleichung berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-0,2x^2+1,6x &=& 0&\mid\; :(-0,2) \\[5pt]
x^2-8x &=& 0 & \\[5pt]
x\cdot (x-8) &=& 0 & \\[5pt]
x_1&=& 0 & \\[5pt]
x_2&=& 8
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3564193dacce8812da2d05b314981528e93dad5ba7ab08cf6f63d564e52f5105?color=5a5a5a)
Die Nullstellen sind somit nach 0 Sekunden und nach 8 Sekunden. Der Ball landet also nach 8 Sekunden wieder auf dem Boden.