Aufgabe 1 – Schwingungen

Mit dem Beschleunigungssensor eines Smartphones wird ein $a$ - $t$ -Diagramm der Bewegung einer Schaukel aufgenommen (siehe Abb. 1).

Abbildung 1

Zur Auswertung werden die aufgenommenen Messwerte durch eine harmonische Schwingung modelliert.

Bestimme die Periodendauer dieser Schwingung möglichst genau.

(4 BE)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem sich die Schaukel zum ersten Mal in der Gleichgewichtslage befindet.

(2 BE)

Zeichne das $s$ - $t$ -Diagramm für den Zeitraum $0 \;\text{s} \leq t \leq 3,7 \;\text{s}.$

(8 BE)

Die anfängliche Auslenkung $s$ aus der Ruhelage der Schaukel wird nun verdoppelt und die obige Messung wiederholt. Die Schaukel schwingt nach wie vor harmonisch.

Vergleiche das sich nun ergebende $a$ - $t$ -Diagramm mit dem Diagramm aus Abbildung 1.

(4 BE)

Ein geeignetes Modell für die Schaukel aus Aufgabe 1 ist ein Fadenpendel (siehe Abb. 2). Darunter versteht man einen als punktförmig angenommenen Körper, der an einem Faden der festen Länge $\ell$ hängt. Die Masse des Fadens und Reibungseffekte werden vernachlässigt.

In Tabelle 1 sind die Beträge des maximalen Auslenkwinkels $\alpha,$ der zugehörigen Auslenkung $s$ und der Rückstellkraft $F$ angegeben.

Abbildung 2

$\color{#ffffff}{\alpha}$ in $\color{#ffffff}{^{\circ}}$	$\color{#ffffff}{s}$ in $\color{#ffffff}{\text{m}}$	$\color{#ffffff}{F}$ in $\color{#ffffff}{\text{N}}$
0	0	0
2	0,07	0,50
5	0,18	1,28
10	0,35	2,60
20	0,70	5,00
30	1,10	7,40
40	1,40	9,50
50	1,75	11,26
70	2,44	13,80

Bestimme mithilfe eines $F$ - $s$ -Diagramms den Winkelbereich, in dem näherungsweise eine harmonische Schwingung vorliegt, und bestimme für diesen Bereich einen funktionalen Zusammenhang zwischen $F$ und $s.$

(9 BE)

Im Folgenden wird nur der Bereich betrachtet, in dem das Fadenpendel näherungsweise harmonisch schwingt.

Gib allgemein die Schwingungs-Differentialgleichung eines Fadenpendels für diesen Bereich an und zeige damit, dass $T=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ gilt.

(6 BE)

Bestimme mithilfe eines geeigneten Messwertepaares die Periodendauer dieses Pendels für die von dir gewählte Auslenkung.

(5 BE)

Während der Untersuchung der Schaukel aus Aufgabe 1 saßen nacheinander mehrere Jugendliche auf der Schaukel und es wurden Messdaten aufgenommen. Hierzu wurde bei gleicher Amplitude der Schaukel jeweils die Zeitspanne $\Delta t$ für 10 Perioden gemessen (siehe Tab. 2).

Messung	Körpermasse in kg	$\color{#ffffff}{\Delta t}$ in $\color{#ffffff}{\text{s}}$
Hannah	51	28,3
Sandra	56	28,1
Alex	60	28,0
Leon	65	27,6
Max	70	27,4
Marius	74	27,3

Während der anschließenden Auswertung dieser Daten diskutieren Sandra und Alex. Sandra sagt: „Die Periodendauer verhält sich umgekehrt proportional zur Körpermasse.“
Alex entgegnet: "Es kann keinen Zusammenhang zwischen Körpermasse und Periodendauer geben, da die Masse nicht in der Formel $T=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ enthalten ist. Die Tendenz in den Messdaten müssen Messfehler sein."

Beurteile die Aussagen von Sandra und Alex.

(8 BE)

Bei einem Pendel wie in Aufgabe 2 beträgt die Länge $\ell=2,0 \;\text{m}.$ Bei $d=0,40 \;\text{m}$ unter dem Aufhängepunkt wird ein Stift angebracht. Er hemmt im Punkt $H$ das Pendel beim Schwingen (siehe Abbildung 3).

Das Pendel wird nun nach rechts um einen Winkel unter $10^{\circ}$ aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen.

Berechne die Periodendauer dieses sogenannten Hemmungspendels.

Abbildung 3

(6 BE)

In einem neuen Versuch hat der Pendelkörper eine maximale Geschwindigkeit von $1,0 \;\text{ms} ^{-1}.$

Berechne den maximalen Winkel $\beta,$ den das Pendel im rechten Umkehrpunkt erreicht.

(8 BE)

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Die Periodendauer wird aus Abbildung 1 abgelesen. 4 Perioden haben eine Dauer von $11,75 \;\text{s} - 1,0 \;\text{s} =10,8 \;\text{s}.$

Also ist $T =\dfrac{10,8 \;\text{s}}{4} = 2,7 \;\text{s}$

Der Zeitpunkt, zu dem sich die Schaukel zum ersten Mal in der Gleichgewichtslage befindet, kann aus der Abbildung 1 abgelesen werden. Der Zeitpunkt entspricht der ersten Schnittstelle mit der $t$ -Achse und ist somit $t= 1,7 \;\text{s}.$

Vorüberlegungen:

Die maximale Beschleunigung kann aus Abbildung 1 abgelesen werden zu $\hat{a}= 1,8 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus:

$\omega = \dfrac{2 \cdot \pi}{T}$ $=\dfrac{2 \cdot \pi}{2,7 \;\text{s}}$ $= 2,3\;\frac{1}{\text{s}}$

Die Amplitude der Schwingung ergibt sich aus dem Beschleunigung-Zeit-Gesetz zu:

$\begin{array}[t]{rll} \hat{a}&=&\hat{s}\cdot \omega^2 \\[5pt] \hat{s}&=& \dfrac{\hat{a}}{\omega ^2} \\[5pt] &=& \dfrac{1,8 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} }{(2,3\;\frac{1}{\text{s}}) ^2} \\[5pt] &=& 0,3 \;\text{m} \end{array}$

Dies entspricht der $s$ -Koordinate des Hochpunktes.

Die Schaukel wird nach $t=1\;\text{s}$ ausgelenkt.

$\boldsymbol{s}$ - $\boldsymbol{t}$ -Diagramm

Es ist $T=\dfrac{2\cdot \pi}{\omega}.$

Die Auslenkung bei einer harmonischen Schwingung hat keinen Einfluss auf die Periodendauer. Somit wird sie sich nicht verändern. Folglich bleibt auch die Winkelgeschwindigkeit konstant.

Beschleunigung-Zeit-Gesetz: $\hat{a}=\hat{s}\cdot \omega^2$

Da auch die Winkelgeschwindigkeit konstant bleibt, ist die maximale Auslenkung proportional zur maximalen Beschleunigung.

$s_{\text{neu}} =2\cdot \hat{s}$

$\begin{array}[t]{rll} a_{\text{neu}}&=& s_{\text{neu}}\cdot \omega^2 \\[5pt] a_{\text{neu}}&=& 2\cdot \hat{s}\cdot \omega^2 \\[5pt] &=&2\cdot \hat{a} \end{array}$

Also wird sich im Diagramm die maximale Beschleunigung verdoppeln.

1. Schritt: $\boldsymbol{F}$ - $\boldsymbol{s}$ -Diagramm zeichnen

2. Schritt: Winkelbereich in dem harmonischen Schwingung vorliegt

Für kleinere Auslenkungen (bis etwa $0,7 \;\text{m}$ , was $\alpha$ bis $20^{\circ}$ entspricht) ist der Zusammenhang zwischen $F$ und $s$ nahezu linear, weswegen hier eine harmonische Schwingung vorliegt.

Bei größeren Auslenkungen (über $20^{\circ}$ ) weicht die Rückstellkraft zunehmend von einer linearen Beziehung ab.

3. Schritt: Funktionalen Zusammenhang bestimmen

Es gilt: $F=k \cdot s.$ Hierbei ist $k$ die Proportionalitätskonstante, oft auch Federkonstante genannt.

Um $k$ zu bestimmen, wird die Steigung der Ausgleichsgeraden bestimmt.

$k=\dfrac{\Delta F}{\Delta s}$

Bei $s=0,7 \;\text{m}$ ist $F=5 \;\text{N}$ und die Ausgleichsgerade verläuft durch den Ursprung. Daraus folgt:

$k=\dfrac{5 \;\text{N}}{0,7 \;\text{m}}$ $\approx 7,14 \;\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Der funktionale Zusammenhang lautet folglich: $F(s)= 7,14 \;\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot s$

Herleitung der Differentialgleichung

2. Newtonsche Axiom:

$\begin{array}[t]{rll} F&=&m\cdot a \\[5pt] &=& m \cdot \ddot{s} \end{array}$

Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken die Gewichtskraft und die Rückstellkraft. Für die Rückstellkraft gilt:

$\begin{array}[t]{rll} F&=& -F_{ G } \cdot \sin (\alpha) \\[5pt] &=& -F_{ G } \cdot \dfrac{s}{ \ell} \\[5pt] &=& -m\cdot g \cdot \dfrac{s}{ \ell} \end{array}$

Die Schwingungs-Differentialgleichung ergibt sich durch Gleichsetzen und Umstellen:

$\begin{array}[t]{rll} m\cdot a&=& -m\cdot g \cdot \dfrac{s}{ \ell}&\quad \scriptsize \mid\;:m \\[5pt] a&=& -g \cdot \dfrac{s}{ \ell} \\[5pt] a&=& - \dfrac{g}{ \ell} \cdot s \\[5pt] \ddot{s}(t)&=& - \dfrac{g}{ \ell} \cdot s(t) \end{array}$

Laut Aufgabenstellung ist nur nach der Angabe der Schwingungs-Differentialgleichung gefragt, somit muss diese nicht zwingend hergeleitet werden.

Mögliche Lösung

Ansatz: $s(t)=\hat{s} \cdot \sin (\omega \cdot t)$

Ableitungen bilden:

$\dot{s}(t)= \hat{s}\cdot \cos(\omega \cdot t) \cdot\omega$

$\ddot{s}(t)= -\hat{s}\cdot \sin(\omega \cdot t) \cdot\omega^2$

Einsetzen des Ansatzes und dessen zweiter Ableitung in die Schwingungs-Differentialgleichung

Rechenweg anzeigen

$\omega=...$

Die Periodendauer ist damit $T=\dfrac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}.$

Wenn das Pendel harmonisch schwingt, gilt $\sin (\alpha)=\frac{s}{\ell}.$

Mit dem zweiten Messwertpaar aus Tabelle 1 ergibt sich die Länge des Pendels zu:

$\ell=\frac{s}{\sin (\alpha)}=\dfrac{0,07 \;\text{m} }{\sin \left(2^{\circ}\right)}=2,0 \;\text{m}$

Die Periodendauer ist folglich

$T=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{\ell}{g}}=2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{2,0 \;\text{m} }{9,81 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=2,8 \;\text{s}$ .

Antiproportionalität prüfen

Messung	$\color{#ffffff}{m \cdot T}$ in $\color{#ffffff}{\text{kg} \cdot \text{s}}$
Hannah	144
Sandra	157
Alex	168
Leon	179
Max	192
Marius	202

Die Werte sind nicht konstant, somit ist Sandras Aussage falsch.

Alex Aussage:

Diese Formel für die Periodendauer ist in dieser Situation nicht anwendbar, da sie auf dem Modell des Fadenpendels bei kleinen Auslenkungen beruht. Damit ist die erste Aussage zur Massenabhängigkeit der Periodendauer nicht richtig. Es kann nicht zwingend gefolgert werden, dass in diesem Experiment kein Zusammenhang zwischen der Masse und der Periodendauer besteht. Die Tendenz in den Messdaten muss sich also nicht durch Messfehler ergeben.

Gegeben: $\ell = 2 \;\text{m},$ $d=0,4 \;\text{m},$ $\beta \lt 10^{\circ}$

Gesucht: $T$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} T_{\text {links }}&=& 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{2,0 \;\text{m} }{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \\[5pt] &=&2,8\;\text{s} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} T_{\text {rechts }}&=& 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{\ell-d}{g}} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{1,6 \;\text{m} }{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \\[5pt] &=& 2,5 \;\text{s} \end{array}$

Damit ist:

$T=\dfrac{T_{\text {links }}+T_{\text {rechts }}}{2}=2,7 \;\text{s}$

Gegeben: $v= 1\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Gesucht: $\beta_{\text{max}}$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}}&=& E_{\text{pot}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &=& m \cdot g \cdot h &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{m \cdot g} \\[5pt] \dfrac{m\cdot v^2}{2 \cdot m\cdot g}&=& h \\[5pt] h &=& \dfrac{m\cdot v^2}{2 \cdot m\cdot g} \\[5pt] h &=& \dfrac{v^2}{2 \cdot g} \\[5pt] &=& \dfrac{1\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{2 \cdot 9,81 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\[5pt] &=& 5,1 \;\text{cm} \end{array}$

Mit $\cos (\beta_{\text{max}})=\dfrac{1,55 \;\text{m}}{1,6 \;\text{m}}$ ergibt sich $\beta_{\text{max}}=14,4^{\circ}.$

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