Aufgabe 3 – Elektromagnetismus

Die kreisförmigen Platten eines luftgefüllten Kondensators haben einen Durchmesser von $18\,\text{cm}$ und einen Abstand von $4,0\;\text{mm}.$ Der Kondensator ist mit einem Netzgerät verbunden, das eine Gleichspannung von $3,0\, \text{kV}$ erzeugt.

Berechne die elektrische Feldstärke im Kondensator.

Berechne die Kapazität des Kondensators.

Nun wird der geladene Kondensator vom Netzgerät getrennt und anschließend der Plattenabstand vergrößert.

Erkläre, wie sich dies auf die Kapazität und die elektrische Feldstärke auswirkt.

In einer Versuchsreihe wird die Ladung $Q$ des Kondensators in Abhängigkeit vom Plattenabstand $d$ untersucht. Vor jeder Ladungsmessung wird ein Plattenabstand $d$ eingestellt und der Raum zwischen den Platten vollständig mit dem gleichen dielektrischen Material ausgefüllt. Danach wird an den Kondensator eine Spannung von $3,0\,\text{kV}$ angelegt. Nach dem Aufladevorgang wird der Kondensator von der Spannungsquelle getrennt und die Ladung $Q$ gemessen. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse dieser Versuchsreihe.

$\color{#fff}{d}$ in $\color{#fff}{\text{mm}}$	$\color{#fff}{Q}$ in $\color{#fff}{\mathrm{\mu C}}$
4,0	4,4
3,0	5,7
2,0	8,7
1,0	17,4

Ermittle anhand der Messwerte einen Zusammenhang zwischen den Größen $d$ und $Q.$

Bestimme unter Berücksichtigung aller Messwerte die relative Permittivität $\epsilon_r$ des dielektrischen Materials.

(8 VP)

Eine langgestreckte Spule mit Eisenkern hat 1200 Windungen, eine Länge von $25 \;\text{cm}$ und eine Querschnittsfläche von $8,0 \;\text{cm}^2.$ Die Spule hat eine Induktivität von $3,5\;\text{H}$ und einen ohmschen Widerstand von $R_{\text{Sp}}= 5,0 \;\Omega.$

Berechne die Permeabilitätszahl $\mu_r$ des Eisenkerns.

Die Spule wird über einen zusätzlichen ohmschen Widerstand $R_\text Z$ mit einem Netzgerät verbunden (siehe Abbildung 1). Zum Zeitpunkt $0\; \text{s}$ wird der Stromkreis durch einen Schalter geschlossen.

Abbildung 1

Skizziere den zeitlichen Verlauf der Stromstärke nach dem Schließen des Schalters und erläutere den Kurvenverlauf.

Die Spannung am Netzgerät beträgt $U_0=12 \,\text{V}.$ Bei der verwendeten Spule beträgt die maximal zulässige Stromstärke $800\;\text{mA}.$

Zeige, dass dazu der Widerstand $R_\text Z$ mindestens einen Wert von $10\,\Omega$ haben muss.

In der Schaltung von Abbildung 1 hat $R_\text Z$ nun einen Wert von $25\,\Omega,$ weiterhin beträgt $U_0=12\,\text{V}.$ Für den zeitlichen Verlauf der Stromstärke beim Einschaltvorgang einer Spule gilt:

$I(t)=\dfrac{U_0}{R}\cdot\left(1-\mathrm e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\right)$ ,

wobei $R$ der ohmsche Gesamtwiderstand der Schaltung ist.

Berechne die Stromstärke in der Spule zum Zeitpunkt $0,20\;\text{s}$ nach dem Einschalten.

Erläutere, wie sich die in Aufgabenteil d) berechnete Stromstärke zum Zeitpunkt $0,20\; \text{s}$ ändert, wenn man

(i)

einen Eisenkern mit einer kleineren Permeabilitätszahl verwendet.

(ii)

nur $R_\text Z$ vergrößert.

(10 VP)

In der Versuchsanordnung nach Abbildung 2 befindet sich auf der linken Seite ein rechteckiger Leiterrahmen, dessen Anschlüsse mit einem hochohmigen Voltmeter verbunden sind. Rechts daneben befinden sich zwei räumlich begrenzte homogene Magnetfelder M1 und M2.

Abbildung 2

In einem ersten Versuch ist die magnetische Flussdichte in beiden Magnetfeldern aus der Zeichenebene senkrecht heraus gerichtet und hat einen Betrag von $0,35\; \text{T}.$ Der Leiterrahmen wird mit der konstanten Geschwindigkeit $1,0 \;\text{cms}^{-1}$ senkrecht zu den Feldlinien nach rechts bewegt. Er befindet sich zum Zeitpunkt $0 \,\text{s}$ an der abgebildeten Position (siehe Abbildung 2).

Erkläre, warum während des Eintauchens des Leiterrahmens in das Magnetfeld M1 eine Spannung angezeigt wird und berechne deren Wert.

Zeichne das Zeit-Spannungs-Diagramm für die Bewegung des Leiterrahmens von $0\,\text{s}$ bis zu dem Zeitpunkt, an dem dieser vollständig in das rechte Magnetfeld M2 eingetaucht ist.

In einem neuen Versuch befindet sich der Leiterrahmen vollständig im Bereich des Feldes M2 und ruht. Das senkrecht zur Zeichenebene gerichtete Magnetfeld M2 besitzt nun eine zeitlich veränderliche Flussdichte $B_2(t)=B_0\cdot\sin\left(5,0\,\text{s}^{-1}\cdot t\right).$

Ermittle den Wert für $B_0,$ bei dem die induzierte Spannung den Maximalwert $2,0 \;\text{mV}$ hat.

(8 VP)

Ein Stabmagnet ist an einer Spiralfeder aufgehängt und kann in vertikaler Richtung reibungsfrei schwingen. Unterhalb des Magneten befindet sich ein fest angebrachter Aluminiumring (siehe Abbildung 3). Bei Annäherung des Stabmagneten an den Ring wird im Ring ein elektrischer Strom induziert, wobei sich die Elektronen in der in Abbildung 3 eingezeichneten Richtung bewegen.

Abbildung 3

Ermittle die hierzu nötige Polung des Stabmagneten.

In einem weiteren Versuch wird über mehrere Periodendauern die Schwingung des Stabmagneten mit und ohne Aluminiumring beobachtet.

Erläutere, worin sich die beiden Schwingungen unterscheiden.

(4 VP)

Gegeben: $d= 4\;\text{mm}= 0,004 \;\text{m},$ $U= 3\;\text{kV}= 3000 \;\text{V}$

Gesucht: $E$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} E&=&\dfrac{U}{d} \\[5pt] &=&\dfrac{3000 \mathrm{~V}}{4,0 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}} \\[5pt] &=& 7,5 \cdot 10^{5} ~\frac{\text{V}}{\text{m}} \end{array}$

Gegeben: $d= 4\;\text{mm}= 0,004 \;\text{m},$ $r= \dfrac{18\;\text{cm}}{2}=9\;\text{cm}$ $=0,09\;\text{m}$

Gesucht: $E$

Lösung:

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$C = 56 \mathrm{~pF}$

Es ist $C=\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d}.$

$C \sim \dfrac{1}{d},$ somit verkleinert sich die Kapazität des Kondensators, wenn sich der Plattenabstand vergrößert.

Es gilt $E=\dfrac{U}{d}$ und daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& \dfrac{U}{d}&\quad \scriptsize \mid\;d=\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{C} \\[5pt] &=&\dfrac{Q}{C}\cdot \dfrac{1}{\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}}} \cdot \dfrac{C}{A} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}}} \cdot \dfrac{Q}{A} \end{array}$

Die Feldstärke des Kondensators bleibt gleich. Wenn die Spannungsquelle abgetrennt ist, bleibt die Ladungsmenge auf der Platte beim Auseinanderziehen konstant und die Elektrische Feldstärke $E$ verändert sich nach der Formel nur, wenn $Q$ oder $A$ sich verändern.

In der Tabelle kann ablesen werden, dass die aufgenommene Ladung $Q$ bei kleiner werdendem Abstand $d$ zunimmt. Naheliegend ist die Vermutung, dass $Q$ und $d$ umgekehrt proportionale Größen sein könnten. In diesem Fall muss das Produkt $d \cdot Q$ konstant sein.

$d$ in mm	$Q$ in $\mathrm{\mu C}$	$d \cdot Q$ in $\mathrm{\mu C} \cdot \mathrm{mm}$
4,0	4,4	17,6
3,0	5,7	17,1
2,0	8,7	17,4
1,0	17,4	17,4

Das Produkt ist annähernd konstant und deshalb gilt: $d \sim \dfrac{1}{Q}.$ Es gilt: $d \cdot Q=17,4 \cdot 10^{-9} \mathrm{~Cm}$ .

Die Formel für die Kapazität eines Kondensators lautet: $C = \varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d} = \dfrac{Q}{U}$

Somit ergibt sich:

$\varepsilon_{0} \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d}= \dfrac{Q}{U}$

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$\varepsilon_{\mathrm{r}} = 26$

Gegeben: $n=1200,$ $\ell= 25 \;\text{cm},$ $A= 8 \;\text{cm}^2,$ $L= 3,5\;\text{H},$ $R_{\text{Sp}}= 5 \;\Omega$

Gesucht: $\mu_r$

Lösung:

Für die Induktivität einer schlanken Spule gilt:

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$\mu_{\mathrm{r}} = 600$

Erklärung

Nach dem Schließen des Schalters erzeugt der einsetzende Strom in der Spule ein Magnetfeld mit zunehmender magnetischer Flussdichte. Dadurch wird eine Spannung induziert, die ihrer Ursache, nämlich dem Anstieg der Stromstärke, entgegenwirkt (Lenz'sche Regel). Die Stromstärke nähert sich ihrem Maximalwert an.

Für die zulässige Stromstärke ( $I_{\text{max}} \leq 0,8 \mathrm{~A}$ ) in der Spule gilt:

$\begin{array}[t]{rll} I_{\text{max}} & \geq & \dfrac{U}{R_\text{ges}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{R_\text{ges}}{I_{\text{max}}} \\[5pt] R_\text{ges} & \geq & \dfrac{U}{I_{\text{max}}} \\[5pt] R_\text{ges} & \geq & \dfrac{12 \mathrm{~V}}{0,8 \mathrm{~A}} \\[5pt] R_\text{ges} & \geq & 15 ~\Omega \end{array}$

Der Widerstand der Spule $R_\text{sp}$ beträgt nach Aufgabenstellung $5 ~\Omega .$ Da es sich um eine Reihenschaltung handelt gilt für die Widerstände:

$\begin{array}[t]{rll} R_\text{ges} &=& R_\text{sp} + R_\text{z} &\quad \scriptsize \mid\; - R_\text{Sp} \\[5pt] R_\text{ges} - R_\text{sp} &=& R_\text{z} \\[5pt] 15 ~\Omega - 5 ~\Omega &=& R_\text{z} \\[5pt] 10 ~\Omega &=& R_\text{z} \end{array}$

Der erforderliche Zusatzwiderstand $R_{\mathbf{Z}}$ muss mindestens $10 ~ \Omega$ betragen.

Mit der angegebenen Gleichung für die Stromstärke in der Spule ergibt sich durch Einsetzen:
$I(0,20 \text{ s})$ $=\dfrac{12 \text{ V}}{25 ~ \Omega+5 ~ \Omega} \cdot\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{25 ~ \Omega+5 ~ \Omega}{3,5 \text{ H}} \cdot 0,20 \text{ s}}\right)$ $=0,33 \text{ A}$

(i)

Durch die Verkleinerung der Permeabilität verringert sich die Induktivität der Spule, da $L \sim \mu_r.$ Der ohmische Widerstand wird durch die Veränderung der Permeabilität nicht beeinflusst.

Wird nun die Gleichung der Stromstärke $I(t)$ $=\dfrac{U_0}{R}\cdot\left(1-\mathrm e^{-\frac{R}{L}\cdot t}\right)$ betrachtet ist erkennbar, dass $I(20\mathrm{~s})$ für eine geringere Induktivität größer wird. Durch die Verringerung von $L$ wird der Faktor $\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}\cdot t}$ kleiner und somit steigt die Stromstärke an.

(ii)

Da $R = R_z + R_{Sp}$ gilt, nimmt bei einer Erhöhung von $R_\mathrm{Z}$ auch $R$ zu und somit nimmt die maximale Stromstärke ab, da $I \sim \dfrac{1}{R}.$

Außerdem ist der Anstieg der Stromstärke geringer, da $\dot{I}(t)$ $=\dfrac{U_0}{L} \cdot \mathrm{e}^{- \frac{R}{L} \cdot t}$ geringer wird, wenn sich $R$ erhöht.

Somit verringert sich $I(20 \mathrm{~s})$ bei einer Erhöhung des Widerstands $R_\mathrm{Z}.$

Während des Eintauchens nimmt der magnetische Fluss durch die Fläche des Leiterrahmens zu, da der vom Magnetfeld durchsetzte Flächenanteil beim Eintauchen größer wird. Aufgrund der Änderung des magnetischen Flusses wird eine Spannung im Leiter induziert.

Induktionsspannung beim Feldeintritt mit der allgemeinen Formel und den gegebenen Werten:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text {ind }} &=& B \cdot d \cdot v \\[5pt] U_{\text {ind }} &=& 0,35 \mathrm{~T} \cdot 0,02 \mathrm{~m} \cdot 0,01 \mathrm{~ms}^{-1} \\[5pt] U_{\text {ind }} &=& 70 ~ \mathrm{\mu V} \end{array}$

Mit $v=1 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}$ dauert es eine Sekunde, bis der Leiterrahmen den Feldbereich M1 erreicht. In den Intervallen [3s, 4s] und [5s, 6s] wird insgesamt keine Spannung induziert, da keine Flussänderung durch die Leiterschleife vorliegt. Nach 8s ist der Rahmen erstmals vollständig in den Feldbereich M2 eingetaucht. Es ergibt sich das folgende Schaubild:

Für die Induktionsspannung gilt hier: $U_{\text {ind }}(t)$ $=-n \cdot A \cdot \dot{B}(t)$ .

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich die Formel $B(t)=B_{0} \cdot \sin (\omega \cdot t)$ mit $\omega=5 \mathrm{~s}^{-1}$ . Wird $B(t)$ abgeleitet, ergibt sich: $\dot{B}(t)$ $=B_{0} \cdot \omega \cdot \cos (\omega \cdot t).$

Einsetzen ergibt: $U_{\text {ind }}(t)$ $=-n \cdot A \cdot B_{0} \cdot \omega \cdot \cos (\omega \cdot t).$ Die Spannung wird maximal für $\cos (\omega \cdot t) = -1.$ Somit ergibt sich folgende Gleichung:

$U_{\max } = n \cdot A \cdot B_{0} \cdot \omega$

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$B_{0} = 0,67 \mathrm{~T}$

Wenn die Elektronen sich wie im Bild eingezeichnet bewegen, erzeugt der im Ring induzierte Strom ein Magnetfeld, das im Inneren des Aluminiumrings nach oben gerichtet ist (Linke-Faust-Regel). Nach dem Induktionsgesetz ist das magnetische Feld des Rings dem Feld des sich annähernden Stabmagneten entgegengerichtet. Am unteren Ende des Stabmagneten befindet sich somit sein Nordpol.

Ohne Aluminiumring führt der reibungsfrei schwingende Stabmagnet eine ungedämpfte Schwingung aus. Die Schwingung bei Anwesenheit des Metallrings erfolgt gedämpft: Die Energie des schwingenden Systems aus Feder und Stabmagnet geht nach und nach in das elektromagnetische Feld des Metallrings über.