Aufgabe 1 – Mechanische Schwingungen
1.
Abbildung 1 a zeigt die Schaukelbewegung eines Kindes. Diese wurde gefilmt und mit einem Videoanalyseprogramm wurde ein Zeit-Auslenkung-Diagramm erstellt (siehe Abbildung 1 b). Dieses zeigt, dass die Bewegung näherungsweise als harmonische Schwingung betrachtet werden kann.
Abbildung 1 a
Abbildung 1 b
a)
Gib die Periodendauer an.
b)
Bestimme den Betrag der maximalen Geschwindigkeit.
c)
Skizziere das zugehörige Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm für die ersten 
Das Kind wird während der Bewegung angestoßen. Dadurch liegt der Umkehrpunkt gegenüber der Ruhelage im Vergleich zu vorher um 30 % höher.
d)
Berechne die Änderung der maximalen Geschwindigkeit.
(7 VP)
2.
In einem mit Wasser gefüllten Becken befindet sich an den Punkten 
und 
jeweils ein Stift, der von oben senkrecht in die Wasseroberfläche eintaucht. Die beiden Stifte beginnen zum Zeitpunkt 
harmonisch und gleichphasig mit der Frequenz 
nach unten zu schwingen, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der dabei erzeugten Wellen auf der Wasseroberfläche beträgt 
, die Amplitude der Wellen 
Von Reflexion und Dämpfung wird abgesehen.
Ab einem bestimmten Zeitpunkt überlagern sich die von den Punkten und ausgehenden Wellen im Punkt 
(siehe Abbildung 2).
und jeweils ein Stift, der von oben senkrecht in die Wasseroberfläche eintaucht. Die beiden Stifte beginnen zum Zeitpunkt harmonisch und gleichphasig mit der Frequenz nach unten zu schwingen, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der dabei erzeugten Wellen auf der Wasseroberfläche beträgt , die Amplitude der Wellen Von Reflexion und Dämpfung wird abgesehen.
Ab einem bestimmten Zeitpunkt überlagern sich die von den Punkten
und ausgehenden Wellen im Punkt (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2
a)
Bestimme den Gangunterschied der beiden Wellen im Punkt 
b)
Zeichne für das Zeitintervall von 
ein Zeit-Auslenkung-Diagramm für den Punkt und dokumentiere dein Vorgehen.
Abbildung 3 zeigt, wie die Ausbreitungsgeschwindigkeit ein Zeit-Auslenkung-Diagramm für den Punkt und dokumentiere dein Vorgehen.
der Wellen von der Wassertiefe 
im Becken abhängt.
Abbildung 3
c)
Bestimme eine Wassertiefe, für welche im Punkt konstruktive Interferenz beobachtbar ist.
konstruktive Interferenz beobachtbar ist.
(8 VP)
3.
Ein 
langer beidseitig eingespannter Eisendraht wird an einer geeigneten Stelle durch einen Elektromagneten zu harmonischen Schwingungen angeregt, die Erregerfrequenz wird dabei von 
aus langsam erhöht. Bei 
beobachtet man erstmals, dass die Mitte des Drahts dauerhaft in Ruhe bleibt.
dann in einem weiteren Experiment mit 
angeregt.
Sofja: „Der muss nicht ruhen. An der Stelle ist dann ein Knoten.“
Anna: „Das ist möglich, wenn es sich um eine Eigenschwingung handelt.“
Ilona: „Das kann keine Eigenschwingung sein. Das würde der Energieerhaltung widersprechen.“
langer beidseitig eingespannter Eisendraht wird an einer geeigneten Stelle durch einen Elektromagneten zu harmonischen Schwingungen angeregt, die Erregerfrequenz wird dabei von aus langsam erhöht. Bei beobachtet man erstmals, dass die Mitte des Drahts dauerhaft in Ruhe bleibt.
a)
Bestimme die Ausbreitungsgeschwindigkeit der vom Erreger erzeugten Welle im Eisendraht.
Der Draht wird nun zunächst mit der Frequenz dann in einem weiteren Experiment mit angeregt.
b)
Überprüfe, ob es nach dem Einschwingvorgang zwischen den beiden eingespannten Enden Punkte auf dem Draht gibt, für die die voranstehenden Zeit-Auslenkung-Diagramme prinzipiell möglich sind (siehe Abbildung 4a bis 4d).
Eine Schülergruppe diskutiert, ob das Diagramm in Abbildung 5 ein Momentanbild des Drahts sein könnte.
Julia: „Das kann nur sein, wenn der Draht ruht.“
Sofja: „Der muss nicht ruhen. An der Stelle ist dann ein Knoten.“
Anna: „Das ist möglich, wenn es sich um eine Eigenschwingung handelt.“
Ilona: „Das kann keine Eigenschwingung sein. Das würde der Energieerhaltung widersprechen.“
Abbildung 5
c)
Beurteile jede der vier Aussagen.
(9 VP)
4.
In einer geeigneten Anordnung werden einzelne Elektronen mithilfe einer Gleichspannung von 
aus der Ruhe heraus beschleunigt. Sie treffen senkrecht auf einen Doppelspalt mit 
Spaltmittenabstand. Im Abstand von 
hinter der Spaltebene befindet sich ein Detektor, mit dessen Hilfe die Positionen der auftreffenden Elektronen dauerhaft registriert werden können.
aus der Ruhe heraus beschleunigt. Sie treffen senkrecht auf einen Doppelspalt mit Spaltmittenabstand. Im Abstand von hinter der Spaltebene befindet sich ein Detektor, mit dessen Hilfe die Positionen der auftreffenden Elektronen dauerhaft registriert werden können.
a)
Erläutere, wie sich die Verteilung der Nachweispunkte im Laufe der Zeit entwickelt hat.
b)
Berechne den Abstand benachbarter Maxima.
Es wird nun vorgeschlagen, das Experiment zu wiederholen und dabei anstelle der Gleichspannung eine Beschleunigungsspannung zu verwenden, deren zeitlicher Verlauf in Abbildung 6 dargestellt ist.
Abbildung 6
c)
Gib eine Hypothese dazu an, wie sich die beiden Verteilungen der Nachweispunkte der Elektronen in den Experimenten unterscheiden könnten und begründe deine Hypothese.
(6 VP)
1
a)
Die Periodendauer wird aus dem Diagramm abgelesen: Sie ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Maxima. Dieser beträgt 
. Somit ist die Periodendauer 
. Somit ist die Periodendauer
b)
Für die maximale Geschwindigkeit bei einem Pendel gilt: 
Die maximale Auslenkung 
wird mit 
aus dem Diagramm abgelesen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\hat{v} &=& \hat{s} \cdot \omega &\quad \scriptsize \mid\; \omega = \frac{2 \pi}{T} \\[5pt]
\hat{v} &=& \dfrac{\hat{s} \cdot 2 \pi}{T} \\[5pt]
\hat{v} &=& \dfrac{0,5 \text{ cm} \cdot 2 \pi}{3,0 \text{ s}} \\[5pt]
\hat{v} &=& 1,05 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/166b6d45d97d5e9cfb24ed87662eca3f1ad3771e1dd21267fa69ac1b2e26917f_light.svg)
Die maximale Auslenkung wird mit aus dem Diagramm abgelesen.
c)
Das gegebene Zeit-Auslenkung-Diagramm wird durch folgende Funktion beschrieben: 
Da die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung der Auslenkung ist, ergibt sich für die Geschwindigkeitsfunktion:
![\(\begin{array}[t]{rll}
v(t) &=& \dot{s}(t) \\[5pt]
v(t) &=& \hat{s} \cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t) &\quad \scriptsize \mid\; \hat{v} = \hat{s} \cdot \omega \\[5pt]
v(t) &=& \hat{v} \cdot \sin (\omega \cdot t) \\[5pt]
v(t) &=& 1,05 \text{ } \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \sin (\omega \cdot t)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0d1d55042391905c3d91949b3616d3a92a9155b96ad13ab003d732167aa2b77b_light.svg)
Da die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung der Auslenkung ist, ergibt sich für die Geschwindigkeitsfunktion:
d)
Achtung: Es wird angegeben, wie sich der Umkehrpunkt ändert. Aber es wird nicht angegeben, wie sich die maximale Auslenkung verändert. Es darf also nicht ohne weiteres mit der Auslenkungsformel gerechnet werden. Die Aufgabe wird am besten wie folgt über den Energieerhaltungssatz gelöst:
Wenn der Umkehrpunkt um 
nach oben versetzt wird, dann nimmt auch die Lageenergie um zu, da 
gilt. Folglich nimmt auch die kinetische Energie um 
zu.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\hat{W}_{\text{kin}_{\text{neu}}}&=& 1,3 \cdot \hat{W}_{\text{kin}_{\text{neu}}} \\[5pt]
\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot {v}_{\text {neu }}^{2} &=& 1,3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot {v}_{\text {alt }}^{2} &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{m}{2} \\[5pt]
{v}_{\text {neu }}^{2} &=& 1,3 \cdot {v}_{\text {alt }}^{2} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{(...)} \\[5pt]
{v}_{\text {neu }} &=& \sqrt{1,3} \cdot {v}_{\text {alt }} \\[5pt]
{v}_{\text {neu }} &=& 1,14 \cdot {v}_{\text {alt }} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/92b124f5a5751ef2d7bffa1b59c36d322cc1540ded91eb81560e42169b69adec_light.svg)
Die maximale Geschwindigkeit hat sich folglich um 
erhöht. Die absolute Änderung beträgt somit:
nach oben versetzt wird, dann nimmt auch die Lageenergie um zu, da gilt. Folglich nimmt auch die kinetische Energie um zu.
Die maximale Geschwindigkeit hat sich folglich um erhöht. Die absolute Änderung beträgt somit:
2
a)
Gegeben: 
Gesucht: 
Lösung:
1. Schritt: Berechnung der Entferung beider Stifte zu Punkt
Der Abstand zwischen dem Punkt und ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
2. Schritt: Berechnung der Wellenlänge
![\(\begin{array}[t]{rll}
\lambda \cdot f &=& c &\quad \scriptsize \mid\; : f \\[5pt]
\lambda &=& \dfrac{c}{f} \\[5pt]
\lambda &=& \dfrac{32 \text{ } \frac{\text{cm}}{\text{s}}}{1,0 \text{ } \frac{1}{\text{s}} } \\[5pt]
\lambda &=& 32 \text{ cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e828430509922b42cb5105a1a1c804096e33f599d26082454dca2659f0040ff8_light.svg)
3. Schritt: Berechnung des Gangunterschieds
![\(\begin{array}[t]{rll}
\delta &=& \dfrac{\Delta s}{\lambda} \\[5pt]
\delta &=& \dfrac{48 \;\text{cm}}{32 \text{ cm}} \\[5pt]
\delta &=& 1,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/553b97f9ae92455e258681525cf53f9396d26d302393006b473cd7aa44face10_light.svg)
Der Gangunterschied im Punkt beträgt 
Wellenlängen.
Gesucht:
Lösung:
1. Schritt: Berechnung der Entferung beider Stifte zu Punkt
Der Abstand zwischen dem Punkt und ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
2. Schritt: Berechnung der Wellenlänge
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AQ}^2&=&(48\;\text{ cm}-0\;\text{ cm})^2 + (0\;\text{ cm}-36\;\text{ cm})^2 \\[5pt]
\overline{AQ}^2&=& 48^2\;\text{ cm}^2 + 36^2\;\text{ cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{AQ}&=& \sqrt{48^2 +36^2} \;\text{ cm} \\[5pt]
&=& 60 \;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/eb73952a64167634b4719e77f6184086f1143f06cbe3789da662cb0cde34013c_light.svg)
3. Schritt: Berechnung des Gangunterschieds
Der Gangunterschied im Punkt beträgt Wellenlängen.
b)
1. Schritt: Vorüberlegung
Zu Beginn bleibt der Punkt in Ruhe. Dann trifft in die erste Wellenfront von dem Stift ein, da dieser näher an liegt als der Stift 
Da die beiden Stifte nach Aufgabenstellung nach unten anfangen zu schwingen, trifft zuerst ein Wellental ein. Mit einem gewissen zeitlichen Abstand trifft die Wellenfront von dem Stift ein. Da der Gangunterschied der beiden Stifte in Punkt 
beträgt, tritt destruktive Interferenz auf und die beiden Wellen löschen sich in aus. Somit hört auf zu schwingen.
2. Schritt: Berechnung des Zeitpunkts an dem die Wellen von Stift B ankommen
3. Schritt: Berechnung des Zeitpunkts an dem die Wellen von Stift A ankommen
4. Schritt: Diagramm zeichen
Hinweis: Da der Gangunterschied der beiden Stifte Wellenlängen beträgt, schwingt der Punkt vom Zeitpunkt 
bis zum Zeitpunkt 
eineinhalb mal. Die Amplitude beträgt laut Aufgabenstellung 
in Ruhe. Dann trifft in die erste Wellenfront von dem Stift ein, da dieser näher an liegt als der Stift Da die beiden Stifte nach Aufgabenstellung nach unten anfangen zu schwingen, trifft zuerst ein Wellental ein. Mit einem gewissen zeitlichen Abstand trifft die Wellenfront von dem Stift ein. Da der Gangunterschied der beiden Stifte in Punkt beträgt, tritt destruktive Interferenz auf und die beiden Wellen löschen sich in aus. Somit hört auf zu schwingen.
2. Schritt: Berechnung des Zeitpunkts an dem die Wellen von Stift B ankommen
3. Schritt: Berechnung des Zeitpunkts an dem die Wellen von Stift A ankommen
4. Schritt: Diagramm zeichen
Hinweis: Da der Gangunterschied der beiden Stifte Wellenlängen beträgt, schwingt der Punkt vom Zeitpunkt bis zum Zeitpunkt eineinhalb mal. Die Amplitude beträgt laut Aufgabenstellung
c)
Um konstruktive Interferenz zu erreichen, muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge 
sein. Da die Frequenz 
nach Aufgabenstellung 
beträgt, gilt: 
Somit kann eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von 
gewählt werden, um einen Gangunterschied von 
zu erzeugen. Um eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von zu erreichen, muss die Wassertiefe aufgrund des im Diagramm dargestellten Zusammenhangs 
betragen.
sein. Da die Frequenz nach Aufgabenstellung beträgt, gilt:
Somit kann eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von gewählt werden, um einen Gangunterschied von zu erzeugen. Um eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von zu erreichen, muss die Wassertiefe aufgrund des im Diagramm dargestellten Zusammenhangs betragen.
3
a)
Da der Draht beidseitig eingespannt ist, wird es bei gewissen Frequenzen zur Eigenschwingung kommen.
Für die Grundschwingung gilt:
Somit schwingt der Draht mit einem Bauch in der Mitte. Wird die Frequenz verdoppelt, so wird diese die 1. Oberfrequenz genannt und es kommt ein Bauch hinzu. Es gilt: 
Folglich bleibt nun die Mitte des Drahts das erst mal in Ruhe.
Somit ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
c&=& \lambda \cdot f &\quad \scriptsize \mid\; \lambda = \ell \\[5pt]
c&=& \ell \cdot f \\[5pt]
c&=& 0,600 \text{ m} \cdot 400 \text{ Hz} \\[5pt]
c&=& 240 \text{ } \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d1d02546e3b2386608e6d6975c8218e8f376ce413e1410f954270c8c9175cd2_light.svg)
Für die Grundschwingung gilt:
Somit schwingt der Draht mit einem Bauch in der Mitte. Wird die Frequenz verdoppelt, so wird diese die 1. Oberfrequenz genannt und es kommt ein Bauch hinzu. Es gilt: Folglich bleibt nun die Mitte des Drahts das erst mal in Ruhe.
Somit ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit:
b)
Vorüberlegung
Bei einer Frequenz von 
treten keine Eigenschwingungen auf, da die kein Vielfaches der Grundfrequenz von 
sind. Somit gibt es keinen Stelle auf dem Draht die in Ruhe bleibt oder sinusförmig schwingt.
Bei einer Frequenz von 
kommt es zur 2. Oberschwingung, da die das Dreifache der Grundfrequenz von sind. Es gibt somit drei Schwingungsbäume und zwei Schwingungsknoten.
Abb. 4a
Mit einer Frequenz von beschreibt dieses Diagramm die Stelle 
(erster Knoten) und die Stelle 
(zweiter Knoten).
Abb. 4b
Im Zeitraum von 
bis 
finden Schwingungen statt. Somit ergibt sich eine Periodendauer von 
Diese gehört zu folgender Frequenz:
Folglich kann das Diagramm die Auslenkung an einer Stelle auf dem Draht für eine Frequenz von beschreiben.
Abb. 4c
Die Periodendauer beträgt 
. Somit beträgt die Frequenz 
. Da bei einer Frequenz von keine Eigenfrequenz auftritt, ist dieses Diagramm nicht möglich.
Abb. 4d
Bei der in der Aufgabenbestellung beschriebenen Schwingung existiert kein Punkt, der konstant ausgelenkt ist. Somit ist dieses Diagramm nicht möglich.
treten keine Eigenschwingungen auf, da die kein Vielfaches der Grundfrequenz von sind. Somit gibt es keinen Stelle auf dem Draht die in Ruhe bleibt oder sinusförmig schwingt.
Bei einer Frequenz von kommt es zur 2. Oberschwingung, da die das Dreifache der Grundfrequenz von sind. Es gibt somit drei Schwingungsbäume und zwei Schwingungsknoten.
Abb. 4a
Mit einer Frequenz von beschreibt dieses Diagramm die Stelle (erster Knoten) und die Stelle (zweiter Knoten).
Abb. 4b
Im Zeitraum von bis finden Schwingungen statt. Somit ergibt sich eine Periodendauer von Diese gehört zu folgender Frequenz:
Folglich kann das Diagramm die Auslenkung an einer Stelle auf dem Draht für eine Frequenz von beschreiben.
Abb. 4c
Die Periodendauer beträgt . Somit beträgt die Frequenz . Da bei einer Frequenz von keine Eigenfrequenz auftritt, ist dieses Diagramm nicht möglich.
Abb. 4d
Bei der in der Aufgabenbestellung beschriebenen Schwingung existiert kein Punkt, der konstant ausgelenkt ist. Somit ist dieses Diagramm nicht möglich.
c)
Julia's Aussage
Julia's Aussage ist falsch. Falls es sich bei der Schwingung um eine Eigenschwingung handelt, gibt es Zeitpunkte an dem der komplette Draht nicht ausgelekt ist.
Sofja's Aussage
Sofja's Aussage ist falsch. Sie bezieht sich auf ein Zeit-Auslenkugsdiagramm und meint einen Punkt. Das gegebene Diagramm beschreibt aber die Auslenkung des gesammten Drahts zu einem gewissen Zeitpunkt.
Anna's Aussage
Anna's Aussage ist richtig. Bei einer Eigenschwingung gibt es Zeitpunkte, an denen der komplette Draht nicht ausgelenkt ist.
Lara's Aussage
Lara's Aussage ist falsch. Wenn bei der Eigenschwingung der Draht nicht ausgelenkt ist, dann ist die kinetischer Energie zu diesem Zeitpunkt maximal. Der Energieerhaltungssatz wird somit nicht verletzt.
4
a)
Elektronen können analog zu Photonen Welleneigenschaften zugewiesen werden. Hierbei beschreibt die De-Brogie-Wellenlänge diese. Wenn die Elektronen auf ein ausreichend feinen Doppelspalt treffen, so tritt aufgrund der quantenmechanischen Eigenschaften Beugung und folglich auch Interferenz auf. Das Muster welches sich auf dem Schirm bildet, wirkt zunächst zufällig. Mit fortschreitender Zeit bildet sich jedoch einige Minima und Maxima. Das resultierende Interferenzmuster gleicht dem eines Doppelspalts, der mit monochromatischem Licht bestrahlt wird.
b)
1. Schritt: Geschwindigkeit des Elektrons
Die Energie, die das Elektron im E-Feld aufnimmt ist gegeben durch folgende Formel: 
Somit kann mit der Formel der kinetsichen Energie die Geschwindigkeit des Elektrons ermittelt werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
E_{\text{el}}&=& E_{\text{kin}} \\[5pt]
e \cdot U &=& \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{m} \\[5pt]
\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m} &=& v^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{(\;)} \\[5pt]
\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m}} &=& v \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/daf4f21cf8f30c1e639875dbe740370d1c971e32b8befd2ca519bd1b8a20b32b_light.svg)
2. Schritt: Impuls des Elektrons
Die Formel für den Impuls lautet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p &=& m \cdot v \\[5pt]
p &=& m \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U}{m}} \\[5pt]
p &=& \sqrt{2 \cdot e \cdot U}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/83684b390abb1adbdd47316fa8d4d35d1a505f7d7a55569ce0e5a03a0c292d96_light.svg)
3. Schritt: De-Brogie-Wellenlänge
Die Formel für die De-Brogie-Wellenlänge lautet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\lambda &=& \dfrac{h}{p} \\[5pt]
\lambda &=& \dfrac{h}{\sqrt{2 \cdot e \cdot U}} \\[5pt]
\lambda &=& \dfrac{6,63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 400}} \text{ m} \\[5pt]
\lambda &=& 6,14 \cdot 10^{-11} \text{ m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/88a2fc97f9f67919373bfc234915ece7701af98e0e163639d2931c9d4790b84e_light.svg)
4. Schritt: Beugungsformeln
Es gelten die beiden Beugungsformeln: 
und 
Da die Winekl bei der Elektronenbeugung sehr klein sind kann die Kleinwinkelnäherung angewandt werden: Solange die Kleinwinkelnäherung anwendbar ist, ist der Abstand zwischen zwei Maxima konstant und beträgt ca.
Somit kann mit der Formel der kinetsichen Energie die Geschwindigkeit des Elektrons ermittelt werden:
2. Schritt: Impuls des Elektrons
Die Formel für den Impuls lautet:
3. Schritt: De-Brogie-Wellenlänge
Die Formel für die De-Brogie-Wellenlänge lautet:
4. Schritt: Beugungsformeln
Es gelten die beiden Beugungsformeln: und
Da die Winekl bei der Elektronenbeugung sehr klein sind kann die Kleinwinkelnäherung angewandt werden: Solange die Kleinwinkelnäherung anwendbar ist, ist der Abstand zwischen zwei Maxima konstant und beträgt ca.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin \alpha &\approx& \tan \alpha \\[5pt]
\dfrac{k \cdot \lambda}{g} &\approx& \dfrac{d_{\text{k}}}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt]
\dfrac{a \cdot k \cdot \lambda}{g} &\approx& d_{\text{k}} \\[5pt]
d_{\text{k}} &\approx& \dfrac{a \cdot k \cdot \lambda}{g} &\quad \scriptsize \mid\; k = 1 \\[5pt]
d_{1} &\approx& \dfrac{a \cdot \lambda}{g} \\[5pt]
d_{1} &\approx& \dfrac{0,200 \cdot 6,14\cdot 10^{-11}}{240 \cdot 10^{-9}} \text{ m}\\[5pt]
d_{1} &\approx& 5,12 \cdot 10^{-5} \text{ m}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/db7026551c44c2dd04a42042d4e34e542d5a101d5216ec8863e67297e4edc2a0_light.svg)
c)
Hypothese: Bei der neuen Verteilungen der Nachweispunkte der Elektronen wird jedes geradzahlige Maximum der Elektronen, die mit 
beschleunigt werden von einem Maximum der Elektronen, die mit 
bescheunigt werden, überlagert. Diese Hypothese ergibt sich aus folgendem Zusammenhang aus der Teilaufgabe b):
somit ist 
Also halbiert sich die Wellenlänge bei einer Vervierfachung der Spannung. Nach Teilaufgabe b) gilt:
somit ist ungefähr 
Folglich halbiert sich auch grob der Abstand der Maxima bei einer Vervierfachung der Spannung.
beschleunigt werden von einem Maximum der Elektronen, die mit bescheunigt werden, überlagert. Diese Hypothese ergibt sich aus folgendem Zusammenhang aus der Teilaufgabe b):
somit ist
Also halbiert sich die Wellenlänge bei einer Vervierfachung der Spannung. Nach Teilaufgabe b) gilt:
somit ist ungefähr
Folglich halbiert sich auch grob der Abstand der Maxima bei einer Vervierfachung der Spannung.