Aufgabe 2 – elmagn. Schwingkreis & Licht

In einem elektromagnetischen Schwingkreis (siehe Abb. 1), bestehend aus einer Spule und einem Kondensator der Kapazität $40\; \mu \text{F},$ wird mit einem Messwerterfassungssystem die Spannung am Kondensator aufgezeichnet (siehe Abb. 2). Vom Einfluss der Dämpfung auf die Frequenz wird abgesehen.

Abbildung 1

Abbildung 2

Gib die Zeitintervalle für die unterschiedlichen Schalterstellungen ab $0 \;\text{s}$ an und begründe deine Antwort.

(6 BE)

Zeige mithilfe von Abbildung 2, dass die Induktivität der Spule $633 \;\text{H}$ beträgt.

(3 BE)

Erkläre das Zustandekommen der Abbildung 2 zugrunde liegenden elektromagnetischen Schwingung und benenne die dabei auftretenden Energieformen.

(7 BE)

Berechne, wieviel Prozent der anfänglichen Energie nach den ersten zwei vollen Perioden noch im Schwingkreis vorhanden sind.

(4 BE)

Der Versuch wird mit einem Kondensator der vierfachen Kapazität wiederholt.

Erkläre, wie sich der Austausch des Kondensators auf die Frequenz der Schwingung auswirkt.

(3 BE)

Schätze die maximale Stromstärke im Schwingkreis mit der veränderten Kapazität ab. Gehe dabei davon aus, dass die Energie im Schwingkreis erhalten bleibt.

(4 BE)

In einem Prüflabor für Kunstfasern wird die Dicke $D$ verschiedener Fasern mithilfe von Interferenzmustern untersucht. Die Interferenzmuster eines mit Laserlicht beleuchteten Einzelspaltes und die einer dünnen eingespannten Faser sind identisch, sofern Dicke der Faser und Breite des Einzelspaltes identisch sind. In diesem Fall ersetzt man bei der Berechnung der Minima die Spaltbreite durch die Faserdicke $D.$

Erkläre anhand einer Skizze das Auftreten des Minimums 1. Ordnung beim Interferenzmuster eines Einzelspalts.

(4 BE)

Bei einer Messung wird der Durchmesser eines Menschenhaares ermittelt. Hierzu wird das Haar in eine geeignete Halterung eingespannt und senkrecht mit Laserlicht der Wellenlänge $635 \;\text{nm}$ beleuchtet. Dabei ergibt sich auf einem Schirm in $1,6 \;\text{m}$ Entfernung zum Haar ein Interferenzmuster. Abbildung 3 zeigt dieses.

Abbildung 3

Zeige, dass die Dicke des verwendeten Haares etwa $0,068 \;\text{mm}$ beträgt.

(4 BE)

In einer weiteren Messung wird das Haar durch ein Tierhaar der Dicke $0,020 \;\text{mm}$ ersetzt.

Berechne die Veränderung der Breite des Hauptmaximums gegenüber dem vorherigen Beugungsbild.

(3 BE)

Ein Messgerät im Prüflabor bestimmt die Dicke von Fasern, indem es Interferenzmuster auswertet. Hierzu wird mit Laserlicht der Wellenlänge $635 \;\text{nm}$ im Abstand von $1,6 \;\text{m}$ zwischen Faser und Messebene ein Interferenzmuster erzeugt. Das Messgerät bestimmt die Breite $H$ des Hauptmaximums und ermittelt daraus die Dicke $D$ der Faser mit folgendem Zusammenhang: $D=2,0 \cdot 10^{-6} \;\text{m} ^2 \cdot \frac{1}{\text{H}}.$

Leite diese Beziehung her.

(4 BE)

Laut den Angaben des Herstellers ist das Messgerät für Faserdickenbestimmungen in einem Bereich von $0,010 \;\text{mm} \lt D \lt 0,12 \;\text{mm}$ geeignet. Abbildung 4 zeigt den Zusammenhang zwischen den Größen $D$ und $H$ in diesem Bereich.

Abbildung 4

Beurteile die Genauigkeit der Faserdickenbestimmung unter der Annahme, dass die Messunsicherheit $\Delta H$ für die Größe $H$ konstant ist.

(6 BE)

Abbildung 5 zeigt eine Schaltskizze für die Untersuchung des lichtelektrischen Effekts.

Eine Fotozelle ist ein Bauteil, mit dem der lichtelektrische Effekt untersucht werden kann. Zunächst fällt weißes Licht einer Lichtquelle auf die Fotozelle. Dabei beobachtet man mit der Versuchsanordnung in Abbildung 5 einen elektrischen Strom, den sogenannten Fotostrom. Die Spannung $U_B$ wird jeweils so eingestellt, dass der Fotostrom seinen möglichen Maximalwert erreicht.

Die Lichtquelle strahlt ihr Licht in alle Raumrichtungen ab. Nun wird der Abstand zwischen Lichtquelle und Fotozelle vergrößert.

Abbildung 5

Erkläre, wie sich der Maximalwert des Fotostroms hierbei ändert.

(6 BE)

In einem weiteren Versuch sollen zwei verschiedene Farbfilter mit der obigen Anordnung untersucht werden. Filter A absorbiert nur die Wellenlänge $633 \;\text{nm},$ Filter $B$ lässt nur Licht der Wellenlänge $633 \;\text{nm}$ durch. Die zur Verfügung stehende Fotozelle hat ein Kathodenmaterial mit einer Austrittsenergie von $E_A=2,25 \;\text{eV}.$

Erläutere, wie man die beiden Filter mit der vorhandenen Anordnung voneinander unterscheiden kann.

(6 BE)

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In der ersten halben Sekunde liegt keine Spannung an, somit ist der Schalter nicht in der Position 1.

Zwischen den Zeitpunkten $0,5 \;\text{s}$ und $2 \;\text{s}$ ist der Schalter in der Stellung 1. Am Kondensator wird eine Spannung von $12 \;\text{V}$ gemessen.

Danach ist der Schalter in der Stellung 2, so dass die Schwingung im Schwingkreis ausgeführt wird.

Gegeben: $C= 40 \cdot 10 ^{-6} \text{F},$ $T=1 \;\text{s}$ (wird aus Abbildung 2 abgelesen)

Gesucht: $L$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{2 \cdot \pi } \\[5pt] \dfrac{T}{2 \cdot \pi \cdot C}&=& \sqrt{L\cdot C}&\quad \scriptsize \mid\;(\;)^2 \\[5pt] L \cdot C&=& \dfrac{T^2}{4 \cdot \pi^2 } &\quad \scriptsize \mid\;:C \\[5pt] L&=& \dfrac{T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot C} \\[5pt] L&=& \dfrac{1 \;\text{s}^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{F}} \\[5pt] L&=& 633 \;\text{H} \end{array}$

Wird der Schalter in Stellung 2 gebracht, so beginnt der Strom durch die Spule zu fließen. Der Kondensator entlädt sich dabei und verliert seine gespeicherte elektrische Energie. Da sich der Stromfluss ändert, baut sich ein magnetisches Feld in der Spule auf, in der nun die Energie gespeichert wird.

Dem Stromanstieg wirkt eine Induktionsspannung entgegen.
Ist der Kondensator entladen, ist das magnetische Feld maximal und baut sich anschließend wieder ab. Es induziert dadurch eine Spannung, die den Strom antreibt und so den Kondensator lädt.

Die Energie im elektrischen Feld steigt wieder an. Über den ohmschen Widerstand wird die elektrische Energie in thermische Energie umgewandelt (und abgestrahlt).

Dieser Prozess wiederholt sich, bis die ursprünglich vorhandene Energie abgegeben wurde.

Zu Beginn ist die Spannung $12 \;\text{V}.$

Nach zwei vollen Perioden beträgt die Spannung ca. $7,5 \;\text{V}.$

Das Verhältnis folgt mit:

$\dfrac{\frac{1}{2} \cdot C \cdot(U(2 \;\text{s}))^2}{\frac{1}{2} \cdot C \cdot(U(4 \;\text{s}))^2}$ $=\dfrac{U(2 \;\text{s}))^2}{U(4 \;\text{s}))^2}$

Mit Abbildung 2 folgt:

$\dfrac{U(2 \;\text{s}))^2}{U(4 \;\text{s}))^2}$ $=\dfrac{56,2 \;\text{V}^2}{144 \;\text{V}^2}$ $\approx 39 \%$

Somit ist $39 \%$ der anfänglichen Energie noch vorhanden.

Es ist $T=2 \pi \sqrt{L \cdot C}.$

Bei vierfacher Kapazität ist $C_{\text{neu}}=4\cdot C$ und somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} T_{\text{neu}}&=& 2 \pi \sqrt{L \cdot C_{\text{neu}}} \\[5pt] &=& 2 \pi \sqrt{L\cdot 4\cdot C} \\[5pt] &=& 2 \pi \sqrt{L\cdot C} \cdot 2 \\[5pt] &=& T\cdot 2\\[5pt] T_{\text{neu}}&=& 2\cdot T \end{array}$

Verdoppelt sich die Periodendauer, folgt für die Frequenz:

$\begin{array}[t]{rll} f_{\text{neu}}&=& \dfrac{1}{T_{\text{neu}}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2\cdot T} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{T} \\[5pt] f_{\text{neu}}&=& \dfrac{1}{2}\cdot f \end{array}$

Die Frequenz halbiert sich.

Gegeben: $L= 633 \;\text{H},$ $\hat{U}=12 \;\text{V},$ $C_{\text{neu}}$ $=4\cdot C$ $= 4\cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{F}$ $= 160 \cdot 10^{-6} \text{F}$

Gesucht:

Lösung:

Für die Energie im Schwingkreis gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} \cdot L \cdot \hat{I}^2 &=&\dfrac{1}{2} \cdot C_{\text{neu}} \cdot \hat{U}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \frac{2}{L} \\[5pt] \hat{I}^2&=& \dfrac{C_{\text{neu}}}{L} \cdot \hat{U}^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \hat{I}&=& \sqrt{\dfrac{C_{\text{neu}}}{L}}\cdot \hat{U} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt die maximale Stromstärke:

$\begin{array}[t]{rll} \hat{I} &=&\sqrt{\dfrac{C}{L}}\cdot \hat{U} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{160 \cdot 10^{-6} \text{F}}{633 \;\text{H} }} \cdot 12 \;\text{V} \\[5pt] &=& 6,03 \;\text{mA} \end{array}$

Eine obere Abschätzung ist somit $6,03 \;\text{mA}.$

Jeder Punkt der Spaltöffnung kann als Ausgangspunkt einer Kreiswelle angesehen werden.

Werden Wellen, die in einem Punkt auf dem Schirm miteinander interferieren betrachtet, so können die jeweils zugehörigen Wellenstrahlen wegen des großen Abstands zwischen Spalt und Schirm im Vergleich zur Spaltbreite als parallel angesehen werden.

Das erste Minimum auf dem Schirm sind für den Beobachtungswinkel sichtbar, für den der Gangunterschied der Wellen an den beiden Rändern $\lambda$ beträgt. Zu jeder Welle aus Teilbündel 1 gibt es eine Welle im Teilbündel 2 mit dem Gangunterschied $\frac{\lambda}{2}.$

Aus der Abbildung wird der Abstand vom 1. Minimum zur Mitte mit $\Delta x=1,5 \;\text{cm}$ abgelesen.

Bei den gegebenen Werten gilt für das erste Minimum sicher die Kleinwinkelnäherung.

Es gilt damit $\dfrac{\Delta x}{a}=\dfrac{\lambda}{D}$ , wobei $a$ der Abstand vom Haar zum Bildschirm ist.

Die Dicke des Haares ist:

$D=\dfrac{\lambda \cdot a}{\Delta x}$ $=\dfrac{635 \cdot 10^{-9} \;\text{m} \cdot 1,6 \;\text{m}}{1,5 \cdot 10^{-2} \;\text{m}}$ $=6,8 \cdot 10^{-5} \;\text{m}$

Es ist $\dfrac{D_{\text {alt }}}{D_{\text {neu }}}=\dfrac{0,068 }{0,020 \;\text{mm}}=3,4.$

Es ist:

$\dfrac{\Delta x_{\text {neu }}}{\Delta x_{\text {alt }}}$ $=\dfrac{D_{\text {alt }}}{D_{\text {neu }}}$ .

Also wird das Hauptmaximum um den Faktor 3,4 größer.

Mit $\dfrac{\lambda}{D}=\dfrac{H}{2 \cdot a}$ ist $D=2 \cdot a \cdot \lambda \cdot \dfrac{1}{H}$ .

Mit $2 \cdot a \cdot \lambda=2 \cdot 1,6 \;\text{m} \cdot 635 \cdot 10^{-9} \;\text{m}$ $=2,0 \cdot 10^{-6} \;\text{m}^2$ folgt die Beziehung.

In dem Schaubild wurde bei einem kleinen Wert von $H$ und einem großen Wert von $H$ eine Messunsicherheit $\Delta H$ eingezeichnet.

Gleiche Messunsicherheiten $\Delta H$ führen zu unterschiedlich großen Intervallen der Unsicherheit in $D.$

Es ist zu erkennen, dass die Faserdickenbestimmung bei dickeren Fasern ungenauer als bei dünneren Fasern ist.

Der Abstand zwischen Lichtquelle und Fotozelle wird vergrößert, da die Lichtstrahlen divergieren.

Es treffen weniger Photonen pro Zeitintervall auf die Fotozelle.
Grund: Eine gewisse Anzahl an Photonen löst im Mittel eine gewisse Anzahl an Elektronen aus.

Es werden pro Zeiteinheit weniger Elektronen aus der Kathode der Fotozelle ausgelöst.
Grund: Es gilt $I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$ .

Die Fotostromstärke sinkt.

Die Photonen des Lichts der Wellenlänge $633 \;\text{nm}$ haben die Energie

$E=h \cdot f=\frac{h \cdot c}{\lambda}$ $=\dfrac{6,63 \cdot 10^{-34} \;\text{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{633 \cdot 10^{-9} \text{m}}$ $=1,96 \;\text{eV}$

Filter B lässt nur Photonen dieser Energie durch. Da die Austrittenergie höher ist, ist kein Fotostrom messbar.

Filter A lässt auch Photonen höherer Energie durch, es ist ein Fotostrom messbar.

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