Aufgabe 1 – Mechanische Schwingungen

In der Schwerelosigkeit können Astronauten ihre Masse mit der in Abbildung 1 dargestellten Anordnung bestimmen. Der Astronaut setzt sich dazu in einen Stuhl, der die Masse $5,00 \,\text{kg}$ hat und zwischen zwei Federn eingespannt ist. Der Stuhl wird um $50,0 \,\text{cm}$ aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und zum Zeitpunkt $0 \,\text{s}$ frei gegeben. Die Anordnung schwingt harmonisch mit einer Richtgröße $\text D$ von $1500 \,\text{Nm}^{-1}.$ Von Reibung und von der Federmasse wird abgesehen.

Abbildung 1

Bei der Massenbestimmung eines Astronauten misst man für zehn Schwingungsperioden eine Zeit von $15,0$ Sekunden.

Gib für diese Messung eine Funktionsgleichung an, die die Auslenkung des Stuhls aus der Gleichgewichtslage in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.

Berechne die Masse des Astronauten.

Zeichne das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm für die ersten drei Sekunden der Messung.

Beschreibe, wie sich in diesem Experiment eine größere Masse des Astronauten auf das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm auswirkt.

Vergleiche die maximale Beschleunigung des Astronauten auf dem Stuhl mit der Erdbeschleunigung.

(10 VP)

Das linke Ende eines $1,2\,\text m$ langen elastischen Bandes beginnt zum Zeitpunkt $t =0 \,\text s$ harmonisch zu schwingen. Dadurch wird auf dem Band eine Welle erzeugt, die sich nach rechts ausbreitet. Das rechte Ende des Bandes ist fest.
Abbildung 2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Auslenkung eines Punktes, der $0,45\,\text m$ vom linken Ende des Bandes entfernt ist.

Abbildung 2

Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Skizziere das Momentanbild des gesamten Bandes zum Zeitpunkt $1,0 \,\text{s}.$

Zeichne für den Zeitraum von $3,0 \,\text{s} \leq t \leq 5,0 \,\text{s}$ das Zeit-Auslenkungs-Diagramm für denjenigen Punkt, der $1,05 \,\text{m}$ vom linken Ende des Bandes entfernt ist.

Das linke Ende eines weiteren elastischen Bandes wird über eine Umlenkrolle geführt und gespannt (siehe Abbildung 3). Das Band wird mit einer festen Frequenz von $5,00\,\text{Hz}$ zu Schwingungen angeregt. In einem Experiment wird die Spannkraft $\text{F}_{\text{k}}$ verändert und gemessen, bei welchen Werten von $\text{F}_{\text{k}}$ stehende Wellen auftreten. Dabei ist $\text k$ die Anzahl der Schwingungsbäuche der stehenden Welle. Die Ergebnisse sind in Tabelle 1 dargestellt.

Abbildung 3

$\color{#fff}{\text{F}_{\text{k}}}$ in $\color{#fff}{\text{N}}$	$\color{#fff}{\text{k}}$
$7,16$	$2$
$3,15$	$3$
$1,78$	$4$
$1,14$	$5$
$0,79$	$6$

Tabelle 1

Zeige, dass die Beziehung $\text{F}_{\text{k}} \sim \dfrac{1}{\text k^2}$ gilt.

Bestimme den zugehörigen Proportionalitätsfaktor unter Verwendung der Messwerte aus Tabelle 1.

Für die Spannkraft gilt: $\text{F}_{\text{k}} = \dfrac{4}{\text k^2}\cdot \ell \cdot m \cdot f^2$ , wobei $\ell$ die Länge des schwingenden Teils des Bandes, $m$ die Masse des Bandes und $f$ die Erregerfrequenz ist.

Bestimme die Masse des Bandes.

(11 VP)

Im Jahr 1905 erklärte Albert Einstein den Fotoeffekt mithilfe einer Hypothese, die Max Planck in der Fachwelt bereits im Jahr 1900 aufgestellt hatte. Einstein kam in diesem Zusammenhang zu der folgenden Gleichung:
$h \cdot f = W_\text A + W_{\text{kin, max}}$

Erläutere die physikalische Aussage dieser Gleichung.

In einem der drei Diagramme aus den Abbildungen 4a bis 4c ist der Zusammenhang zwischen $W_\text A$ und $W_{\text{kin, max}}$ bei konstanter Frequenz $f$ dargestellt.

baden württemberg physik abi 2018 aufgabe 1 abbildung 3 a

Abbildung 4 a

baden württemberg physik abi 2018 aufgabe 1 abbildung 3 c

Abbildung 4 c

baden württemberg physik abi 2018 aufgabe 1 abbildung 3 b

Abbildung 4 b

Gib an, welches der Diagramme diesen Zusammenhang am besten darstellt und begründe deine Wahl.

Beschreibe, wie man den $W_\text A$ - $W_{\text{kin, max}}$ -Zusammenhang experimentell überprüfen kann.

Erläutere den Aspekt des Fotoeffekts, der mit der klassischen Vorstellung von elektromagnetischen Wellen nicht vereinbar ist.

(9 VP)

Die allgemeine Auslenkung des Stuhls aus der Gleichgewichtslage in Abhängigkeit von der Zeit kann als Bewegungsgleichung beschrieben werden, mittels:

$s(t)=\hat{s}\cdot \cos(\omega \cdot t)$

Hier gilt $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$

Für zehn Schwingungsperioden wird eine Zeit von $15 \;\text{s}$ gemessen, also ergibt sich die Periodendauer $T = 1,5 \;\text{s}$ aus der Zeit der Schwingungsdauer.

$\omega= \dfrac{2 \pi}{T}= 4,19 \;\text{s}^{-1}$

Es ist $\hat{s}= 0,5 \;\text{m}.$

Somit folgt die Funktionsgleichung für $s$ mit $s(t)=0,5 \;\text{m} \cdot \cos \left(4,19 \;\frac{1}{\text{s}} \right).$

Gegeben: $T= 1,5 \;\text{s},$ $D= 1500 \;\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Gesucht: $m_A$

Lösung:

1. Schritt: Masse des schwingenden Systems bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}}&\quad \scriptsize \mid\; (\;)^2\\[5pt] T^2&=& 4 \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{D}{4 \pi^2} \\[5pt] T^2 \cdot \dfrac{D}{4 \pi^2}&=& m \\[5pt] m &=& T^2 \cdot \dfrac{D}{4 \pi^2} \\[5pt] m &=& (1,5 \;\text{s})^2 \cdot \dfrac{1500 \;\frac{\text{N}}{\text{m}}}{4 \pi^2} \\[5pt] m &=& 85,5 \; \text{kg} \end{array}$

2. Schritt: Masse des Astronauten berechnen

Die Masse des Astronauten beträgt $m_A = 85,5 \text{ kg} - 5,00 \text{ kg}$ $= 80,5 \text{ kg.}$

Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableiten von $s(t)$ nach der Zeit.

1. Schritt: Ableitung bilden

Es gilt: $\hat{v} = -\hat{s}\cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t)$

$\hat{s}\cdot \omega = 0,5 \;\text{m} \cdot 4,19 \;\frac{1}{\text{s}}$ $=2,09 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Somit folgt die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion zu $\hat{v} = -2,09 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \sin(4,19 \;\frac{1}{\text{s}} \cdot t).$

2. Schritt: Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm

Es ist $T= 2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}}.$ Vergrößert sich die Masse $m,$ so wird auch $T$ größer.

Wegen $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$ wird die Kreisfrequenz kleiner.

Somit verringert sich auch die maximale Geschwindigkeit. Das Diagramm wird folglich in $t$ -Richtung gestreckt und in $v$ -Richtung gestaucht.

Die maximale Beschleunigung des Systems ergibt sich zu:

$\hat{a}= \omega ^2 \cdot \hat{s}$ $=\left(4,19 \dfrac{1}{\text{s}}\right)^2 \cdot 0,5 \;\text{m}$ $= 8,78 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Die maximale Beschleunigung des Systems ist folglich kleiner als die Erdbeschleunigung $g.$

Das Teilchen beginnt zum Zeitpunkt $t = 1,5 \text{ s}$ zu schwingen und befindet sich zum Zeitpunkt $t$ am Ort $x=0,45 \text{ m.}$

Gegeben: $t = 1,5 \;\text{s},$ $x= 0,45\;\text{s}$

Gesucht: $x$

Lösung: $c=\dfrac{0,45 \;\text{m}}{1,5 \;\text{s}}$ $= 0,30 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Die Periodendauer wird aus Abbildung 2 ablesen. Sie beträgt $T = 0,5 \;\text{s}.$

Nach einer Sekunde hat sich die Welle folglich um $x= c\cdot t$ $=0,30 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 1\;\text{s}$ $=0,30 \text{ m}$ augebreitet.

Die Wellenlänge ergibt sich zu:

$\lambda= c \cdot T = 0,3 \cdot 0,5\;\text{m} = 0,15\;\text{m}$

Zeitpunkt zu dem die Schwingung beginnt

Gegeben: $x=1,05 \;\text{m},$ $c=0,3 \;\frac{\text{m}}{\text{s}},$ $T= 0,5 \;\text{s}$

Gesucht: $t$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} t&=& \dfrac{x}{c} \\[5pt] t&=& \dfrac{1,05\;\text{m}}{0,3 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}} \\[5pt] t&=& 3,5 \;\text{s} \end{array}$

Zeitpunkt zu dem die Welle das Ende des Bandes erreicht

Das Band ist $1,2 \;\text{m}$ lang. Somit folgt:

$\dfrac{1,2 \;\text{m}}{0,3 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}}= 4 \;\text{s}$

Nach $4 \;\text{s}$ hat die Welle das rechte Ende des Bandes erreicht.

Reflexion der Welle

Am rechten Ende des Bandes wird die Welle nach links reflektiert. Da das rechte Ende des Bandes fest ist, kommt es zum Phasensprung. Die reflektierte und einlaufende Welle überlagern sich, wodurch sich eine stehende Welle bildet.

Zeitpunkt zu dem die reflektierte Welle den Ort $\boldsymbol{x=1,05 \;\text{m}}$ erreicht

Die reflektierte Welle erreicht den Ort $x=1,05 \;\text{m}$ nachdem sie $0,15 m$ zurückgelegt hat.

$t= \dfrac{0,15\;\text{m}}{0,3 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$ $=0,5\;\text{s}$

Nach $4,5\;\text{s}$ erreicht die reflektierte Welle den Ort wieder, heißt nach $4,5\;\text{s}$ schwingt das Band nicht mehr, da sich hier ein Knoten der schwingenden Welle befindet.

Zeit-Auslenkung-Diagramm

Wenn die Beziehung $F_K \sim \dfrac{1}{k^2}$ gilt, dann ist das Produkt $F_k \cdot k^2$ ungefähr konstant (im Rahmen der Messungenauigkeiten).

$\color{#ffffff}{F_k}$ in $\color{#ffffff}{\text{N}}$	$\color{#ffffff}{k}$	$\color{#ffffff}{f_k \cdot k^2}$ in $\color{#ffffff}{\text{N}}$
7,16	2	28,6
3,15	3	28,4
1,78	4	28,5
1,14	5	28,5
0,79	6	28,4

Der Mittelwert ergibt $28,5\;\text{N},$ was dem Proportionalitätsfaktor entspricht.

Gegeben: $F_k\cdot k^2= 28,5\;\text{N},$ $\ell= 1,2\;\text{m},$ $f=5\;\frac{1}{\text{s}}$

Gesucht: $m$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} F_k&=& \dfrac{4}{k^2}\cdot \ell \cdot m \cdot f^2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k^2 \\[5pt] F_k\cdot k^2&=& 4 \cdot \ell \cdot m \cdot f^2 \\[5pt] \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$m=...$

Fällt Licht auf eine Kathode (z.B. Fotokathode), so überträgt es seine Energie auf die sich darin befindenden Elektronen. Die Energie der Lichtquanten beträgt $h\cdot f$ , dabei ist $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum und $f$ die Frequenz des Lichts.

Ist die die übertragene Energie der Lichtquanten groß genug, so können sich die Elektronen aus der Kathode lösen. Um sich aus der Kathode lösen zu können, benötigen die Elektronen auch Energie (die Ablöseenergie $W_A$ .) Die restliche Energie ist die kinetische Energie, mit der sich die Elektronen bewegen.

Bei konstanter Lichtfrequenz variiert die Ablöseenergie $W_A$ je nach Fotozelle und somit folglich auch die restliche kinetische Energie der Elektronen. Das beschreibt die Abbildung 4b am besten.

Da es keine negative kinetische Energie gibt, kommt Abb. 4a nicht in Frage.
Da die kinetische Energie mit zunehmender Ablöseenergie linear abnimmt, kann auch Abb. 4c ausgeschlossen werden.

Der $W_A-W_{kin}-$ Zusammenhang kann mit verschiedenen Fotozellen konstanten Lichtes überprüft werden. Die verschiedenen Fotozellen, haben unterschiedliche, bekannte Ablöseenergie $W_A,$ Licht mit einer konstanten Frequenz, was bei den Fotozellen die Spannung $U$ bestimmt. Mit der Spannung kann dann die maximale kinetische Energie $W_{kin, max}$ bestimmt werden und damit dann ein $W_A-W_{kin, max}$ Diagramm erstellt werden.

Beim Fotoeffekt gibt es eine Grenzfrequenz, unterhalb der keine Elektronen mehr aus der Kathode gelöst werden können.
Beim klassischen Wellenmodell muss bei genügend hoher Intensität der Welle bei jeder Frequenz die Elektronenablösung möglich sein. Deshalb ist dieser Aspekt des Fotoeffekts nicht mit der klassischen Vorstellung von elektromagnetischen Wellen zu vereinen.