Aufgabe 1 – Mechanische Schwingungen

Ein Wagen mit der Masse $m$ ist an einer auf Zug und Druck belastbaren Schraubenfeder mit der Federkonstanten $74,0 \text{ Nm}^{-1}$ befestigt. Rechts neben dem Wagen befindet sich ein UItraschallsensor, der den Abstand $d$ zur Seitenfläche des Wagens bestimmt (siehe Abb. 1).

Abbildung 1

Von der Masse der Feder und Räder sowie von Reibungseinflüssen wird abgesehen. Der Wagen wird aus der Ruhelage nach links ausgelenkt und zum Zeitpunkt $0 \mathrm{~s}$ freigegeben. Es entsteht eine harmonische Schwingung. Das vom Sensor aufgenommene Messdiagramm ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

Bestimme die Amplitude und die Frequenz der Schwingung.

Zeige, dass der Wagen eine Masse von $300 \mathrm{~g}$ besitzt.

Ermittle den Betrag der maximalen Geschwindigkeit des Wagens.

Bestimme die kinetische Energie des Wagens zum Zeitpunkt $0,70 \mathrm{~s}$ .

Skizziere ein Zeit - kinetische Energie - Diagramm für die Schwingung im Bereich $0\,\text s \leq t \leq 0,40 \mathrm{~s} \text {. }$

Die verwendete Messsoftware des Ultraschallsensors kann den Zusammenhang zwischen dem Abstand $d$ und der Beschleunigung $a$ des Wagens während einer Periode berechnen und darstellen. Dieser Zusammenhang ist in einem der drei Diagramme in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3

Beurteile, welches der drei Diagramme den Zusammenhang korrekt darstellt.

(10 VP)

Das linke Ende eines $100 \mathrm{~cm}$ langen linearen Wellenträgers beginnt zum Zeitpunkt $0 \mathrm{~s}$ mit der Frequenz $0,40 \; \text{Hz}$ aus der Gleichgewichtslage nach oben harmonisch zu schwingen. Es breitet sich eine nach rechts laufende Querwelle auf dem Wellenträger aus.

Abbildung 4 zeigt ein Momentanbild des Wellenträgers, nachdem bereits genau eine Reflexion stattgefunden hat.

Abbildung 4

Zeige, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle $0,16 \mathrm{~ms}^{-1}$ beträgt.

Bestimme den Zeitpunkt des Momentanbilds.

Erläutere, dass sich bei $x=100 \mathrm{~cm}$ ein festes Ende befinden muss.

Zeichne ein Zeit - Auslenkung - Diagramm für den Punkt an der Stelle $x=60 \mathrm{~cm}$ im Zeitintervall $0 \mathrm{~s} \leq t \leq 12,5 \mathrm{~s}$ .

(9 VP)

Zwei Stifte $\text E_{1}$ und $\text E_{2}$ , die in ein Wasserbecken eintauchen, haben einen Abstand von $3,0 \mathrm{~cm}.$ Sie schwingen gleichphasig, harmonisch und mit gleicher Amplitude.
Die erzeugten Wellen bewegen sich mit der Geschwindigkeit $20,0 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}$ auf der Wasseroberfläche. Von einer Abnahme der Amplitude wird abgesehen.
Abbildung 5 zeigt eine Momentaufnahme der Wasseroberfläche zu einem bestimmten Zeitpunkt nach Beginn der Schwingungen.

Abbildung 5

In den hellen Zonen befinden sich Wellenberge und in den dunklen Zonen Wellentäler. Es gibt Bereiche im Wasserbecken, in denen die Wasseroberfläche dauerhaft in Ruhe ist.

Erkläre das Zustandekommen dieser dauerhaft in Ruhe befindlichen Bereiche.

Die Wasseroberfläche an der Stelle $\text P$ in Abbildung 5 ist dauerhaft in Ruhe. Der Abstand von $\text P$ zu $\text E_{1}$ beträgt $3,7 \; \text{cm}$ , der von $\text P$ zu $\text E_{2}$ beträgt $3,2 \; \text{cm}.$

Zeige unter Verwendung dieser Angaben, dass die Wellenlänge $1,0\; \text{cm}$ beträgt.

Berechne die Frequenz der beiden Stifte.

Von einer Schülerin wird über die Wasserbewegung auf der Strecke zwischen den Erregern $\text E_{1}$ und $\text E_{2}$ folgende Aussage getroffen:
„Zum Zeitpunkt der Aufnahme befinden sich alle Teilchen zwischen $\text E_{1}$ und $\text E_{2}$ momentan in Ruhe.“

Beurteile diese Aussage.

Die Frequenz der Stifte wird nun langsam erhöht, so dass sich die Bereiche, die dauerhaft in Ruhe bleiben, in der Wanne sichtbar verschieben. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen ändert sich dabei nicht.

Ermittle, auf welchen Wert die Frequenz mindestens vergrößert werden muss, damit die Stelle $P$ erneut in einem Bereich liegt, der dauerhaft in Ruhe ist.

Bestimme den Frequenzbereich, für den sich in der Wanne auf Dauer keine Bereiche mit unbewegter Wasseroberfläche mehr ausbilden können.

(11 VP)

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Aus Abbildung 2 wird eine Amplitude von $s_{\max }=4,0 \; \mathrm{cm}$ und eine Schwingungsdauer von $T=0,4 \; \text{s}$ abgelesen.

Die Frequenz wird wie folgt berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} f&=& \dfrac{1}{T} \\[5pt] f&=& \dfrac{1}{0,4 \; \mathrm{s}} \\[5pt] f&=& 2,5 \; \mathrm{Hz} \end{array}$

Gegeben: $T=0,4 \;\text{s},$ $D=74,0 \,\frac{\mathrm{N}}{\text{m}}$

Gesucht: $m$

Lösung: Die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung beträgt $T=2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}}.$

1. Schritt: Auflösen nach $\boldsymbol{m}$

$\begin{array}[t]{rll} T &=& 2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} \quad \scriptsize \mid\; (\;)^2 \\[5pt] T^2 &=& 4\pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} \quad \scriptsize \mid\; \cdot D \mid \; :4\pi^2 \\[5pt] \dfrac{T^2 \cdot D}{4\pi^2} &=& m \\[5pt] m &=& \dfrac{T^2 \cdot D}{4\pi^2} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Einsetzen der Werte

$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{(0,40 \mathrm{~s})^{2}}{4 \pi^{2}} \cdot 74,0 \,\frac{\mathrm{N}}{\text{m}} \\[5pt] m &=& 300 \; \mathrm{g} \end{array}$

1. Schritt: Herleitung

Der Abstand des Wagens zum Sensor wird durch folgende Funktion beschrieben:

$d(t)= s(t)= s_{\max } \cdot \cos(\omega \cdot t)+ s_0$

Dabei entspricht $s_{\max }=4 \;\text{cm}$ und $s_0= 10\;\text{cm}.$ (Abzulesen aus Abbildung 2)

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der ersten Ableitung:

$v(t)= \dot{s}(t) =\underbrace{-s_{\max }\cdot \omega}_{v_{\max } } \cdot \sin(\omega \cdot t)$

2. Schritt: Betrag der maximalen Geschwindigkeit des Körpers ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} v_{\max } &=& s_{\max } \cdot \omega \\[5pt] v_{\max } &=& s_{\max } \cdot 2 \pi \cdot f \end{array}$

Einsetzen der Werte:

$\begin{array}[t]{rll} v_{\max } &=& 0,04 \mathrm{~m} \cdot 2 \pi \cdot 2,5 \mathrm{~Hz} \\[5pt] v_{\max } &=& 0,63 \;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] \end{array}$

Aus Abbildung 2: Zum Zeitpunkt $0,70\; \text{s}$ schwingt der Körper durch die Gleichgewichtslage und erreicht damit seine maximale Geschwindigkeit $v_{\max }.$

Gegeben: $v_{\max }=0,63 \;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},$ $m=300 \;\text{g}$

Gesucht: $E_{\text{kin}}$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\max }^{2} \\[5pt] E_{\text{kin}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 0,3 \mathrm{~kg} \cdot\left(0,63 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \right)^{2} \\[5pt] E_{\text{kin}} &=& 0,059 \mathrm{J} \end{array}$

Die maximale kinetische Energie besitzt der Wagen, wenn er durch die Gleichgewichtslage schwingt. Dies passiert zu den Zeitenpunkten $0,1 \mathrm{~s}$ und $0,3 \mathrm{~s}.$
Die kinetische Energie ist null, wenn der Wagen maximal ausgelenkt ist. Dies passiert zu den Zeitpunkten $0 \mathrm{~s}, 0,2 \mathrm{~s}$ sowie $0,4 \mathrm{~s}.$
Folglich ist der Verlauf der kinetischen Energie periodisch und kann mit einer Sinus-Funktion modelliert werden.

Bei diesem harmonischen Oszillator besteht ein linearer Zusammenhang zwischen momentaner Beschleunigung und Abstand zum Sensor, es treten zudem positive und negative Beschleunigungswerte auf.
Dies ist in Diagramm (i) korrekt dargestellt. Diagramm (ii) kommt nicht in Frage, da es nur positive Beschleunigungswerte zeigt. Diagramm (iii) kommt ebenfalls nicht in Frage, da bei der vorliegenden Schwingung der Abstand zum Sensor nicht Null wird.

Gegeben: $f= 0,4 \;\text{Hz}$

Aus Abbildung 4 ergibt sich für die Wellenlänge der Wert $40 \mathrm{~cm},$ also $\lambda= 0,4 \text{m}$

Gesucht: $c$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} c &=& \lambda \cdot f \\[5pt] c &=& 0,4 \mathrm{~m} \cdot 0,4 \mathrm{~Hz} \\[5pt] c &=& 0,16 \; \dfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[5pt] \end{array}$

Die Welle bewegt sich zuerst einen Meter nach rechts. Dort wird sie reflektiert und bewegt sich 0,7 Meter nach links. Sie hat bis sie sich mit der nach rechts laufenden Welle überlagert den Weg $1,7 \mathrm{~m}$ zurückgelegt, das sind $\dfrac{17}{4}$ Wellenlängen.
Man erhält als Zeit:

$\begin{array}[t]{rll} t &=& \dfrac{\Delta x}{c} \\[5pt] t &=& \dfrac{1,7 \mathrm{~m}}{0,16 \mathrm{~ms}^{-1}} \\[5pt] t &=& 10,625 \mathrm{~s} \end{array}$

In Abbildung 4 befinden sich zum Aufnahmezeitpunkt alle Oszillatoren im Bereich $30 \mathrm{~cm} \leq x \leq 100 \mathrm{~cm}$ in ihrer Gleichgewichtslage. Die Auslenkungen dieser Oszillatoren in der reflektierten bzw. in der nach rechts laufenden Welle addieren sich demnach an jeder Stelle zu Null. Mithilfe der Konstruktion dieser stehenden Welle lässt sich erkennen, dass dies der Fall ist, wenn die Welle mit einem Phasensprung von $\pi$ reflektiert wird. Bei $x=100 \mathrm{~cm}$ liegt ein festes Ende des Wellenträgers vor.

Die Stelle $60 \mathrm{~cm}$ wird von der Welle nach erreicht nach:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta t_{1}&=& \dfrac{\Delta x}{c} \\[5pt] \Delta t_{1}&=& \dfrac{0,6 \mathrm{~m}}{0,16 \mathrm{~ms}^{-1}} \\[5pt] \Delta t_{1}&=& 3,75 \mathrm{~s}\\[5pt] \Delta t_{1}&=& 1,5 \; \mathrm{T} \end{array}$

Hier beginnt der Oszillator mit seiner Schwingung nach oben und mit einer Amplitude von $1,0 \mathrm{~cm}.$ Die reflektierte Welle wird erreicht nach:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta t_{2}&=& \dfrac{\Delta x}{c} \\[5pt] \Delta t_{2}&=& \dfrac{0,8 \mathrm{~m}}{0,16 \mathrm{~ms}^{-1}} \\[5pt] \Delta t_{2}&=& 5 \mathrm{~s}\\[5pt] \Delta t_{2}&=& 2 \; \mathrm{T} \end{array}$

Ab diesem Zeitpunkt befindet sich der Oszillator in Ruhe, da er vom festen Ende des Wellenträgers den Abstand $\lambda$ hat. Er befindet sich in einem Schwingungsknoten der stehenden Welle.

In der Wellenwanne interferieren die von $E_{1}$ bzw. $E_2$ ausgehenden Wellen mit einem gewissen Gangunterschied. Ist der Gangunterschiede ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge, so löschen sich an diesen Stellen die beiden Wellen aus. Die Wasseroberfläche bleibt hier dauerhaft in Ruhe.

$\begin{array}[t]{rll} \Delta s&=& \overline{P E}_{1}-\overline{P E}_{2} \\[5pt] \Delta s&=& 3,7 \text{ cm} - 3,2 \text{ cm} \\[5pt] \Delta s&=& 0,5 \mathrm{~cm} \end{array}$

Aus Teilaufgabe a) folgt, dass der Punkt P in einem Bereich liegt, in dem der Gangunterschied der Wellen eine halbe Wellenlänge beträgt. Somit gilt $\lambda=1 \mathrm{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} f &=& \dfrac{c}{\lambda}\\[5pt] f &=& \dfrac{20 \mathrm{cm} \mathrm{~s}^{-1}}{1 \mathrm{~cm}}\\[5pt] f &=& 20 \mathrm{~Hz} \end{array}$

Zwischen $E_{1}$ bzw. $E_2$ interferieren gegenläufige Wellen, es bildet sich dort eine stehende Welle aus. Bei einer stehenden Welle sind die Oszillatoren nur dann momentan in Ruhe, wenn sie Ihre maximale Auslenkung erreicht haben. Dies ist hier sicher nicht der Fall, da der Bereich zwischen $E_{1}$ und $E_{2}$ in der Aufnahme weder schwarze noch weiße Zonen erkennen lässt. Aus diesem Grund ist die Aussage der Schülerin falsch.

Bei größer werdender Frequenz wird die Wellenlänge kleiner. In P findet erneut destruktive Interferenz statt, wenn dort für den Gangunterschied gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta s &=& \dfrac{3}{2} \cdot \lambda \\[5pt] \Delta s &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{c}{f} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{f}{\Delta s} \\[5pt] f &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{c}{\Delta s} \\[5pt] f &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{20 \; \mathrm{cms}^{-1}}{0,5 \mathrm{~cm}} \\[5pt] f &=& 60 \mathrm{~Hz} \end{array}$

Somit beträgt die nächstgrößere Frequenz $60 \mathrm{~Hz.}$

Die beiden Wellenerreger haben einen Abstand von $3 \; \mathrm{~cm}$ . Das ist der maximal mögliche Gangunterschied in der Wellenwanne.

Für $\dfrac{\lambda}{2}=3 \mathrm{~cm}$ löschen sich die Wellen längs der Geraden durch $E_{1}$ bzw. $E_{2}$ links von $E_{1}$ bzw. rechts von $E_{2}$ aus. Die dazu passende Frequenz beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} f&=& \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] f&=& \dfrac{20 \mathrm{~cms}^{-1}}{6 \mathrm{~cm}} \\[5pt] f&=& \dfrac{10}{3} \mathrm{~Hz} \\[5pt] \end{array}$

Für $f \lt \dfrac{10}{3} \mathrm{~Hz}$ gibt es in der Wellenwanne keine Punkte, die dauerhaft in Ruhe sind.

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