Aufgabe 3 – Felder

Ein Kondensator besteht aus zwei quadratischen Platten mit den Seitenlängen $40\,\text{cm}$ und dem Abstand $12\,\text{cm}.$ Zunächst wird an den Kondensator eine Spannung $U$ von $9,0 \,\text{kV}$ angelegt. Das Feld zwischen den Platten wird stets als homogen betrachtet.

Berechne den Betrag der elektrischen Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten und den Betrag der Ladung auf den Platten.

Abbildung 1

Zwischen den Platten befindet sich eine geladene Kugel (siehe Abb. 1). Die Kugel ist über einen Kunststoffstab an einem Sensor befestigt, der die horizontale Kraft $\text F$ auf die Kugel misst. Diese Kraft wird nun für verschiedene Spannungen am Kondensator gemessen (siehe Tab. 1).

$\color{#fff}{\text U}$ in $\color{#fff}{\text{kV}}$	$\color{#fff}{\text F}$ in $\color{#fff}{\text{mN}}$
9,0	1,7
7,5	1,4
4,8	0,9
3,9	0,8
2,8	0,5

Tabelle 1

Stelle die Messwerte in einem geeigneten Diagramm dar.

Ermittle unter Verwendung aller Messwerte eine Gleichung für die elektrische Kraft in Abhängigkeit von der Spannung.

Bestimme unter Verwendung aller Messwerte einen Wert für die Ladung auf der Kugel.

Die Spannung am Kondensator wird im Folgenden konstant gehalten. Der Abstand zwischen den Kondensatorplatten wird vorsichtig halbiert, ohne dass die geladene Kugel dabei berührt wird. Anschließend wird wieder die horizontale Kraft auf die Kugel gemessen.

Beschreibe die Änderung des Anzeigewertes des Kraftsensors und begründe deine Antwort.

(10 VP)

In einem evakuierten, quadratischen Bereich der Seitenlänge $10 \,\text{cm}$ können homogene elektrische oder magnetische Felder erzeugt werden. Diese Felder sind in der Zeichenebene jeweils entweder horizontal oder vertikal orientiert oder sie verlaufen senkrecht zur Zeichenebene. Es ist immer genau eines der oben benannten Felder vorhanden und füllt immer den gesamten Bereich aus. Das jeweilige Feld ist während des Versuchs zeitlich konstant. Vom Einfluss der Gravitation ist abzusehen.

Abbildung 2

Von links treten Elektronen mit der Geschwindigkeit $1,5 \cdot 10^7 \,\text{ms} ^{-1}$ bei $\text Q$ horizontal in den Bereich ein (siehe Abb. 2).

Gib an, ob es möglich ist, dass die Elektronen die Anordnung bei $S$ mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag wieder verlassen und begründe deine Antwort.

Nach einer neuen Wahl eines Feldes treten die Elektronen mit dem Geschwindigkeitsbetrag von $1,5 \cdot 10^7 \,\text{ms} ^{-1}$ bei $\text T$ aus.

Gib an, um welche Art von Feld es sich handeln muss und wie es orientiert ist. Begründe deine Antworten.

Bestimme den Betrag der Größe, welche die Stärke des in b) bestimmten Feldes beschreibt.

In einem weiteren Versuch sollen die Elektronen mit dem halben Betrag der Eintrittsgeschwindigkeit aus der Anordnung austreten.

Diskutiere für jeden der Orte $Q,$ $R,$ $S$ und $T,$ ob dies möglich ist.

Bestimme für alle geeigneten Felder aus d) die Orientierung des Feldes und den Betrag der Größe, welche die Stärke des Feldes beschreibt.

(12 VP)

Zur Untersuchung der Masse von lonen können Massenspektrometer eingesetzt werden. Die lonen werden dazu auf eine bestimmte Geschwindigkeit beschleunigt und treten bei $A$ horizontal in den Bereich eines homogenen Magnetfeldes ein (siehe Abb. 3).

Abbildung 3

In einem Experiment zur Bestimmung der Masse einfach positiv geladener Sauerstoff-lonen haben diese bei $A$ eine Geschwindigkeit von $1,9 \cdot 10^5 \,\text{ms} ^{-1}.$ Bei verschiedenen magnetischen Flussdichten $B$ wird der Abstand $d$ der Auftreffpunkte der lonen zum Punkt $A$ gemessen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 dargestellt.

$\color{#fff}{ B }$ in $\color{#fff}{ \text T}$	$\color{#fff}{ d }$ in $\color{#fff}{\text{cm}}$
0,20	32,0
0,24	25,8
0,35	18,2
0,50	12,5

Tabelle 2

Zeige, dass die Messwerte folgenden Zusammenhang bestätigen: $B \sim \dfrac{1}{d}.$

Bestimme unter Verwendung aller Messwerte einen Wert für die Masse der lonen.

In einem neuen Experiment wird die Eintrittsgeschwindigkeit bei konstanter Flussdichte variiert.

Zeige, dass die Verweildauer der lonen im Magnetfeldbereich unabhängig von der Eintrittsgeschwindigkeit ist.

(8 VP)

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Für den Betrag der elektrischen Feldstärke gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& \dfrac{U}{d} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& \dfrac{U}{d} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{9 \cdot 10^3 \;\text{V}}{0,12 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,5 \cdot 10^4 \;\text{Vm}^{-1} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Ladung einer Platte wird mit Hilfe der folgenden Beziehung berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{Q}{A}&=& \varepsilon_0 \cdot E&\quad \scriptsize \mid\; \cdot A \\[5pt] Q&=& \varepsilon_0 \cdot E \cdot A &\quad \scriptsize \mid\; E=\dfrac{U}{d} \cdot A \\[5pt] Q&=& \varepsilon_0 \cdot \dfrac{U}{d} \cdot A \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$Q=1,1 \cdot 10^{-7} \;\text{C}$

Die Messwerte für die Kraft in Abhängigkeit von der Kondensatorspannung liegen in guter Näherung auf einer Ursprungsgeraden. Zwischen der elektrischen Kraft und der Spannung am Kondensator gilt die Beziehung:

$\begin{array}[t]{rll} F&=& k \cdot U &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$k$ lässt sich aus der Steigung der im Diagramm zur Teilaufgabe b) eingezeichneten Ausgleichsgeraden ermitteln:

$\begin{array}[t]{rll} k&=& \dfrac{1,5 \;\text{mN}}{8,0 \;\text{kV}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,9 \cdot 10^{-7} \;\text{NV}^{-1} \end{array}$

Einsetzen von $k$ in die Gleichung der Kraft liefert:

$\begin{array}[t]{rll} F&=& k \cdot U &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,9 \cdot 10^{-7} \;\text{NV}^{-1} \cdot U \end{array}$

Die Ladung der im Feld befindlichen Kugelladung ergibt sich aus folgender der Beziehung:

$\begin{array}[t]{rll} F&=& q \cdot E &\quad \scriptsize \mid\; E=\dfrac{U}{d}\\[5pt] &=& q \cdot \dfrac{U}{d} &\quad \scriptsize \mid\; F=k\cdot U\\[5pt] &=& k\cdot U \end{array}$

Gleichsetzen der Ausdrücke für $F$ liefert für $q:$

$\begin{array}[t]{rll} q \cdot \dfrac{U}{d}&=& k\cdot U &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{d}{U}\\[5pt] q&=& k\cdot d \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} q &=& k\cdot d &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,9 \cdot 10^{-7} \;\text{NV}^{-1} \cdot 0,12 \;\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,3 \cdot 10^{-8} \;\dfrac{\text{J}}{\text{V}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 23 \;\text{nC} \end{array}$

Halbieren des Plattenabstands liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& \dfrac{U}{d_{0,5}}&\quad \scriptsize \mid\; d_{0,5}=d\cdot 2 \\[5pt] E &=& \dfrac{U}{2\cdot d}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2\cdot E &=& \dfrac{U}{d}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Durch das Halbieren des Plattenabstands bei konstanter Kondensatorspannung wird die elektrische Feldstärke folglich $E=\dfrac{U}{d}$ doppelt so groß.

Einsetzen in die Formel für die elektrische Feldstärke liefert:

$\begin{array}[t]{rll} F_{el}&=& q\cdot E&\quad \scriptsize \mid\; d_{0,5}=d\cdot 2 \\[5pt] F_{el}&=& q \cdot \dfrac{U}{d_{0,5}} &\quad \scriptsize \\[5pt] F_{el}&=& q \cdot \dfrac{U}{2\cdot d}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2\cdot F_{el} &=& q\cdot \dfrac{U}{d}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Durch das Hlabieren des Plattenabstands bei konstanter Kondensatorspannung verdoppelt sich folglich auch die Kraft $F_{e l}=q \cdot E$ auf die Probeladung.

In einem Magnetfeld, dessen Feldlinien parallel zur Flugrichtung der Elektronen orientiert sind, wirkt auf die Elektronen im Feldbereich keine Kraft. Sie verlassen den Bereich bei $S$ ohne Änderung der Geschwindigkeit.

Sind die Feldlinien eines Magnetfelds senkrecht in die Zeichenebene hinein gerichtet, so wirkt auf die Elektronen im Bereich die Lorentzkraft als Zentripetalkraft. Die Elektronen erreichen bei passender Flussdichte den Punkt $T$ längs einer Viertelkreisbahn mit unverändertem Geschwindigkeitsbetrag.

Wie in b) beschrieben gilt:

$\begin{array}[t]{rll} F_L&=& F_z &\quad \scriptsize \\[5pt] e \cdot v \cdot B&=& m \cdot \dfrac{v^2}{r}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{e\cdot v }\\[5pt] B&=& \dfrac{m \cdot v^2}{r\cdot e\cdot v}&\quad \scriptsize \\[5pt] B&=&\dfrac{m\cdot v}{r\cdot e}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Kreisbahnradius beträgt $5 \;\text{cm}.$ Einsetzen der Werte liefert für die notwendige magnetische Flussdichte $B:$

$\begin{array}[t]{rll} B&=&\dfrac{m\cdot v}{r\cdot e}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{9,1 \cdot 10^{-31} \;\text{kg} \cdot 1,5 \cdot 10^7 \;\text{ms}^{-1}}{1,6 \cdot 10^{-19} \;\text{C} \cdot 0,05 \;\text{m}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,7 \;\text{mT} \end{array}$

Austritt der Elektronen bei $Q, R, S$ oder $T$ mit halbiertem Geschwindigkeitsbetrag:

Unter dem Einfluss eines homogenen magnetischen Felds ist dies bei vorliegender Anordnung bei keinem der Punkte möglich, da sich der Geschwindigkeitsbetrag nicht ändert. Ein homogenes elektrisches Feld, das vertikal ausgerichtet ist, bewirkt eine vertikale Beschleunigung und damit ein Anwachsen des Betrags der Geschwindigkeit. Daher können die Elektronen nicht mit dem halben Geschwindigkeitsbetrag in $R$ oder $T$ den Feldbereich verlassen.

Ein Austritt mit halbiertem Geschwindigkeitsbetrag ist nur bei S möglich, wenn die elektrischen Feldlinien horizontal nach rechts gerichtet sind und die Feldstärke passend gewählt wird. Durch ein weiteres Erhöhen der elektrischen Feldstärke werden die Elektronen zum Stillstand abgebremst. Sie kehren dann zu Q zurück und verlassen dort den Bereich aufgrund der Energieerhaltung aber mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag wie beim Eintritt. Somit ist ein Austritt mit halbiertem Geschwindigkeitsbetrag bei $Q$ nicht möglich.

Wie bereits in d) erwähnt, müssen die elektrischen Feldlinien horizontal nach rechts gerichtet sein, sodass die Elektronen abgebremst werden. Die passende Stärke ergibt sich aus dem Energieansatz:

Rechenweg anzeigen

$E= \dfrac{\dfrac{3}{8}\cdot m \cdot v_0^2}{e \cdot d}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& \dfrac{\dfrac{3}{8}\cdot m \cdot v_0^2}{e \cdot d} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{8} \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \;\text{kg} \cdot\left(1,5 \cdot 10^7 \;\text{ms}^{-1}\right)^2}{1,6 \cdot 10^{-19} \;\text{As} \cdot 0,1 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,8 \cdot 10^3 \;\text{Vm}^{-1} \end{array}$

Falls das Produkt aus Flussdichte und Abstand der Auftreffpunkte konstant ist, sind die Größen umgekehrt proportional zueinander:

$\color{#fff}{B}$ in T	$\color{#fff}{d}$ in cm	$\color{#fff}{B \cdot d}$ in $\color{#fff}{10^{-2}}$ Tm
0,20	32,0	6,40
0,24	25,8	6,19
0,35	18,2	6,37
0,50	12,5	6,25

Das Produkt ist näherungsweise konstant, der Mittelwert ist $B \cdot d=6,3 \cdot 10^{-2} \;\text{Tm}.$

Die lonen erfahren im magnetischen Feld eine Lorentzkraft, die als Zentripetalkraft wirkt. In der Folge durchlaufen die Ionen eine Halbkreisbahn bis zum Auftreffen auf dem Schirm.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} F_L&=& F_z &\quad \scriptsize \\[5pt] e \cdot v \cdot B&=& m \cdot \dfrac{v^2}{r} &\quad \scriptsize \\[5pt] e \cdot v \cdot B&=& m \cdot \dfrac{v^2}{r} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{r}{v^2} \\[5pt] \dfrac{e \cdot v \cdot B\cdot r}{v^2}&=& m &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{e \cdot B\cdot r}{v}&=& m &\quad \scriptsize \mid\; r=\dfrac{d}{2} \\[5pt] \dfrac{e \cdot B\cdot d}{2\cdot v}&=& m &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{e \cdot B\cdot d}{2\cdot v} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1,6 \cdot 10^{-19} \,\text{As} \cdot 6,3 \cdot 10^{-2} \;\text{Tm}}{2 \cdot 1,9 \cdot 10^5 \;\text{ms}^{-1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,7 \cdot 10^{-26} \;\text{kg} \end{array}$

Für die Verweildauer der lonen im Feld gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{\pi \cdot r}{v} &\quad \scriptsize \mid\; v=\dfrac{e \cdot B \cdot r}{m}\\[5pt] &=&\dfrac{\pi \cdot r}{\dfrac{e \cdot B \cdot r}{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\pi \cdot r\cdot m}{e \cdot B \cdot r} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\pi \cdot m}{e \cdot B } &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der in b) genannten Beziehung von $v$ in die Verweildauer liefert folglich einen Ausdruck unabhängig von der Eintrittsgeschwindigkeit.

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