Aufgabe 1 – Mechanische Schwingungen

Ein horizontales Federpendel besteht aus einer auf Zug und Druck belastbaren Feder mit der Federkonstanten $13,9 \; \text{Nm}^{-1}$ und einem daran befestigten Körper der Masse $250 \;\text{g}.$

Der Körper wird in $\text s$ -Richtung um $2,0 \,\text{cm}$ aus der Ruhelage nach rechts ausgelenkt und zum Zeitpunkt $0 \;\text{s}$ losgelassen (siehe Abbildung 1). Die Masse der Feder bleibt unberücksichtigt und Reibungseffekte werden zunächst vernachlässigt.

Abbildung 1

Zeige, dass die Periodendauer der Schwingung $0,84 \;\text{s}$ beträgt.

Bestimme den Ort des schwingenden Körpers zum Zeitpunkt $0,50 \;\text{s}.$

Die Anordnung soll nun so verändert werden, dass sich bei der Amplitude von $2,0 \;\text{cm}$ sowohl die maximale beschleunigende Kraft als auch die Periodendauer der Schwingung verdoppeln.

Erläutere die hierzu nötigen Veränderungen im Versuchsaufbau.

Nun wird wieder die anfängliche Anordnung betrachtet. Tatsächlich ist die Schwingung so gedämpft, dass die Amplitude linear abnimmt. Abbildung 2 zeigt das zugehörige Zeit-Auslenkung-Diagramm.

Abbildung 2

Bestimme, wie viel Prozent der anfänglichen Energie nach den ersten sechs Perioden noch im Federpendel enthalten ist.

Bestimme möglichst genau die Abnahme der Amplitude pro Schwingungsperiode.

Für die Auslenkungen $\hat{\text s}_1$ und $\hat{\text s}_2$ zweier unmittelbar aufeinander folgender Umkehrpunkte des schwingenden Körpers gilt die Beziehung $\hat{s}_1-\hat{\text s}_2=\dfrac{2\cdot F_\text R}{D}.$ Dabei ist $F_\text R$ die bei der Schwingung wirkende Reibungskraft und $D$ die Federkonstante.

Bestimme den Betrag der Reibungskraft.

(12 VP)

In einem Experiment mit einem elektromagnetischen Schwingkreis wird die Spannung am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit gemessen (siehe Abbildung 3).

Zeichne einen möglichen Schaltplan für dieses Experiment und beschreibe dessen Durchführung.

Begründe, warum die Amplitude der Spannung mit der Zeit abnimmt.

Abbildung 3

Im Folgenden werden ungedämpfte Schwingungen betrachtet.

Leite die Differenzialgleichung $\ddot{Q}(t)=-\dfrac{1}{LC}\cdot Q(t)$ für die zeitliche Änderung der elektrischen Ladung eines elektromagnetischen Schwingkreises her.

Die Differenzialgleichung für die zeitliche Änderung der Auslenkung eines Federpendels lautet: $m\cdot\ddot{\text s}(t)+D\cdot \text s(t)=0$

Vergleiche die beiden Differenzialgleichungen hinsichtlich ihrer mathematischen Struktur und gib sich entsprechende Größen an.

Ein elektromagnetischer Schwingkreis soll eine Periodendauer von $0,84 \;\text{s}$ haben. Es stehen dafür drei Kondensatoren mit $1,0 \,\mu \text F,$ $100 \,\mu \text F$ und $100 \;\text{mF}$ und eine Spule mit kontinuierlich veränderlicher Induktivität im Bereich von $100\,\text{mH}$ bis $10\,\text H$ zur Verfügung.

Bestimme ein passendes Wertepaar aus Kapazität und Induktivität.

(11 VP)

Bei der Darstellung von geradlinigen Bewegungen werden häufig Diagramme erstellt, die den funktionalen Zusammenhang zwischen unterschiedlichen physikalischen Größen zeigen.
Beurteile für jedes der Diagramme aus Abbildung 4, ob es zu einer harmonischen Schwingung gehören kann.

Abbildung 4a

Abbildung 4b

Abbildung 4c

Abbildung 4d

(7 VP)

Gegeben: $D= 13,9 \;\frac{\text{N}}{\text{m}},$ $m=250 \;\text{g}= 0,25\;\text{kg}$

Gesucht: $T$

Lösung:

$\begin{array}[t]{rll} T &=& 2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{m}{D}} \\[5pt] T &=& 2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{0,250\,\mathrm{~kg}}{13,9\,\mathrm{~Nm}^{-1}}} \\[5pt] T &=& 0,84\,\text{s} \end{array}$

Gegeben: $\hat{s} = 2\;\text{cm},$ $T = 0,84 \text{ s}$

Gesucht: $s(0,5)$

Lösung:

$s(t)=\hat{s}\cdot\cos(\omega t)=\hat{s}\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot t\right)$

Es gilt $\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$ und somit:

$s(0,50)=2,0 \text{ cm}\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{0,84}\cdot 0,50\right)$ $\approx -1,7 \text{ cm}$

Nach 0,5 Sekunden hat sich der Körper um ca. 1,7 cm nach links ausgehend von der Ruhelage bewegt.

1. Schritt: Formeln von denen das Federpendel abhängt

Die Kraft, die auf den Körper einwirkt, ist gegeben durch: $F=D \cdot s$ . Aus dieser Formel kann die Formel für die maximale Kraft $\hat{F}$ , die auf den Körper einwirkt, gefolgert werden. Diese ist $\hat{F}=D\cdot\hat{s}$ . Die Formel für die Periodendauer ist schon in der Teilaufgabe a) gegeben.

2. Schritt: Veränderung der Formeln durch veränderte Anordnung

Es gilt $\hat{F}=D\cdot\hat{s}$ . Nach Aufgabenstellung soll $\hat{s}$ konstant bleiben. Daraus folgt bei Verdoppelung von $\hat{s}$ dass sich auch $D$ verdoppeln muss. Es muss eine neue Feder mit $\(D$ gewählt werden.

Für die neue Periodendauer der Schwingung gilt mit $\(D$ :

$\(\begin{array}[t]{rll} T$

Wird die Masse des Pendelkörpers auf den achtfachen Betrag erhöht, so verdoppelt sich die Schwinungsdauer. Hierbei beträgt die Periodendauer dann $\(T$

Die Formel der Spannenergie ist gegeben durch $E=\frac{1}{2}\cdot D\cdot\hat{s}^2$ . Aus dem Diagramm kann abgelesen werden, dass sich die maximale Auslenkung nach 6 Perioden auf $\(\hat{s}$ halbiert hat. Also ist $\(\hat{s}$ Die Federkonstante bleibt laut Aufgabenstellung gleich. Damit verändert sich auch die im System befindliche Energie. Für das Verhältnis der beiden Energien ergibt sich folgendes:

$\(\dfrac{E$ $\(= \dfrac{ \frac{1}{2}\cdot D\cdot {\hat{s}$ $= \dfrac{ \frac{1}{2}\cdot D\cdot {(\frac{1}{2} \cdot \hat{s})}^2}{\frac{1}{2}\cdot D\cdot\hat{s}^2}$ $= \dfrac{ \frac{1}{2}\cdot D\cdot \frac{1}{4} \cdot \hat{s}^2}{\frac{1}{2}\cdot D\cdot\hat{s}^2}$ $= \dfrac{1}{4}$ $= 25 \,\%$

Die noch im System befindliche Energie beträgt nur noch $25 \, \%$ der anfänglichen Energie.

In den ersten sechs Perioden nimmt die Amplitude um $1 \text{ cm}$ ab. Da die Abnahme nach Aufgabenstellung linear verläuft ist sie bei jeder Schwingungsperiode gleich. Die Abnahme pro Periode beträgt also $\Delta s=$ $\dfrac{2 \text{ cm} - 1 \text{ cm}}{6} = \dfrac{1}{6}\,\text{cm}$ .

$\begin{array}[t]{rll} \hat{s_1}-\hat{s_2} &=& \dfrac{2\cdot F_R}{D} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot D \\[5pt] \hat{s_1}-\hat{s_2} \cdot D &=& 2 \cdot F_R &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] (\hat{s_1}-\hat{s_2}) \cdot \dfrac{D}{2} &=& F_R \end{array}$

Da die Umkehrpunkte unmittelbar aufeinanderfolgen gilt: $\hat{s_1}-\hat{s_2}=\dfrac{\Delta s}{2}.$ Damit kann die Reibungskraft wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} F_R &=& (\hat{s_1}-\hat{s_2}) \cdot \dfrac{D}{2} \\[5pt] F_R &=& \dfrac{\Delta s}{2} \cdot \dfrac{D}{2} \\[5pt] F_R &=& \dfrac{\frac{1}{6} \cdot 10^{-2} \text{ m}}{2} \cdot \dfrac{13,9 \text{ Nm}^{-1}}{2} \\[5pt] F_R &=& 5,8 \text{ mN} \\[5pt] \end{array}$

Der Kondensator wird aufgeladen (Schalterstellung 1). Sobald der Schalter umgelegt wird (Schalterstellung 2), wird die am Kondensator anliegende Spannung über einen längeren Zeitraum aufgezeichnet.

Aufgrund des ohmische Widerstands der Spule und der Kabel wird ein Teil der Energie des Schwingkreises in thermische Energie (Wärme) umgewandelt.

Herleitung der Differenzialgleichung

$U_L(t)$ ist die Spannung an der Spule in Abhänigkeit der Zeit. $U_C(t)$ ist die Spannung am Kondensator in Abhänigkeit der Zeit. Da keine Spannungsquelle anliegt ist die Spannung des Schwingkreises gleich null. Somit gilt: $U_L(t)+U_C(t)=0.$

Für die Spannung $U_L(t)$ an der Spule gilt: $U_L(t)=L\cdot \dot{I}(t)$ .

Für die Spannung $U_C(t)$ an dem Kondensator gilt: $U_C(t)=\dfrac{Q(t)}{C}$ .

Einsetzen ergibt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\ddot{Q}(t) = - \dfrac{1}{L \cdot C} \cdot Q(t)$

Auflösen der Differenzialgleichung nach null:

$\begin{array}[t]{rll} \ddot{Q}(t) &=& - \dfrac{1}{L \cdot C} \cdot Q(t) &\quad \scriptsize \mid\; - \ddot{Q}(t) \\[5pt] 0 &=& - \dfrac{1}{L \cdot C} \cdot Q(t) - \ddot{Q}(t) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- L) \\[5pt] 0 &=& \dfrac{Q(t)}{C} + L\cdot\ddot{Q}(t) \\[5pt] 0 &=& L\cdot\ddot{Q}(t)+\dfrac{Q(t)}{C} \end{array}$

Die beiden Gleichungen $L\cdot\ddot{Q}(t)+\dfrac{Q(t)}{C}=0$ und $m\cdot\ddot{s}(t)+D\cdot s(t)=0$ sind bzgl. ihrer mathematischen Struktur in Vorzeichen und Form identisch.
Die Masse $m$ entspricht der Eigeninduktivität $L$ . Die Federkonstante $D$ entspricht dem Kehrwert der Kapazität $C.$

$T=2\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}$ ist die Formel für die Periodendauer im elektromagnetischem Schwingkreis.
Durch Probieren stellt sich heraus, dass sich die Periodendauer nur mit einer Kapazität von $100 \text{ mF}$ erreichen lässt.
Aus $L=\dfrac{T^2}{4\pi^2\cdot C}=\dfrac{(0,84 ~ \text{s})^2}{4\pi^2\cdot 100 \,\text{mF}}=0,18\,\text{H}$ ergibt sich die passende Induktivität.

Wenn der Betrag der rücktreibenden Kraft proportional zur Auslenkung ist, dann ist eine Schwingung harmonisch.

Beurteilung Schaubild 4a: Wenn $F$ beschleunigende Kraft und als rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung $s$ ist, kann das Schaubild zu einer harmonischen Schwingung gehören.
Beurteilung Schaubild 4b: Hierbei kann es sich nicht um eine harmonische Schwingung handeln, da die Geschwindigkeit keine negative Werte annehmen kann und der Körper sich somit nur in eine Richtung bewegt.
Beurteilung Schaubild 4c: Das Schaubild kann zu einer harmonischen Schwingung gehören. Hierbei gilt $a(t)=\hat{a}\cdot \sin(\omega t+\varphi)$ . Weil $F=m\cdot a,$ gilt Entsprechendes für $F(t)$ .
Beurteilung Schaubild 4d: Das Schaubild passt nicht zu einer harmonischen Schwingung, weil ein harmonisch schwingender Körper in seinem Umkehrpunkt seiner Bewegung die Geschwindigkeit $0\,\text{ms}^{-1}$ hat und dies hier nicht vorliegt.