Aufgabe 1 – Mechanische Schwingungen
1.
Mithilfe des Beschleunigungssensors eines Smartphones soll die Schwingung eines vertikalen Federpendels untersucht werden. Hierzu wird das Smartphone an eine Feder angehängt. Abbildung 1 zeigt den Aufbau in der Gleichgewichtslage. Es wird um 
nach unten aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Dafür wird eine Kraft von 
benötigt. Zum Zeitpunkt 
wird das Smartphone losgelassen und die Messung gestartet. Abbildung 2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Beschleunigung.
Die Schwingung kann als harmonisch angenommen werden. Die Masse der Feder sowie die Luftreibung sollen vernachlässigt werden.
nach unten aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt. Dafür wird eine Kraft von benötigt. Zum Zeitpunkt wird das Smartphone losgelassen und die Messung gestartet. Abbildung 2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Beschleunigung.
Die Schwingung kann als harmonisch angenommen werden. Die Masse der Feder sowie die Luftreibung sollen vernachlässigt werden.
Abbildung 1
Abbildung 2
a)
Zeige, dass die Federkonstante in diesem Experiment 
beträgt.
beträgt.
b)
Gib einen Funktionsterm für die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit an.
c)
Ermittle, in welchen Zeitintervallen sich im Bereich 
eine Auslenkung 
oberhalb der Gleichgewichtslage ergibt.
eine Auslenkung oberhalb der Gleichgewichtslage ergibt.
d)
Bestimme die Masse des Smartphones.
e)
Ermittle den Betrag der Geschwindigkeit des Smartphones beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage.
(9 VP)
2.
Auf einem 
langen, linearen Wellenträger breitet sich eine Welle in 
-Richtung aus. Der Erreger befindet sich am linken Ende des Wellenträgers und beginnt zum Zeitpunkt aus der Gleichgewichtslage nach oben zu schwingen.
Abbildung 3 zeigt das Momentanbild des Wellenträgers zum Zeitpunkt 
langen, linearen Wellenträger breitet sich eine Welle in -Richtung aus. Der Erreger befindet sich am linken Ende des Wellenträgers und beginnt zum Zeitpunkt aus der Gleichgewichtslage nach oben zu schwingen.
Abbildung 3 zeigt das Momentanbild des Wellenträgers zum Zeitpunkt
Abbildung 3
a)
Erläutere, wie es zu dem in Abbildung 3 dargestellten Diagramm kommt.
b)
Zeige, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf diesem Wellenträger 
beträgt.
beträgt.
c)
Zeichne für die Stelle 
des Wellenträgers das 
-
-Diagramm für den Zeitraum 
Antonia und Bert treffen Aussagen über das Momentanbild in Abbildung 3.
Antonia behauptet: „Zu diesem Zeitpunkt sind genau fünf Stellen des Wellenträgers in Ruhe.“
Bert behauptet: „Die beiden Punkte des Wellenträgers an den Stellen des Wellenträgers das --Diagramm für den Zeitraum
und 
besitzen in diesem Moment unterschiedliche Geschwindigkeiten."
d)
Beurteile die Aussagen.
(12 VP)
3.
Ein Wagen der Masse 
wird zwischen zwei identische Schraubenfedern mit gleicher Federkonstante eingespannt (siehe Abb. 4).
Der Wagen wird unterschiedlich weit aus der Gleichgewichtsposition bei 
ausgelenkt und an diesen Positionen festgehalten. In Abbildung 5 ist die Kraft 
der linken Feder auf den Wagen in Abhängigkeit von der Position 
des Wagens dargestellt.
ausgelenkt und losgelassen. Reibung und die Masse der Federn werden vernachlässigt.
wird zwischen zwei identische Schraubenfedern mit gleicher Federkonstante eingespannt (siehe Abb. 4).
Abbildung 4
ausgelenkt und an diesen Positionen festgehalten. In Abbildung 5 ist die Kraft der linken Feder auf den Wagen in Abhängigkeit von der Position des Wagens dargestellt.
a)
Bestimme, um welche Strecke die linke Feder gedehnt wurde, wenn der Wagen an der Position 
ist.
ist.
b)
Zeichne in Abbildung 5 für den Bereich 
ein Schaubild für die Kraft 
ein, welche die rechte Feder auf den Wagen ausübt.
Der Wagen wird nun um ein Schaubild für die Kraft ein, welche die rechte Feder auf den Wagen ausübt.
Abbildung 5
ausgelenkt und losgelassen. Reibung und die Masse der Federn werden vernachlässigt.
c)
Zeige, dass der Wagen eine harmonische Schwingung ausführt und bestimme die Periodendauer der entstehenden Schwingung.
(9 VP)
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1.
a)
Bei einer harmonischen Schwingung gilt für die rücktreibende Kraft 
. Für die Federkonstante 
gilt damit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
F_R&=& -D \cdot s &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{-s} \\[5pt]
\dfrac{F_R}{-s}&=& D &\quad \scriptsize \ \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/44f5e0655ee37cc06e39f1400f1fd89bdb8f9da18b3cc7f25027b703e72b3f97_light.svg)
Einsetzen der Werte liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
D&=& \dfrac{F_R}{-s} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{0,40 \;\text{N}}{8 \;\text{cm}} &\quad \scriptsize \ \\[5pt]
&=& \dfrac{0,40 \;\text{N}}{0,08 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \ \\[5pt]
&=& 5,0 \;\dfrac{\text{N}}{\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/35e70ca740eddff137e5922b21bb0b5ba255509355a399ca1516f1eb05d12aef_light.svg)
. Für die Federkonstante gilt damit:
Einsetzen der Werte liefert:
b)
Für die Beschleunigung 
![\(\begin{array}[t]{rll}
a(t)&=& a_{\max } \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} \cdot t\right)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9bb486874f36f9a057931b1e096e642ab642dc663acc10fb94d17a4319173860_light.svg)
Die 
-Werte der Hochpunkte und der Betrag der -Werte der Tiefpunkte der Abbildung entsprechen dem Betrag der maximalen Beschleunigung. Die Periodendauer lässt sich ebenfalls aus dem Diagramm ablesen.
Einsetzen der Werte liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a(t)&=& a_{\max } \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} \cdot t\right)&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 2,2 \;\text{ms}^{-2} \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{1,2 \;\text{s}} \cdot t\right)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/73b0084689487f5c615905fdd768a825dcbdc6b6f2929bbe5cd13dd01d4dc721_light.svg)
Die -Werte der Hochpunkte und der Betrag der -Werte der Tiefpunkte der Abbildung entsprechen dem Betrag der maximalen Beschleunigung. Die Periodendauer lässt sich ebenfalls aus dem Diagramm ablesen.
Einsetzen der Werte liefert:
c)
Das Smartphone hat immer dann eine positive Auslenkung, wenn die Beschleunigung negativ ist. Aus dem Diagramm werden die passenden Zeitintervalle abgelesen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
] 0,3 \;\text{s}&;& 0,9 \;\text{s}[&\quad \scriptsize \\[5pt]
] 1,5 \;\text{s}&;& 2,1 \;\text{s}[&\quad \scriptsize \\[5pt]
] 2,7 \;\text{s}&;& 3,0 \;\text{s}[&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/80626ec3c3fca1bdd1fa961cb29a9236b90112af27c97e96dce3ab8901c525cd_light.svg)
d)
Für die Schwingungsdauer 
des harmonisch schwingenden Körpers gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
T&=& 2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{D}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{2 \pi} \\[5pt]
\dfrac{T}{2 \pi}&=& \sqrt{\dfrac{m}{D}}&\quad \scriptsize \mid\;(\;)^2 \\[5pt]
\left(\dfrac{T}{2 \pi}\right)^2&=& \dfrac{m}{D}&\quad \scriptsize \mid \cdot D \\[5pt]
D \cdot \dfrac{T^2}{4 \pi^2}&=& m
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ec04a09643374951fbabff2edba3bcc9c91366f041d1bdde092fe83e9d4ec80a_light.svg)
Einsetzen der Werte liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=& D \cdot \dfrac{T^2}{4 \pi^2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 5,0 \;\dfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot \dfrac{(1,2 \;\text{s})^2}{4 \pi^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,18\;\text{kg}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ac7b8cccad931e10ab570feeefd707d23f7a10076a5bd1f475ca1158788c5003_light.svg)
des harmonisch schwingenden Körpers gilt:
Einsetzen der Werte liefert:
e)
Beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage ist der Geschwindigkeitsbetrag maximal.
![\(\begin{array}[t]{rll}
a_{\max }&=& v_{\max } \cdot \omega&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{\omega} \\[5pt]
\dfrac{a_{\max }}{\omega}&=& v_{\max } &\quad \scriptsize \mid\; \omega=\dfrac{2 \pi}{T} \\[5pt]
\dfrac{a_{\max }\cdot T }{2 \pi}&=& v_{\max } &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cabf2613a496c925a383f3372feb2b7a7a185711aaad5c4e9d5bae35200b9e70_light.svg)
Einsetzen der Werte liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
v_{\max } &=& \dfrac{a_{\max }\cdot T }{2 \pi}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{2,2 \;\text{ms}^{-2} \cdot 1,2 \;\text{s}}{2 \pi} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,42 \;\text{ms}^{-1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2255287f36b1a1fba8ef88105da2c5983d52d9a2a20b44296d65d8258293632a_light.svg)
Einsetzen der Werte liefert:
2.
a)
Der Wellenerreger am linken Ende des 
langen Trägers schwingt mit einer Amplitude von 
Das rechte Ende des Trägers ist zum Zeitpunkt der Aufnahme um 
ausgelenkt. Demnach kann dieses Ende frei schwingen und befindet sich gerade im Zustand der maximalen Auslenkung. Die reflektierte Welle hat bereits eine Strecke von 
zurückgelegt und überlagert sich mit der einlaufenden Welle.
langen Trägers schwingt mit einer Amplitude von Das rechte Ende des Trägers ist zum Zeitpunkt der Aufnahme um ausgelenkt. Demnach kann dieses Ende frei schwingen und befindet sich gerade im Zustand der maximalen Auslenkung. Die reflektierte Welle hat bereits eine Strecke von zurückgelegt und überlagert sich mit der einlaufenden Welle.
b)
Die Welle hat in 
einen Weg von 
zurückgelegt. Daher beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
c&=& \dfrac{\Delta s}{\Delta t} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{1,35 \;\text{m}}{4,5 \;\text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,30 \;\text{ms}^{-1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2c7e03e5b4da6c5521819611a4f17aaad74227ff92c7f15e537a19a4eacdb1a4_light.svg)
einen Weg von zurückgelegt. Daher beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit:
c)
d)
Die Aussage von Antonia ist in dieser Form nicht richtig. Es stimmt zwar, dass an den fünf Stellen, an denen relative Maxima und Minima der Kurve zu sehen sind, die Momentangeschwindigkeit des Wellenträgers zu diesem Zeitpunkt null ist. Allerdings hat sich im rechten Teil des Wellenträgers bereits eine stehende Welle ausgebildet, dort haben zu diesem Zeitpunkt alle Oszillatoren die Geschwindigkeit null.
Berts Aussage ist somit ebenfalls nicht richtig. Der Oszillator an der Stelle 
befindet sich in Ruhe, da er maximal ausgelenkt ist. Auch der Oszillator bei 
befindet sich in Ruhe, da sich hier bereits eine stehende Welle mit maximaler Auslenkung an dieser Stelle ausgebildet hat.
befindet sich in Ruhe, da er maximal ausgelenkt ist. Auch der Oszillator bei befindet sich in Ruhe, da sich hier bereits eine stehende Welle mit maximaler Auslenkung an dieser Stelle ausgebildet hat.
3.
a)
Befindet sich der Wagen an der Position 
übt die linke Feder, wie das Diagramm zeigt, keine Kraft auf den Wagen aus. Die linke Feder ist daher in der Gleichgewichtslage um die Strecke 
gedehnt.
übt die linke Feder, wie das Diagramm zeigt, keine Kraft auf den Wagen aus. Die linke Feder ist daher in der Gleichgewichtslage um die Strecke gedehnt.
b)
c)
Die rücktreibende Kraft auf den Wagen ist für jede Auslenkung die Summe der beiden im Diagramm eingezeichneten Kräfte, die durch die linke bzw. rechte Feder ausgeübt werden. Durch Ordinatenaddition erhält man das Schaubild der resultierenden Kraft 
. Es ergibt sich die abgebildete Ursprungsgerade, demnach sind Kraft und Auslenkung proportional und entgegengesetzt gerichtet. Damit ist die Schwingung harmonisch.
Für die Richtgröße für das System gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
D&=&\dfrac{8 \;\text{N}}{0,1 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 80 \;\text{Nm}^{-1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/54a3e704ce40da0abf49e8b871d63c5cce2d8abe11efac8d8e2a472864c0d831_light.svg)
Damit folgt die Schwingungsdauer 
![\(\begin{array}[t]{rll}
T&=& 2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 2 \pi \sqrt{\dfrac{0,8 \;\text{kg}}{80 \;\text{Nm}^{-1}}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,63 \;\text{s}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d34a1aa78c9df8c4d108ba46636bfba683df2c3620cfe7baf242b2c50dea31a9_light.svg)
die Summe der beiden im Diagramm eingezeichneten Kräfte, die durch die linke bzw. rechte Feder ausgeübt werden. Durch Ordinatenaddition erhält man das Schaubild der resultierenden Kraft . Es ergibt sich die abgebildete Ursprungsgerade, demnach sind Kraft und Auslenkung proportional und entgegengesetzt gerichtet. Damit ist die Schwingung harmonisch.
Für die Richtgröße für das System gilt:
Damit folgt die Schwingungsdauer