Aufgabe 3 – Felder

In einem Experiment wird die magnetische Flussdichte $B$ im Mittelpunkt von verschiedenen kreisförmigen, stromdurchflossenen Leiterschleifen gemessen. Diese besitzen jeweils eine Windung und unterscheiden sich nur in ihrem Durchmesser $d.$ Vom Einfluss des Erdmagnetfeldes wird abgesehen.
In der ersten Messreihe hat die Leiterschleife einen Durchmesser von $1,3\,\text{cm}.$
Tabelle 1 enthält die zugehörigen Messwerte.

$\color{#fff}{I}$ in $\color{#fff}{\text A}$	$\color{#fff}{B}$ in $\color{#fff}{\text{mT}}$
5	0,48
10	0,93
15	1,4
20	1,9

Tabelle 1

Zeige, dass die magnetische Flussdichte $B$ proportional zur Stromstärke $I$ ist.

Eine zweite Messreihe wird bei konstanter Stromstärke von $20\,\text A$ durchgeführt (siehe Tab. 2).

$\color{#fff}{d}$ in $\color{#fff}{\text{cm}}$	$\color{#fff}{B}$ in $\color{#fff}{\text{mT}}$
1,3	1,9
3,2	0,79
5,7	0,43
7,4	0,34
10,3	0,25

Tabelle 2

Stelle für diese Stromstärke die magnetische Flussdichte $B$ in Abhängigkeit vom Durchmesser $d$ in einem Diagramm dar.

Formuliere eine Hypothese für den mathematischen Zusammenhang zwischen $B$ und $d$ und bestätige diese anhand der Messwerte.

Stelle mithilfe der Messwerte aus Tabelle 2 eine Formel zur Berechnung der magnetischen Flussdichte in diesen Leiterschleifen auf.

(9 VP)

In einer Versuchsanordnung befindet sich ein homogenes, scharf begrenztes Magnetfeld, dessen magnetische Flussdichte $2,0\,\text T$ beträgt und senkrecht in die Zeichenebene weist (siehe Abb. 1). Ein quadratischer Leiterrahmen mit der Kantenlänge $5,0\,\text{cm}$ und der Windungszahl $n=100$ bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit von $5,0\,\text{cm} \,\text{s}^{-1}$ in positive $\text s$ -Richtung. Zum Zeitpunkt $0\,\text s$ befindet sich der Rahmen in der dargestellten Position bei $\text s=0\,\text m.$

Abbildung 1

Erkläre das zeitweise Auftreten einer Induktionsspannung bei der Bewegung des Rahmens.

Stelle den magnetischen Fluss im Leiterrahmen für das Zeitintervall $0\,\text s\leq t\leq 7,0\,\text s$ in einem Diagramm dar.

Nun werden die Enden des Leiterrahmens mit einem ohmschen Widerstand von $10\,\Omega$ verbunden. Der Leiterrahmen wird wieder mit der gleichen konstanten Geschwindigkeit durch das Magnetfeld bewegt. Am Leiterrahmen kann die Kraft $\text F$ gemessen werden, die zum Bewegen des Rahmens nötig ist. Von Reibung ist abzusehen. In Abbildung 2 sind vier verschiedene $\text s$ - $\text F$ -Diagramme qualitativ dargestellt.

Abbildung 2

Begründe, welches Diagramm den Vorgang am besten darstellt.

Zeichne das von dir ausgewählte $\text s$ - $\text F$ -Diagramm mit den zum Versuch passenden Zahlenwerten.

Berechne die bei dem Gesamtvorgang aufzuwendende mechanische Energie.

(12 VP)

Ein Drahtrahmen mit 50 Windungen wird in einem homogenen Magnetfeld gedreht (siehe Abb. 3). Im $t$ - $U$ -Diagramm der Abbildung 4 ist eine sinusförmige Wechselspannung zu sehen, die beim Drehen des Rahmens an den Anschlüssen $\text P$ und $\text Q$ gemessen wird.

Abbildung 3

Abbildung 4

Bestimme anhand des Diagramms Frequenz und Amplitude der induzierten Wechselspannung.

Gib die Stellung des Rahmens relativ zu den Feldlinien zum Zeitpunkt maximaler Induktionsspannung an. Begründe deine Angabe.

Bestimme die magnetische Flussdichte.

Die Drehfrequenz ist nun halb so groß wie in Teilaufgabe a).

Zeichne das zugehörige $t$ - $U$ -Diagramm für das Zeitintervall $0\,\text s\leq t\leq 0,50\,\text s$ .

(9 VP)

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Lösung 1

$\color{#ffffff}{I}$ in $\color{#ffffff}{\text{A}}$	$\color{#ffffff}{B}$ in $\color{#ffffff}{\text{mT}}$	$\color{#ffffff}{\frac{I}{B}}$ in $\color{#ffffff}{\frac{\text{mT}}{A}}$
5	0,48	10,41
10	0,93	10,75
15	1,4	10,71
20	1,9	10,52

Die Stromstärke geteilt durch die Flussdichte liefert näherungsweise einen Wert. Da es sich um Messwerte handelt, sind Schwankungen normal. Damit ist $B$ proportional zu $I$ .

B-d-Diagramm

1. Schritt: Hypothese aufstellen

Im Diagramm ist erkennbar: Für größerer Werte für $d$ nimmt die magnetische Flussdichte $B$ ab.

Damit ist anzunehmen, dass $B$ und $d$ umgekehrt proportional zueinander sind: $B \sim \dfrac{1}{d}.$

2. Schritt: Hypothese anhand der Messwerte bestätigen

Wenn die Messwertepaare jeweils das selbe $k$ aus $B=k \cdot \frac{1}{d}$ mit $k=d \cdot B$ ergeben, ist die Hypothese bestätigt.

$\color{#ffffff}{d}$ in $\color{#ffffff}{\text{cm}}$	$\color{#ffffff}{B}$ in $\color{#ffffff}{\text{mT}}$	$\color{#ffffff}{k}$ in $\color{#ffffff}{\text{ cm}\cdot \text{ mT }}$
1,3	1,9	2,47
3,2	0,79	2,528
5,7	0,43	2,451
7,4	0,34	2,516
10,3	0,25	2,575

Da $k$ für alle Messwertpaare $\approx 2,5$ ergibt, ist $B \sim \frac{1}{d}$ .

Aus Teilaufgabe 1a folgt: $B\sim I$

Aus Teilaufgabe 1c folgt: $B \sim \dfrac{1}{d}$

Somit folgt insgesamt: $B \sim \dfrac{I}{d},$ bzw. $B= k\cdot \dfrac{I}{d}.$

$B = k\cdot \frac{I}{d}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$k=1,25 \cdot 10^{-6}\frac{\text{Tm}}{\text{A}}$

Damit folgt als Formel für die magnetische Flussdichte:

$B=1,25\cdot10^{-6}\frac{\text{Tm}}{\text{A}}\cdot \frac{I}{d}$

Lösung 2

Erklärung mittels Induktionsgesetz

Wenn der Leiterrahmen in das Magnetfeld eintaucht oder dieses verlässt, ändert sich die vom magnetischen Feld durchsetzte Fläche. Dadurch ändert sich der magnetische Fluss wegen $\Phi = B\cdot A,$ wodurch eine Spannung induziert wird.

Ist der Leiterrahmen ganz ins Magnetfeld eingetaucht, ändert sich die Fläche nicht. Ebenso wenn der Leiterrahmen sich nicht im Magnetfeld befindet. Hier wird folglich keine Spannung induziert.

Erklärung mittels Lorentzkraft

Wird der Leiterrahmen in das Magnetfeld eingtaucht, wirkt die Lotzentkraft auf im Leiterrahmen enthaltenenen Elektronen. Diese bewegen sich frei im Leiterrahmen und verschieben sich während des Eintauchvorgangs nach unten. Es kommt zur Ladungsunterschied, bzw. Elektronenmangel im oberen Teil des Leiterrahmens. Dadurch entsteht eine (Induktions-)Spannung.

Die Induktionsspannung bleibt konstant, bis der Leiterrahmen vollständig ins Magnetfeld eingetaucht ist. Hier ist der Ladungsunterschied wieder ausgeglichen, weswegen keine (Induktions-)Spannung mehr herrscht.

Verlässt der Leiterrahmen das Magnetfeld, so wiederholt sich der Eintauchvorgang, heißt hier entsteht wieder eine (Induktions-)Spannung.

1. Schritt: Änderung des magnetischen Flusses in Abschnitte einteilen

Der Magnetische Fluss $\Phi=A\cdot B$ ist von der Fläche abhängig.
Wenn die Leiterschleife in das Magnetfeld bei $s=10 \;\text{cm}$ eintritt, steigt der magnetische Fluss an.

Je mehr Fläche der Leiterschleife sich im Magnetfeld befindet, desto höher ist der magnetische Fluss.

Bei $s=15 \;\text{cm}$ befindet sich die Leiterschleife vollständig im Magnetfeld. Hier ist der Fluss maximal.

Sobald die Leiterschleife bei $s=25 \;\text{cm}$ austritt, sinkt der magnetische Fluss.

Der magnetische Fluss ist wieder null, wenn die Leiterschleife bei $s=30 \;\text{cm}$ vollständig aus dem Magnetfeld ausgetreten ist.

2. Schritt: Zeitpunkte der Abschnitte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} t &=& \dfrac{s}{v} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{s}{5\, \frac{\text{cm}}{\text{s}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$\color{#ffffff}{s}$ in $\color{#ffffff}{\text{cm}}$	$\color{#ffffff}{t}$ in $\color{#ffffff}{\text{s}}$
10	2
15	3
25	5
30	6

3. Schritt: Maximalen magnetischen Fluss berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \Phi_{max} &=& A \cdot B &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left( 0,05\,\text{m} \cdot 0,05\, \text{m} \right) \cdot 2,0 \,\text{T} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,005 \,\text{Tm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5 \cdot 10^{-3} \text{Tm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Diagramm erstellen

Es gilt $R= \dfrac{U}{I}.$ Somit fließt nur ein Strom, wenn eine Spannung induziert wird, heißt, wenn sich der magnetische Fluss ändert.

Die Lenz'sche Regel besagt, dass der Induktionsstrom immer seiner Ursache entgegenwirkt. Es wird also der Änderung des magnetischen Flusses entgegengewirkt.

Es finden zwei Flussänderungen statt: Beim Eintauchen und beim Verlassen des Magnetfeldes.

Der Änderung wird hierbei entgegengewirkt, indem die Bewegung gebremst wird. Dadurch steigt die zum Bewegen des Rahmens benötigte Kraft.

Es entsteht immer eine konstante Kraft, welche entgegengesetzt der Bewegungsrichtung wirkt, da die Änderung der Flussänderung jeweils einen konstanten Strom erzeugt. Damit hat die entstehende Kraft immer das gleiche Vorzeichen.

Folglich ist das Diagramm $2$ das Richtige.

1. Schritt: Maximale Krafteinwirkung berechnen

Auf den Leiterrahmen wirkt die Lorentzkraft:

$\mid F_{\text{Lorentz}} \mid$ $= n\cdot Q\cdot v\cdot B$ $= n\cdot Q\cdot \dfrac{d}{\Delta t}\cdot B$ $= n\cdot \dfrac{Q}{\Delta t}\cdot d\cdot B$ $= n\cdot I\cdot d\cdot B$

Es gilt: $I=\dfrac{U}{R}$

Auf einzelne Ladungen wirkt die Lorentzkraft $F_q.$ Für die Spannung $U,$ die in $n$ Schleifen erzeugt wirkt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} U&=& n\cdot E\cdot d \\[5pt] &=& n\cdot \dfrac{F_q}{q}\cdot d \\[5pt] &=& n\cdot \dfrac{q\cdot v\cdot B}{q}\cdot d \\[5pt] &=& n\cdot v\cdot B\cdot d \end{array}$

Somit ergibt sich die Bremskraft zu:

$\begin{array}[t]{rll} F_B&=& n\cdot B\cdot I\cdot d\\[5pt] &=& n\cdot B\cdot \dfrac{U}{R}\cdot d \\[5pt] &=& n\cdot B\cdot \dfrac{n\cdot v\cdot B\cdot d}{R}\cdot d \\[5pt] &=& \dfrac{n^2\cdot B^2\cdot d^2\cdot v}{R} \\[5pt] &=& \dfrac{100^2\cdot 2,0^2\cdot 0,05^2\cdot 0,05}{10}\;\text{N} \\[5pt] &=& 0,50\;\text{N} \end{array}$

2. Schritt: Zurückgelegte Streckenstücke bestimmen, zu welchen sich die Kraft ändert

Die Kraft ändert sich, sobald sich die rechte und linke Leiterrahmenkant in bzw. aus dem Magnetfeld bewegen. Dies ist der Fall bei $s=10$ cm, $s=15\;\text{cm},$ $s=25\;\text{cm}$ und $s=30\;\text{cm}.$

3. Schritt: Diagramm zeichnen

Die aufzuwendende mechanische Energie entspricht der zu verichtenden Arbeit, also $\Delta E= W$ . Die Arbeit muss dabei in verschiedene Abschnitte eingeteilt werden.

$W = W_{\text{Eintritt}}$ $+W_{\text{vollständig im Feld}}$ $+W_{\text{Austritt}}$

Dabei entspricht der Eintritt der Phase, in welcher sich die rechte, nicht aber die linke Kante im Magnetfeld befindet. Beim Austritt entsprechend umgekehrt.

In beiden Fällen ist $s=0,05\;\text{m},$ da dies die Strecke ist, entlang derer die Kraft wirkt.

Damit folgt mit $W=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{s}$ und $W_{\text{vollständig im Feld}}=0:$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$=0,0005 \, \text{J}$

Es muss genauso viel Energie aufgewendet werden den Leiterrahmen aus dem Magnetfeld zu bringen, wie aufgewendet werden muss um den Leiterrahmen in das Magnetfeld zu bringen.
Die insgesamt aufzuwendende mechanische Energie ist somit $0,05 \, \text{J}$ .

Lösung 3

Die Frequenz der induzierten Wechselspannung beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} f &=& \dfrac{1}{T} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{0,25 \, \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4 \, \text{Hz} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Amplitude kann aus Abbildung 4 abgelesen werden zu $U_{\text{max}}=5\;\text{V}.$

Die Induktionsspannung ist maximal, wenn die stärkste Flächenänderung herrscht.

Die größte Flächenänderung tritt auf, sobald sich die Rahmenfläche parallel zu den Feldlinien befindet.

Gegeben: $n=50,$ $U_{\text{max}}=5\;\text{V},$ $d= 9\;\text{cm}= 0,09\;\text{m}$

Gesucht: $B$

Lösung:

$U_{max}= 2\cdot n\cdot v\cdot B\cdot d$

$v=\dfrac{s}{t}$

Der Leiterrahmen dreht sich im Kreis, also um die Strecke $s= 2\cdot \pi \cdot r.$ Aus Abbildung 3 wird $r= \frac{7\;\text{cm}}{2}$ $= 3,5\;\text{cm}= 0,035\;\text{m}$ abgelesen.

Die Umlaufdauer für eine Umdrehung wird aus Abbildng 4 abgelesen: $T= 0,25 \;\text{s}$

Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{2\cdot \pi \cdot r}{T} \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot \pi \cdot 0,035\;\text{m}}{0,25 \;\text{s}} \\[5pt] &=& 0,88 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

Und daraus folgt die magnetische Flussdichte zu:

Rechenweg anzeigen

$U_{max}=...$

1. Schritt: Die neue Periodendauer bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_{neu} &=& f \cdot \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] f_{neu} &=& 4 \, \text{Hz} \cdot \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] f_{neu} &=& 2\, \text{Hz} &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{1}{T_{neu}} &=& 2\, \text{Hz} &\quad \scriptsize \mid \, \cdot T_{neu}\\[5pt] 1 &=& 2\, \text{Hz} \cdot T_{neu} &\quad \scriptsize \mid \, : 2\, \text{Hz}\\[5pt] T_{neu} &=& 0,5 \, \text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Periodendauer ist mit der langsameren Drehfrequenz doppelt so groß wie zuvor.

2. Schritt: Berechnung der induzierten Spannung

Anhand der Formel $U = N \cdot B \cdot A \cdot \omega$ in Teilaufgabe c) ist ersichtlich, dass $U \sim \omega$ gilt. Somit halbiert sich die induzierte Spannung auf $2,5 \text{ V.}$

3. Schritt: Diagramm zeichnen

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