Aufgabe 1 – Mechanische Schwingungen

Ein Körper der Masse $2,0\,\text{kg}$ wird an einer Feder befestigt, die auf Zug und Druck belastbar ist. Der Körper wird ausgelenkt und losgelassen (siehe Abb. 1). Er schwingt anschließend harmonisch. Das Diagramm in Abbildung 2 zeigt die Bewegungsenergie $E_{\text{kin}}$ des Körpers in Abhängigkeit von seiner Auslenkung $\text s$ aus der Gleichgewichtslage. Energieverluste durch Reibung und die Masse der Feder werden vernachlässigt.

Abbildung 1

Abbildung 2

Gib die Amplitude der Schwingung an.

Bestimme den Betrag der maximalen Geschwindigkeit $v_{\text{max}}$ des Körpers.

Bestimme die Auslenkungen, bei denen der Betrag der Geschwindigkeit $0,5\cdot v_{\text{max}}$ ist.

Berechne die Richtgröße $D$ der Feder.

Skizziere den Verlauf der Spannenergie in Abhängigkeit der Auslenkung $\text s$ unter Verwendung von Abbildung 2 und begründe dein Vorgehen.

(10 VP)

In einem Schülerversuch werden Pendelschwingungen untersucht. Als Pendel dienen Stangen unterschiedlicher Länge $\ell,$ die am oberen Ende drehbar, reibungsarm aufgehängt sind. Sie werden um denselben kleinen Winkel ausgelenkt und losgelassen. Es wird jeweils die Dauer $\Delta t$ von 10 Perioden bei den verschiedenen Stangenpendeln gemessen. Tabelle 1 zeigt die Messergebnisse.

Länge $\color{#fff}{\ell}$ in $\color{#fff}{\text m}$	Dauer $\color{#fff}{\Delta t}$ in $\color{#fff}{\text s}$
$0,20$	$7,3$
$0,35$	$9,7$
$0,50$	$11,5$
$0,75$	$14,4$
$0,90$	$15,5$

Tabelle 1

Es wird vermutet, dass die Periodendauer $T$ der untersuchten Stangenpendel proportional zu $\sqrt{\ell}$ ist.

Zeichne ein geeignetes Diagramm und bestätige damit die Vermutung.

Bestimme mithilfe aller Messwerte eine Gleichung für die Periodendauer $T$ als Funktion der Stangenlänge $\ell$ .

Eine Recherche ergibt, dass man die Periodendauer solcher Stangenpendel mit der Gleichung $T=2\cdot\pi\cdot\sqrt{\dfrac{k\cdot \ell}{g}}$ berechnen kann. $g$ ist die Erdbeschleunigung und $k$ eine Konstante.

Bestimme für die untersuchten Stangenpendel die Konstante $k.$

(8 VP)

Am linken Ende eines horizontalen, linearen Wellenträgers der Länge $100\,\text{cm}$ befindet sich ein Erreger $\text E_1$ , am rechten Ende ein Erreger $\text E_2.$ Beide Erreger schwingen harmonisch mit der Frequenz $0,25\,\text{Hz}$ und der Amplitude $1,0\,\text{cm}.$
Zum Zeitpunkt $0\,\text s$ beginnt $\text E_1$ aus der Gleichgewichtslage nach unten zu schwingen, während $\text E_2$ aus der Gleichgewichtslage mit seiner Schwingung nach oben beginnt. Nach $5,0\,\text s$ treffen die von $\text E_1$ und $\text E_2$ ausgehenden Wellen aufeinander.

Bestimme die Wellenlänge der von den Erregern ausgehenden Wellen.

Erkläre, weshalb sich die Mitte des Wellenträgers während des gesamten Versuchs nicht bewegt.

Zeichne das Momentanbild des Wellenträgers zum Zeitpunkt $9,0\,\text s.$ Gib alle Punkte des Wellenträgers an, die zu diesem Zeitpunkt in Ruhe sind.

Abbildung 3 stellt die Bewegung eines Teilchens des Wellenträgers im Zeitraum $0\,\text s\leq t\leq 10 \,\text s$ dar.

Abbildung 3

Erkläre, wie die unterschiedlichen Abschnitte des Schaubilds zustande kommen und bestimme den Ort des Teilchens.

In einem neuen Versuch starten beide Erreger zum Zeitpunkt $0\,\text s$ gleichphasig nach oben.

Zeichne das Zeit-Auslenkung-Diagramm für das Zeitintervall $0\,\text s\leq t\leq 10\,\text s$ des Teilchens, das $70\,\text{cm}$ vom linken Ende entfernt ist.

(12 VP)

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Die Amplitude entspricht der maximalen Auslenkung in eine Richtung und ist aus der Abbildung ablesbar mit $s_{\text{max}}= 0,6 \;\text{m}.$

Es gilt $E_{kin_{max}} = \dfrac{1}{2}\cdot m \cdot {v_{max}}^2.$

Umstellen nach $v_{max}$ und einsetzen der Werte ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{kin_{max}} &=& \dfrac{1}{2}\cdot m \cdot {v_{max}}^2&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{2}{m} \\[5pt] \dfrac{2\cdot E_{kin_{max}}}{m}&=& {v_{max}}^2 \\[5pt] {v_{max}}^2 &=& \dfrac{2\cdot E_{kin_{max}}}{m} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] {v_{max}} &=& \sqrt{\dfrac{2\cdot E_{kin_{max}}}{m}} \\[5pt] {v_{max}} &=& \sqrt{\dfrac{2\cdot 8 }{2}}\;\frac{\;\text{m}}{\;\text{s}} \\[5pt] &=& 2,6 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

1. Kinetische Energie für $\boldsymbol{0,5 \cdot v_{max}}$ bestimmen

Es gilt $E_{kin_{max}} =\dfrac{1}{2}\cdot m \cdot {v_{max}}^2.$ Halbiert sich die Maximalgeschwindigkeit, so folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{kin_{neu}} &=&\dfrac{1}{2}\cdot m \cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot {v_{max}}\right)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot m \cdot \dfrac{1}{4}\cdot {v_{max}}^2 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot m \cdot {v_{max}}^2 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot E_{kin_{max}} \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{kin_{neu}}&=&\dfrac{1}{4}\cdot 8\;\text{J} \\[5pt] &=& 2\;\text{J} \end{array}$

2. Die Auslenkung $\boldsymbol{s}$ aus dem Graphen ablesen

Der Betrag der Geschwindigkeit ist $0,5 \cdot v_{max}$ bei den Auslenkungen $s_1 \approx -0,51 \;\text{m}$ und bei $s_2 \approx 0,51 \;\text{m}.$

Die Spannenergie ist durch $E_{\text{Spann}}= \dfrac{1}{2}\cdot D\cdot s^2$ gegeben.

Umstellen nach $D$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{Spann}}&=& \dfrac{1}{2}\cdot D\cdot s^2&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \;\mid\; :s^2 \\[5pt] \dfrac{2\cdot E_{\text{Spann}}}{s^2}&=& D \\[5pt] D&=& \dfrac{2\cdot E_{\text{Spann}}}{s^2} \end{array}$

Die Spannenergie ist maximal bei maximaler Auslenkung, d.h. bei $E_{\text{Spann}}=8 \;\text{J}$ und $s= 0,6 \;\text{m}.$ Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} D &=& \dfrac{2\cdot 8 \;\text{J}}{\left(0,6\text{m}\right)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] D &=& \dfrac{2\cdot 8 \; \text{Nm}}{\left(0,6\text{m}\right)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] D &\approx& 44\; \frac{\text{N}}{\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Spannenergie ist minimal, wenn die Feder entspannt ist. Das ist der Fall, wenn sie in keine Richtung ausgelenkt ist.

Je stärker die Feder ausgelenkt ist, desto höher die Spannenergie.

Bei maximaler Auslenkung $s_1 \approx -0,51 \;\text{m}$ und bei $s_2 \approx 0,51 \;\text{m}$ ist die Spannenergie maximal.

Aus diesen drei Koordinaten ergibt sich die nach unten geöffnete Parabel für die Spannenergie.

$s$ - $E_{\text{Spann}}$ -Diagramm

Die Wertetabelle wird erweitert zu:

Länge $\color{#ffffff}{l}$ in $\color{#ffffff}{\text{m}}$	$\color{#ffffff}{\sqrt{l}}$	Dauer $\color{#ffffff}{\Delta t}$ in $\color{#ffffff}{\text{s}}$	Periodendauer $\color{#ffffff}{T}$ in $\color{#ffffff}{\text{s}}$
0,20	0,447	7,3	0,73
0,35	0,592	9,7	0,97
0,50	0,707	11,5	1,15
0,75	0,866	14,4	1,44
0,90	0,95	15,5	1,55

Damit folgt das Diagramm:

Der Graph entspricht einer Urspungsgeraden. Somit ist die Vermutung bestätigt.

Die Gleichung der Ausgleichsgeraden lässt sich aufstellen zu:

$T= k\cdot \sqrt{\ell}$

Konstante k bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \text{Steigung} &\hat{=}& \frac{1,25\,\text{s}}{0,725\,\sqrt{\text{m}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 1,67 \;\frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}} \end{array}$

Damit gilt für die Periodendauer $T(l)=1,67 \;\frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}}\cdot \sqrt{l}$

$\begin{array}[t]{rll} T &=& 2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{k \cdot l}{g}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{k}{g}}\cdot \sqrt{l}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit der Periodendauer aus Aufgabenteil b) folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2\pi\sqrt{\frac{k}{g}} \cdot \sqrt{l} &=& 1,64 \, \frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}} \cdot \sqrt{l} &\quad \scriptsize \mid\, :\sqrt{l}\\[5pt] 2\pi\sqrt{\frac{k}{g}} &=& 1,64 \, \frac{\text{s}}{\sqrt{\text{m}}} &\quad \scriptsize \mid \, (\;)^2 \\[5pt] 4\pi^2\frac{k}{g} &=& 1,64^2 \, \frac{\text{s}^2}{\text{m}} &\quad \scriptsize \mid \, \cdot g \\[5pt] 4\pi^2k &=& 1,64^2 \, \frac{\text{s}^2}{\text{m}}\cdot g &\quad \scriptsize \mid \, :4\pi^2 \\[5pt] k &=& \frac{1,6^2 \frac{\text{s}^2}{\text{m}}\cdot g}{4\pi^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] k &=& \frac{1,6^2 \frac{\text{s}^2}{\text{m}}\cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4\pi^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] k &\approx& 0,67 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Geschwindigkeit $v$ , mit welcher sich die Welle von den Erregern ausgehend bewegen, ist:
$\begin{array}[t]{rll} v&=& \frac{s}{t} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \frac{0,5\; \text{m}}{5,0\; \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,1 \frac{\text{m}}{\text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für die Wellenlänge gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \lambda &=& \frac{v}{f} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,1 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,25 \text{Hz}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,4\dfrac{\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{\text{s}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,4\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,40 \, \text{m} \end{array}$

Die beiden Erreger werden um die Strecke der Amplitude ausgelenkt. Sie bewegen sich nur in $y$ -Richtung, nicht in $x$ -Richtung.
Da die Wellen eine Wellenlänge von $0,40$ m haben, treffen sie bei $0,50$ m mit einer jeweils maximal ausgelenkten Amplitude aufeinander. Die von links kommende Welle ist dabei maximal nach unten ausgelenkt. Die von rechts kommende Welle maximal nach oben. Die Amplituden der Wellen addieren sich zu null. Die Wellen löschen sich aus.
Die Mitte verlässt ihre anfängliche Ruhelage somit zu keinem Zeitpunkt.

Die Wellen sind bei $t=9,0\;\text{s}$ noch nicht an den gegenüberliegenden Seiten angekommen. Sie befinden sich jeweils $0,10\;\text{m}$ von den Enden entfernt. Damit befinden sich die Wellen auf den Streckenabschnitten von $s=0,10 \;\text{m}$ bis $s=0,90\;\text{m}$ bei $t=9,0\;\text{s}$ in Ruhe. Sie sind im Umkehrpunkt ihrer Schwingung.
Die Punkte bei $s=0,00$ m und bei $s=1,00$ m befinden sich ebenfalls in Ruhe.

Zu Zeitpunkt $t=9,0\;\text{s}$ haben die Wellen 2,5 Wellenlängen zurückgelegt.

Damit resultiert näherungsweise folgendes Momentanbild des Wellenträgers:

Beschreibung des Schaubilds

Bei $0 \;\text{s} \leq t \leq 3 \;\text{s}$ ändert sich der Ort des Teilchens nicht. Hier ist $s=0 \;\text{cm}.$ Bis $t=3\, s$ befindet sich das Teilchen in seiner Gleichgewichtslage. Die Welle von $E_2$ kommt an.

Nach $3 \;\text{s}$ wird das Teilchen nach oben ausgelenkt, bis es sich bei $t=4\;\text{s}$ an seinem höchsten Punkt befindet.

Bei $t=5\;\text{s}$ passiert das Teilchen die Gleichgewichtslage um schließlich nach $t=6$ \;\text{s} seinen tiefsten Punkt zu durchlaufen.

Nach $t=7\;\text{s}$ durchläuft das Teilchen die Gleichgewichtslage erneut und hört auf zu schwingen, bleibt also in Ruhe.

Die Welle von $E_1$ kommt an, beide Wellen treffen gleichphasig aufeinander und heben sich auf.

Ort des Teilchens bestimmen

Da das Teilchen erst nach $3\;\text{s}$ maximal nach oben ausgelenkt ist, braucht die Welle vom rechten Erreger bis zum Ort des Teilchens $3$ s.

$\begin{array}[t]{rll} s&=& v \cdot t &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,1 \,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3 \,\text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,3\,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 30\, \text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Teilchen befindet sich $30$ cm links vom rechten Erreger.

Die Welle ausgelöst von Erreger $E_1$ kommt nach $3\;\text{s}$ an. Die Bewegung der Welle wird eine Periodendauer ausgeführt. Zum Zeitpunkt $7\;\text{s}$ kommt die Welle von $E_2$ an.

Die Amplituden überlagern sich aufgrund der gleichphasigen Schwingung, das Teilchen wird doppelt so stark ausgelenkt.

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