Aufgabe 2 – Licht

Abbildung 1 zeigt ein geschlossenes, quaderförmiges Gefäß, in dessen Deckplatte sich mittig ein Spalt befindet. Das Gefäß ist zunächst mit Luft gefüllt, der Abstand zwischen der Deckplatte und dem Boden beträgt $80,0\,\text{cm}.$ Die quadratische Bodenplatte besitzt die Kantenlänge $60,0\,\text{cm}.$ Laserlicht fällt senkrecht auf den Spalt. Dabei registriert man auf dem Boden des Gefäßes längs der $x$ -Achse ein Interferenzmuster.

Erkläre mithilfe einer Skizze das Entstehen des Minimums erster Ordnung.

Erläutere, wie sich der Abstand $x_1$ des Minimums erster Ordnung von der Mitte $M$ der Bodenplatte berechnen lässt.

Um die Breite des Spalts zu bestimmen, wird das Experiment nun nacheinander mit fünf verschiedenen Lasern durchgeführt. Die Tabelle zeigt für jeden Laser den Abstand $x_1$ des Minimums erster Ordnung von $M.$

Farbe des Laserlichts	Wellenlänge in $\color{#fff}{\text{mm}}$	$\color{#fff}{x_1}$ in $\color{#fff}{\text{mm}}$
violett	405	6,5
blau	460	7,0
grün	532	8,5
orange	589	9,5
rot	650	11,0

Tabelle 1

Abbildung 1

Bestimme unter Verwendung aller Messwerte die Breite des Spalts.

Berechne die Anzahl der Intensitätsminima, die bei dieser Versuchsreihe maximal auf der Bodenplatte längs der $x$ -Achse vorhanden sein können.

Im Folgenden wird nur mit dem grünen Laserlicht aus Tabelle experimentiert. Zunächst beobachtet man die Lage der Minima längs der $x$ -Achse bei Verwendung des oben beschriebenen Gefäßes. Danach wird das Gefäß vollständig mit Wasser gefüllt.
Die Lichtgeschwindigkeit des grünen Laserlichts beträgt in Wasser 75 % der Vakuumlichtgeschwindigkeit. Durch geeignete Änderung der Spaltbreite wird erreicht, dass sich die Minima an den gleichen Stellen wie zuvor befinden.

Berechne die dafür erforderliche Spaltbreite.

(12 VP)

Das leere Gefäß aus der 1. Teilaufgabe erhält nun einen neuen Deckel mit einem Doppelspalt mit Spaltmittenabstand $50 \,\mu\text m$ und Spaltbreite $25 \,\mu\text m$ (siehe Abbildung 2). Der Doppelspalt wird zunächst senkrecht mit dem grünen Laserlicht aus der Tabelle aus Aufgabe 1 beleuchtet. Dabei registriert man wieder auf dem Boden des Gefäßes längs der $x$ -Achse ein Interferenzmuster.

Abbildung 2

Bestimme die Anzahl der Intensitätsmaxima, die auf der Bodenplatte längs der $x$ -Achse vorhanden sind.

Das Gefäß ist nun zur Hälfte mit Wasser gefüllt. An der Wasseroberfläche kommt es zur Lichtbrechung (siehe Abbildung 3). Abbildung 4 zeigt den Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$ in Luft und dem Brechungswinkel $\beta$ in Wasser.

Abbildung 3

Abbildung 4

Beschreibe, wie sich die Lage der Intensitätsmaxima durch die nun vorhandene Wasserfüllung verändert. Begründe deine Antwort.

Bestimme, wie weit sich das Intentsitätsmaximum der 7. Ordnung verschoben hat.

(10 VP)

Verschiedene positiv geladene Ionen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit werden mittels einer Spannung von $10\,\text{kV}$ beschleunigt. Anschließend treten sie senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte $0,20\,\text T$ ein. Dort werden die Bahnen der Ionen durch eine geeignete Messapparatur erfasst. Abbildung 5 zeigt Ausschnitte dieser Teilchenbahnen. Das Magnetfeld ist dabei senkrecht in die Abbildungsebene hinein gerichtet.

Abbildung 5

Begründe, dass kreisförmige Bahnen zu erwarten sind.

Erläutere, in welche Richtung sich ein Ion entlang der dargestellten Bahn (A) bewegt.

Der Betrag der für eine Kreisbahn notwendigen Zentripetalkraft $F_\text Z$ lässt sich mit $F_\text Z=m\cdot\dfrac{v^2}{r}$ berechnen. Dabei ist $m$ die Masse, $v$ die Geschwindigkeit und $r$ der zugehörige Bahnradius des Ions.

Zeige, dass der Bahnradius proportional zur Geschwindigkeit des Ions ist.

Bei den positiv geladenen Ionen handelt es sich um die folgenden vier Sorten, wobei $e$ die Elementarladung und $u$ die atomare Masseneinheit bezeichnet:

	Masse	Ladungsbetrag
$^1\text H^+$ -Ionen	$1\,u$	$1\,e$
$^2\text H^+$ -Ionen	$2\,u$	$1\,e$
$^4\text{He}^+$ -Ionen	$4\,u$	$1\,e$
$^4\text{He}^{++}$ -Ionen	$4\,u$	$2\,e$

Tabelle 2

Die Bahnen (A), (B) und (C) in Abbildung 5 wurden durch Ionen aus der oben stehenden Tabelle erzeugt.

Zeige, dass der Radius von Bahn (A) $10,2\,\text{cm}$ beträgt.

Ordne die Bahnen (A), (B) und (C) den Ionensorten aus der Tabelle zu und begründe deine Antwort.

(8 VP)

Das Laserlicht wird aufgrund des Huygenssches Prinzips an dem Einzelspalt gebeugt. Dieses besagt, dass jeder Punkt auf der Wellenfront als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden kann. Je nach Gangunterschied kommt es zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz.

Die Wellenstrahlen, die vom Spalt ausgehen, werden zu parallelen Strahlen vereinfacht.

Der Gangunterschied $\delta$ zwischen zwei Wellen, wird beschrieben durch:

$\sin(\alpha)= \dfrac{ \delta}{b}$

Wenn $\delta = \lambda,$ löschen sich die Wellen gegenseitig aus, wodurch ein Minumum entsteht.

Für das Minimum erster Ordnung gilt:

$\sin (\alpha_1)=\dfrac{\lambda}{b}$

Die Abstände $x_k$ der Minima vom Maximum 0. Ordnung lassen sich, wie der Skizze zu entnehmen, mit $\tan(\alpha_k)=\dfrac{x_k}{a}$ mit $k=1;2;..$ berechnen. $a$ entspricht dem Abstand des Schirms zum Doppelspalt.

Der Abstand $x_1$ zwischen der Mitte $M$ der Bodenplatte und dem ersten Minimum im Punkt $P$ ergibt sich zu:

$x_1 = a \cdot \tan (\alpha_1)$

Da die Abstände der ersten Minima zur Mitte im Verglich zum Abstand der Bodenplatte zum Beugungsspalt sehr klein sind, darf die Kleinwinkelnährung angewandt werden. Es ergibt sich folgender Zusammenhang:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_1 &\approx& \tan \alpha_1 \\[5pt] \dfrac{\lambda}{b}&\approx& \dfrac{x_1}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot b \\[5pt] \lambda&\approx& \dfrac{x_1}{a} \cdot b &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{a}{x_1} \\[5pt] \dfrac{\lambda \cdot a}{x_1}&\approx& b \\[5pt] b &\approx& \dfrac{\lambda \cdot a}{x_1} \\[5pt] \end{array}$

Erweitern der Wertetabelle um die Spaltbreite $b$ ergibt:

Farbe des Laserlichts	Wellenlänge in $\color{#ffffff}{\text{nm}}$	$\color{#ffffff}{x_1}$ in $\color{#ffffff}{\text{mm}}$	$\color{#ffffff}{b}$ in $\color{#ffffff}{\text{µm}}$
violett	405	6,5	49,8
blau	460	7,0	52,6
grün	532	8,5	50,1
orange	589	9,5	49,6
rot	650	11,0	47,3

Durch Berechnung des Mittelwerts der Spaltbreiten ergibt sich eine Spaltbreite von $b = 49,9 \;\text{ µm}.$

Gegeben: $x_{\text{max}} = 30 \text{ cm},$ $a= 80\;\text{cm}$

Gesucht: $k$

Lösung: Da die Bodenplatte $60 \text{ cm}$ lang ist und somit der maximale Abstand eines Minimums $30 \text{ cm}$ beträgt kann nun nicht mehr die Kleinwinkelnäherung angewandt werden, sondern die beiden Formeln müssen wie folgt einzeln ausgewertet werden:

1. Schritt: Berechnung des maximalen Winkels $\boldsymbol{\alpha}$

Der maximale Winkel wird wie folgt berechnet:

$\tan \alpha_{\text{max}}= \dfrac{x_{\text{max}}}{a}$

Rechenweg anzeigen

$\alpha_{\text{max}} = 20,6 ^ \circ$

2. Schritt: Bestimmung der zu untersuchenden Wellenlänge

Ja kleiner die Wellenlänge ist, desto mehr Minima gibt es. Das violette Licht hat die kleinste Wellenlänge und verursacht somit die meisten Minima.

3. Schritt: Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Winkel und der Anzahl des Minimas

Der Zusammenhang zwischen dem Winkel $\alpha_{\text{k}}$ und der Anzahl des Minimas ist gegeben durch die folgende Formel:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_{\text{k}} &=& \dfrac{k \cdot \lambda_{\text{viol}}}{b} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{b}{\lambda_{\text{viol}}} \\[5pt] \sin \alpha_{\text{k}} \cdot \dfrac{b}{\lambda_{\text{viol}}} &=& k \end{array}$

4. Schritt: Bestimmung des Minimums höchster Ordnung

Der maximale Winkel $\alpha_{\text{max}}$ beträgt $20,6^\circ.$ Somit ist:

$\begin{array}[t]{rll} k&\le& \sin \alpha_{\text{max}} \cdot \dfrac{b}{\lambda_{\text{viol}}} \\[5pt] k&\le& \sin 20,6^\circ \cdot \dfrac{49,9 \cdot 10^{-6} \text{ m}}{405 \cdot 10^{-9} \text{ m}} \\[5pt] k&\le& 43,4 \end{array}$

5. Schritt: Rückschluss auf die maximal Anzahl an Minima

Das Minimum höchster Ordung ist das Minima 43. Ordung. Somit gibt es auf jeder Seite 43 Minima, also 86 Minima insgesamt.

Gegeben: $c_{\text{w}} =0,75 \cdot c$

Gesucht: $b_w$

Lösung:

1. Schritt: Berechnung der Wellenlänge des grünen Lichts in Wasser

$\begin{array}[t]{rll} c_{\text{w}} &=& 0,75 \cdot c &\quad \scriptsize \mid\; c=f \cdot \lambda \\[5pt] f \cdot \lambda_{\text{w}}&=& 0,75 \cdot f \cdot \lambda &\quad \scriptsize \mid\ :f \\[5pt] \lambda_{\text{w}}&=& 0,75 \cdot \lambda \\[5pt] \end{array}$

Hinweis: Beim Übergang einer Welle von einem Medium in das andere verändert sich die Wellenlänge, aber die Frequenz bleicht gleich.

2. Schritt: Berechnung der benötigten Spaltbreite

Damit die Minima an der gleichen Stelle auftreten muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_{\text{k}} &=& \sin \alpha_{\text{k,w}} \\[5pt] \dfrac{k \cdot \lambda}{b}&=&\dfrac{k \cdot \lambda_{\text{w}}}{b_{\text{w}}} &\quad \scriptsize \mid\; : k \\[5pt] \dfrac{ \lambda}{b}&=&\dfrac{ \lambda_{\text{w}}}{b_{\text{w}}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{b_{\text{w}} \cdot b}{\lambda}\\[5pt] b_{\text{w}} &=&\dfrac{ \lambda_{\text{w}}}{\lambda} \cdot b &\quad \scriptsize \mid\; \lambda_{\text{w}} = 0,75 \cdot \lambda\\[5pt] b_{\text{w}} &=&\dfrac{ 0,75 \cdot \lambda}{\lambda} \cdot b \\[5pt] b_{\text{w}} &=& 0,75 \cdot b \\[5pt] b_{\text{w}} &=& 0,75 \cdot 50 \text{ µm} \\[5pt] b_{\text{w}} &=& 37,5 \text{ µm} \\[5pt] \end{array}$

Die erforderliche Spaltbreite $b_{\text{w}}$ beträgt $37,5$ µm.

Aus Aufgabe 1d) ist bereits bekannt, dass $\alpha_{\text{max}} = 20,6^\circ$ ist. Einsetzen in die Formel für den Doppelspalt ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_{\text{k}}&=& \dfrac{k \cdot \lambda}{g} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{g}{\lambda} \\[5pt] \dfrac{\sin \alpha_{\text{k}} \cdot g}{\lambda} &=& k \\[5pt] \dfrac{\sin 20,6^\circ \cdot 50 \cdot 10^{-6} \text{ m}}{532 \cdot 10^{-9} \text{ m}} &=& k \\[5pt] 33,1 &=& k \\[5pt] k &=& 33,1 \end{array}$

Also ist das Maximum höchster Ordnung das 33. Maximum. Insgesammt kann es also maximal $2 \cdot 33 + 1 = 67$ Maxima geben.

Diese Rechnung berücksichtigt nicht, dass manche Maxima vom Doppelspalt ausfallen können, da an dieser Stelle die beiden Spalte als Einzelspalt betrachtet ein Minumum erzwingen könnten.

Da der Spaltmittelabstand doppelt so groß ist wie die Einzelspaltbreite $(g = 2 \cdot b)$ fällt jedes zweite Maxima aus. Es bleiben alle Maxima ungerader Ordnung übrig. Somit gibt es auf einer Seite $17$ Maxima. Insgesammt gibt es also $2\cdot 17 + 1 = 35$ Maxima.

Aus den beiden Abbildungen ist erkennbar, dass der Einfallswinkel stets größer als der Ausfallswinkel ist. Somit verschieben sich die Maxima zur Mitte hin. Desweiteren werden nun zwischen dem Maximum 33. Ordnung und dem Rand weitere Maxima hinzukommen.

1. Schritt: Überlegung

Die nebenstehenede Skizze beschreibt die Ausgangssituation. Das Licht wird am Doppelspalt $S$ gebeugt. Der Winkel $\alpha$ beschreibt den Winkel mit dem der Lichtstrahl gebeugt wird, der das Maximum 7. Ordnung erzeugt. Dieser Lichtstrahl trifft dann auf die Wasseroberfläche und wird um den Winke $\beta$ gebäugt. Schlussendlich trifft er auf den Boden ein.

2. Schritt: Berechnung des Winkels $\alpha :$

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_7 &=& \dfrac{7 \cdot \lambda}{g} \\[5pt] \sin \alpha_7 &=& \dfrac{7 \cdot 532 \cdot 10^{-9} \text{ m}}{50 \cdot 10^{-6} \text{ m}} \\[5pt] \sin \alpha_7 &=& 0,074 &\quad \scriptsize \mid\; \arcsin(...) \\[5pt] \alpha_7 &=& 4,27 ^\circ \end{array}$

Skizze zum halb mit Wasser gefüllten Doppelspaltgefäß

3. Schritt: Berechnung von $x_{\text{1}}:$

Für $x_{\text{1}}$ lässt sich folgende Dreiecksbeziehung ablesen:

$\tan \alpha = \dfrac{x_{\text{1}}}{0,5 \cdot h}$

Rechenweg anzeigen

$x_1 = 0,029 \text{ m}$

4. Schritt: Bestimmung von $\beta :$

Aus dem in der Aufgabenstellung gegebenen Diagramm lässt sich ablesen, dass der Einfallswinkel $\alpha$ proportinal zu dem Ausfallswinkel $\beta$ ist. Der Proportionalitätsfaktor beträgt $0,75.$

Somit ist $\beta = 0,75 \cdot \alpha$ $= 0,75 \cdot 4,27^\circ$ $= 3,20.$

5. Schritt: Berechnung von $x_{\text{2}}:$

Für $x_{\text{2}}$ lässt sich folgende Dreiecksbeziehung ablesen:

$\tan \beta = \dfrac{x_{\text{2}}}{0,5 \cdot h}$

Rechenweg anzeigen

$x_2 = 0,022 \text{ m}$

6. Schritt: Berechnung der Verschiebung des Maximum 7. Ordung

Das neue Maximum 7. Ordnung ist $x_1 + x_2$ $=29 \text{ mm} + 22 \text{ mm} = 51 \text{ mm}$ vom Mittelpunkt der Bodenplatte entfernt. Das alte Maximum 7. Ordnung ist $2 \cdot x_1$ $=2 \cdot 29 \text{ mm}$ $= 58 \text{ mm}$ vom Mittelpunkt entfernt.

Das Maximum verschiebt sich also um $58 \text{ mm} - 51 \text{ mm}$ $=7 \text{ mm}$ zur Mitte hin.

Die positiv geladenen Ionen treten laut Aufgabenstellung senkrecht in das homogene Magnetfeld ein. Aufgrunddessen erfahren sie eine Lorenzkraft. Diese wirkt senkrecht auf die Bewegungsrichtung der Ionen und senkrecht auf das Magnetfeld. Somit wirkt diese als Zentripetalkraft und die Ionen bewegen sich im Kreis.

Die Richtung der Ionen kann mit der Rechten-Hand-Regel bestimmt werden. Dabei repräsentiert der Daumen die Bewegungsrichtung eines positiven Ladungsträger, der Zeigefinger repräsentiert die Feldlinien des homogenen Magnetfelds und der Mittelfinger repräsentiert die Wirkungsrichtung der Lorenzkraft.

Wird der Mittelfinger zum Kreismittelpunkt und der Zeigefinger in die Zeichenebene gezeigt, so zeigt der Daumen gegen den Uhrzeigersinn. Die Ionen auf Bahn A bewegen sich also gegen den Uhrzeigersinn.

Die Lorenzkraft ist gegeben durch folgende Formel: $F_{\text{L}} = B \cdot q \cdot v .$ Wie in Teilaufgabe a) aufgeführt, wirkt die Lorenzkraft als Zentripetalkraft. Somit ergibt sich folgender Zusammenhang:

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{L}} &=& F_{\text{Z}} \\[5pt] B \cdot q \cdot v &=& \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{r}{B \cdot q \cdot v} \\[5pt] r &=& \dfrac{m}{B \cdot q} \cdot v \\[5pt] \end{array}$

Da der Faktor $\dfrac{m}{B \cdot q}$ jeweils für ein Ion konstant ist, sind $r \sim v.$

1. Schritt: Vorüberlegung

Der allgmeine Bahnradius lässt sich mit der Formel aus c) berechnen.

2. Schritt: Formel für die Geschwindigkeit des Ions aufstellen

Die Geschwindigkeit des Ions lässt sich am besten über den Energieerhaltungssatz berechnen. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}}&=& E_{\text{el}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &=& q \cdot U &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{m} \\[5pt] v^2 &=& \dfrac{2 \cdot q \cdot U}{m} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{(...)} \\[5pt] v &=& \sqrt{ \dfrac{2 \cdot q \cdot U}{m}} \end{array}$

3. Schritt: Formel für den Bahnradius aufstellen

Formel aus Teilaufgabe c):

$\begin{array}[t]{rll} r &=& \dfrac{m}{B \cdot q} \cdot v \\[5pt] r &=& \dfrac{m}{B \cdot q} \cdot \sqrt{ \dfrac{2 \cdot q \cdot U}{m}} \\[5pt] r &=& \sqrt{ \dfrac{m^2 \cdot 2 \cdot q \cdot U}{B^2 \cdot q^2 \cdot m}} \\[5pt] r &=& \sqrt{ \dfrac{2 \cdot m\cdot U}{B^2 \cdot q}} \\[5pt] r &=& \sqrt{ \dfrac{2 \cdot U}{B^2}} \cdot \sqrt{ \dfrac{ m}{ q}} \\[5pt] \end{array}$

Folglich ist $r \sim \sqrt{ \dfrac{ m}{ q}}.$

4. Schritt: Berechnen aller Massen-Ladungsverhältnisse

	Masse	Ladungsbetrag	Massen-Ladungs- verhältnis
$^1H^+$ -Ionen	1 $\text{u}$	1 $\text{e}$	1 $\frac{\text{u}}{\text{e}}$
$^2H^+$ -Ionen	2 $\text{u}$	1 $\text{e}$	2 $\frac{\text{u}}{\text{e}}$
$^4H^+$ -Ionen	4 $\text{u}$	1 $\text{e}$	4 $\frac{\text{u}}{\text{e}}$
$^4H^{++}$ -Ionen	4 $\text{u}$	2 $\text{e}$	2 $\frac{\text{u}}{\text{e}}$

5. Schritt: Berechnung des Bahnradius

Aus der Skizze in der Aufgabenstellung lässt sich folgender Sachverhalt ablessen: $r_c \lt r_a \lt r_b.$ Folglich gehört zu der Bahn A ein Massen-Ladungsverhältnis von $2 \text{ } \frac{\text{u}}{\text{e}}.$ Einsetzen in die Formel ergibt:

$r = \sqrt{ \dfrac{2 \cdot U}{B^2}} \cdot \sqrt{ 2 \cdot \dfrac{ \text{u}}{ \text{e}}}$

Rechenweg anzeigen

$r = 10,2 \text{ cm}$

Folglich hat die Bahn A einen Radius von $10,2 \text{ cm}.$

Bahn A gehört wie in der voherigen Teilaufgabe berechnet zu Ionen mit einem Massen-Ladungsverhältnis von 2. Diese sind die $^2H^+$ -Ionen und die $^4H^{++}$ -Ionen.
Bahn B hat den größten Radius und gehört deshalb zu Ionen mit einem Massen-Ladungsverhältnis von 4. Diese sind die $^4H^+$ -Ionen.
Bahn C hat den kleinsten Radius und gehört deshalb zu Ionen mit einem Massen-Ladungsverhältnis von 1. Diese sind die $^1H^+$ -Ionen.