Aufgabe 3 – Elektromagnetismus

Ein ungeladener Kondensator und ein dazu in Reihe geschalteter Widerstand von $10,0\,\Omega$ werden zum Zeitpunkt $0\,\text s$ an ein Netzgerät mit einer konstanten Gleichspannung angeschlossen. Mithilfe eines Messwerterfassungssystems, welches parallel zum Widerstand geschaltet ist, werden die Werte für die Stromstärke beim Ladevorgang im Sekundenabstand aufgezeichnet (siehe Tabelle 1).

$\color{#fff}{t}$ in $\color{#fff}{\text s}$	$\color{#fff}{I}$ in $\color{#fff}{\text{mA}}$
0	500
1,00	322
2,00	205
3,00	130
4,00	78,5
5,00	51,0
6,00	32,0
7,00	22,0
8,00	13,0
9,00	10,0
10,00	5,50

Tabelle 1

Zeichne für dieses Experiment ein Schaltbild.

Zeichne das zugehörige Zeit-Stromstärke-Diagramm.

Zeige, dass die Spannung am Netzgerät $5,00\,\text V$ beträgt.

Der Verlauf der Stromstärke lässt sich mithilfe der Funktion $I(t)=I(0\,\text s)\cdot\mathrm e^{-\dfrac{1}{R\cdot C}\cdot t}$ beschreiben.

Bestimme einen Wert für die Kapazität des Kondensators.

Ermittle die Ladungsmenge, die in den ersten zwei Sekunden auf den Kondensator fließt, und vergleiche diesen Wert mit der Ladungsmenge des vollständig geladenen Kondensators.

Die Abbildung 1 zeigt das Schnittbild einer kugelförmigen und einer quaderförmigen Metallelektrode sowie im Bereich dazwischen elektrische Feldlinien. Zusätzlich sind Linien gleichen Potenzials, sogenannte Äquipotenziallinien, gestrichelt eingezeichnet. Die Potenzialdifferenz zwischen den dargestellten benachbarten Äquipotenziallinien ist konstant. Diese Potenzialdifferenz besteht auch zwischen den Elektroden und der nächstliegenden Äquipotenziallinie. Die quaderförmige Elektrode hat das Potenzial $0\,\text V$ und die kugelförmige Elektrode das Potenzial $9,0\,\text{kV}.$

Abbildung 1

Bestimme das Potenzial im Punkt $A.$

Bestimme die Energie, die notwendig wäre, um ein Proton von $A$ nach $B$ zu verschieben.

Nun wird die quaderförmige Elektrode entfernt. In das Feld der kugelförmigen Elektrode wird eine kleine Kugel mit der Ladung $q = 0,400\,\text{nC}$ gebracht.
In einer Versuchsreihe wird die elektrische Kraft $F_{\text{el}}$ auf diese Kugel für verschiedene Abstände $r$ zum Mittelpunkt der kugelförmigen Elektrode gemessen. Die Tabelle zeigt die gemessenen Wertepaare.

$\color{#fff}{r}$ in $\color{#fff}{\text{cm}}$	$\color{#fff}{F_{\text{el}}}$ in $\color{#fff}{\text{mN}}$
5,00	24,5
10,00	6,05
20,0	1,52
30,0	0,68
50,0	0,24

Untersuche, welcher der folgenden Zusammenhänge durch die Messung bestätigt wird. Dabei ist $k$ eine Konstante.

(1) $F_{\text{el}}=k\cdot r^2$

(2) $F_{\text{el}}=\frac{k}{r}$

(3) $F_{\text{el}}=k\cdot \sqrt{r}$

(4) $F_{\text{el}}=\frac{k}{r^2}$

(5) $F_{\text{el}}=k\cdot r$

Für die Konstante $k$ gilt: $k=\dfrac{1}{4\pi\cdot\epsilon_0}\cdot q\cdot Q$

Berechne unter Verwendung aller Messwerte die Ladung $Q$ der kugelförmigen Elektrode.

(7 VP)

In dem in der Abbildung dargestellten Schaltkreis befinden sich zwei baugleiche Lämpchen $\text L1$ und $\text L2,$ ein ohmscher Widerstand R und eine Spule $\text{SP}.$
Für die folgenden Überlegungen soll angenommen werden, dass der Widerstand der Lämpchen jeweils konstant $40\,\Omega$ beträgt.
Der Widerstand $\text R$ und die Spule SP haben jeweils den ohmschen Widerstand $60\,\Omega.$ Die Induktivität der Spule beträgt $20\,\text H.$
Zum Zeitpunkt $0\,\text s$ wird der Schalter $\text S$ geschlossen. Man beobachtet, dass $\text L2$ gegenüber $\text L1$ zeitverzögert zu leuchten beginnt.

Abbildung 2

Erkläre diese Beobachtung.

Nun wird der Schalter wieder geöffnet.

Beschreibe, wie sich die Lämpchen nun verhalten, und begründe deine Antwort.

Begründe, warum der Betrag der in der Spule induzierten Spannung unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters $20\,\text V$ beträgt.

Abbildung 3 zeigt den Verlauf der elektrischen Stromstärke in der Spule für diesen Ein- und Ausschaltvorgang.

Abbildung 3

Bestimme näherungsweise die Werte der in der Spule induzierten Spannung für die Zeitpunkte $0,15\,\text s$ und $1,15\,\text s.$

Skizziere den Verlauf der in der Spule induzierten Spannung in das Koordinatensystem von Abbildung 4 unter Verwendung der in den Teilaufgaben c und d bestimmten Werte.

Abbildung 4

(9 VP)

Bei einem Experiment befindet sich ein kleiner Magnet am oberen Ende eines Kunststoffrohrs, das von drei baugleichen Spulen der Länge $1,50\,\text{cm}$ umgeben ist (siehe Abbildung 5).

Zum Zeitpunkt $0\,\text s$ wird der Dauermagnet aus der Ruhe heraus losgelassen. Mit einem Messwerterfassungssystem wird der zeitliche Verlauf der an den Spulen entstehenden Spannung zwischen den Anschlüssen 1 und 2 gemessen.

Abbildung 5

Abbildung 6 zeigt das zugehörige Zeit-Spannung-Diagramm.

Abbildung 6

Erläutere den Kurvenverlauf im Zeitintervall $150\,\text{ms} \lt t \lt 300 \,\text{ms}.$

Der gesamte Kurvenverlauf entspricht in einigen charakteristischen Merkmalen den theoretischen Erwartungen.

Nenne zwei solche Merkmale und begründe deine Angabe.

Nenne ein Merkmal, das den theoretischen Erwartungen nicht entspricht, und begründe deine Angabe.

(7 VP)

M bezeichnet hierbei das Messwerterfassungssystem.

Zeit-Stromstärke-Diagramm

Zum Zeitpunkt $t = 0 \text{ s}$ ist der Kondensator ungeladen. Somit fällt an ihm keine Spannung ab. Das heißt, die gesammte Spannung fällt an den Wiederstand ab. Durch das Messwerterfassungssystem ist bekannt, dass die Stromstärke zum diesem Zeitpunkt $500 \text{ mA}$ beträgt. Die Spannung kann wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} U &=& R \cdot I \\[5pt] U &=& 10,0 \text{ } \Omega \cdot 0,500 \text{ A} \\[5pt] U &=& 5,00 \text{ V} \end{array}$

Die Kapazität wird mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel berechnet:

$I(t)= I(0 \text{ s}) \cdot \mathrm{e}^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}$

Rechenweg anzeigen

$C = 0,23$

Hinweis zu der Gleichung: Es kann ein beliebiges $t$ aus der Wertetabelle in die Formel eingesetzt werden. Dafür ändern sich jedoch die Werte für $C$ leicht.

1. Schritt: Überlegung

Die Ladungsmenge entspricht dem Flächeninhalt unterhalb der Stromstärkenkurve. Dieser kann entweder durch Kästchen zählen bestimmt werden (ungenau), oder durch das Berechnen des Integrals. Im folgenden wird der zweite Ansatz verfolgt.

2. Schritt: Berechnen der Ladungsmenge in den ersten zwei Minuten

$\begin{array}[t]{rll} \Delta Q &=& \displaystyle\int_{0 \text{ s}}^{2 \text{ s}}I(t)\;\mathrm dt \\[5pt] \Delta Q &=& \displaystyle\int_{0 \text{ s}}^{2 \text{ s}} I(0 \text{ s}) \cdot \mathrm{e}^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \;\mathrm dt \\[5pt] \Delta Q &=& \left[ - I(0 \text{ s}) \cdot R \cdot C\cdot \mathrm{e}^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right]^{2 \text{ s}}_{0 \text{ s}} \\[5pt] \Delta Q &=& 0,66 \text{ C} \end{array}$

3. Schritt: Berechnen der gesammten Ladungsmenge

Die maximale Ladung kann durch Umstellen der Formel für die Kapazität berechtet werden:

$\begin{array}[t]{rll} C &=& \dfrac{Q_{\text{max}}}{U} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot U \\[5pt] Q_{\text{max}} &=& C \cdot U \\[5pt] Q_{\text{max}} &=& 0,23 \text{ F} \cdot 5,0 \text{ V} \\[5pt] Q_{\text{max}} &=& 1,15 \text{ C} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Vergleich der beiden Ladungsmengen

Das Verhältniss zwischen der Lagung, die innerhalb der ersten zwei Sekunden auf den Kondensator fließt, und der gesammt Ladung kann wie folgt berechnet werden:

$\dfrac{\Delta Q}{Q_{\text{max}}}$ $= \dfrac{0,66 \text{C}}{1,15 \text{C}}$ $= 0,57$

Der Kondensator ist nach 2 Sekunden zu ca. $57\%$ aufgeladen.

Da laut Aufgabenstellung die Potenzialdifferenz konstant ist, können in der Abbildung die Linien gezählt werden, dass dann mit der Liniendifferenzen gerechnet wird.
Es sind insgesammt 5 Äquipotenziallinien eingezeichnet. Somit gibt es 6 Stufen, in denen das Potenzial gleich ansteigt. In einem Stufen steigt das Potenzial um:

$\dfrac{9 \text{ kV}}{6 \text{ Stufen}}$ $= 1,5 \text{ } \dfrac{\text{kV}}{\text{Stufen}}$

Der Punkt A ist 2 Stufen von der quaderförmigen Elektrode mit dem Potential von $0 \text{ V}$ entfernt und sein Potenzial lässt sich wie folgt ausrechnen:

$2 \text{ Stufen} \cdot 1,5 \text{ } \dfrac{\text{kV}}{\text{Stufen}}$ $= 3,0 \text{ kV}$

Um vom Punkt A nach B zu kommen, müssen drei Potenzialstufen überwuden werden. Somit beträgt die Potenzialdifferenz $4,5 \text{ kV}.$ Ein Proton hat eine Ladung von $1,60 \cdot 10^{-19} \text{ C}.$ Die benötigte Energie um das Proton von Punkt A nach Punkt B zu verschieben lässt sich mit der folgeneden Formel berechenen:

$\begin{array}[t]{rll} W &=& q \cdot U \\[5pt] W &=& 1,60 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 4,5 \text{ kV} \\[5pt] W &=& 7,2 \cdot 10^{-16} \text{ J} \\[5pt] \end{array}$

Aus der Wertetabelle kann abgelesen werden, dass sich mit wachsendem Abstand die elektrische Kraft verringert. Somit fallen Zusammenhänge (1), (3) und (5) weg.
Desweiteren lässt sich aus der Tabelle ablesen, dass wenn sich der Abstand von $5 \text{ cm}$ auf $10 \text{ cm}$ verdoppelt, sich die elektrische Kraft grob viertelt. Somit bleibt nur noch noch Ansatz (4) übrig:

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{el}} &=& \dfrac{k}{r^2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot r^2 \\[5pt] k &=& F_{\text{el}} \cdot r^2 \end{array}$

$\color{#ffffff}{r}$ in $\color{#ffffff}{\text{cm}}$	$\color{#ffffff}{F_{el}}$ in $\color{#ffffff}{\text{mN}}$	$\color{#ffffff}{k}$ in $\color{#ffffff}{\text{mN} \cdot\text{cm}^2}$
5,00	24,5	613
10,00	6,05	605
20,0	1,52	608
30,0	0,68	612
50,0	0,24	600

Es ist erkennbar, dass der Wert $k$ annähernd konstant ist. Somit haben die Messwerte Ansatz (4) bestätigt.

1. Schritt: Überlegung

Die in der Aufgabenstellung gegebenen Formel muss lediglich nach $Q$ umgestellt werden und der Mittelwert der $k$ aus Aufgabenteil c) muss eingesetzt werden.

2. Schritt: Berechnung des Durchschnitts von $k$

Der Durchschnitt von $k$ wird mit den Messwerten aus c) bestimmt:

Rechenweg anzeigen

$k = 6,08 \cdot 10^{-5 }\text{ m}^2 \text{N}$

3. Schritt: Berechnung der Ladungsmenge $Q$

$k = \dfrac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot q \cdot Q$

Rechenweg anzeigen

$Q = 1,69 \text{ C}$

Wenn der Schalter geschlossen wird, beginnt der Stromfluss anzusteigen. Der Strom fließt sowohl durch den Zweig mit dem Widerstand als auch durch den Zweig mit der Spule. In dem Zweig mit dem Widerstand fängt die Lampe sofort an zu Leuchten. In dem Zweig mit der Spule beginnt die Lampe erst später zu leuchten.

Wenn in einer Spule die Stromstärke anfängt zu steigen, so baut sich in dieser ein Magnetfeld auf. Dieses ist nach der Lenzischen Regel seiner Ursache, also dem ansteigenedem Strommfluss entgegengerichtet. Somit wird in die Spule eine Spannung induziert, die dem ansteigenedem Strommfluss entgegenwirkt. Aufgrunddessen steigt die tatsächliche Stromstärke merklich langsamer, als die in dem Zweig mit dem Widerstand.

Wird der Schalter geöffnet, besteht der Stromkreis nur noch aus den zwei Zweigen. Die Lämpchen sind nun also in Reihe geschaltet. Die Stromstärke nimmt nicht sofort ab, da die Eigeninduktion der Spule den Abstieg verlangsamt. Somit gehen die Lämpchen, die in Reihe liegen, merklich nach dem Öffnen des Schalters gleichzeitig aus.

Die einzige Spannung, die nach dem Öffnen des Schalters anliegt, ist die von der Spule induzierte Spannung. Diese wird durch folgende Formel beschrieben:

$U_{\text{ind}} = - L \cdot \dot{I}(t)$

Diese Spannung kann auch durch die bekannte Formel $U = R_{\text{ges}} \cdot I$ ausgedrückt werden. Der Gesamtwiderstand $R_{\text{ges}}$ des Stromkreises beträgt $2 \cdot 40 \; \Omega + 2 \cdot 60 \; \Omega$ $= 200 \; \Omega.$

Der Widerstand der Spule beträgt $60 \; \Omega$ und der Widerstand einer Lampe beträgt $40 \; \Omega.$ Somit beträgt der Widerstand $R_2$ des zweiten Zweige $100 \; \Omega.$ Zum Zeitpunkt des Ausschaltens fließt ein Strom von:

$\begin{array}[t]{rll} I_2 &=& \dfrac{U_0}{R_2} \\[5pt] I_2 &=& \dfrac{10 \text{ V}}{100 \; \Omega} \\[5pt] I_2 &=& 0,10 \text{ A} \end{array}$

Somit beträgt die induzierte Spannung:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{ind}} &=& U \\[5pt] U_{\text{ind}} &=& R_{\text{ges}} \cdot I \\[5pt] U_{\text{ind}} &=& 200 \; \Omega \cdot 0,10 \text{ A} \\[5pt] U_{\text{ind}} &=& 20 \text{ V} \end{array}$

1. Schritt: Überlegung

Die induzierte Spannung kann mit folgender Formel berechnet werden: $U_{\text{ind}}(t) = - L \cdot \dot{I}(t).$ Die Induktivität der Spule beträgt laut Aufgabenstellung $20 \text{ H}.$ Die Änderung der Stromstärke kann durch die Steigung der Stromstärkekurve in Abbildung 3 bestimmt werden.

2. Schritt: Ablesen der Stromstärkenänderung

Um die Stromstärkenänderung zu einem Zeitpunkt $t$ zu bestimmen, muss an der Stelle $t$ in dem Schaubild auf dem Graphen eine Tangente angelegt werden. Die Steigung der Tangente entspricht der Änderung der Stromstärke. Es können folgende Stromstärkenänderungen abgelesen werden:

$\dot{I}(0,15 \text{ s}) = 0,23 \; \frac{\text{A}}{\text{s}}$

$\dot{I}(1,15 \text{ s}) = -0,22 \; \frac{\text{A}}{\text{s}}$

3. Schritt: Berechnung der induzierten Spannung

Berechnen der induzierten Spannung mit der Formel aus dem 1. Schritt und mit den Werten aus dem zweiten Schritt ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{ind}}(0,15 \text{ s}) &=& - L \cdot \dot{I}(0,15 \text{ s}) \\[5pt] U_{\text{ind}}(0,15 \text{ s}) &=& - 20 \text{ H} \cdot 0,23 \; \dfrac{\text{A}}{\text{s}} \\[5pt] U_{\text{ind}}(0,15 \text{ s}) &=& -4,6 \text{ V} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{ind}}(1,15 \text{ s}) &=& - L \cdot \dot{I}(0,15 \text{ s}) \\[5pt] U_{\text{ind}}(1,15 \text{ s}) &=& - 20 \text{ H} \cdot \left( - 0,22 \; \dfrac{\text{A}}{\text{s}} \right) \\[5pt] U_{\text{ind}}(1,15 \text{ s}) &=& 4,4 \text{ V} \\[5pt] \end{array}$

Es sind bereits folgende Wertepaare bekannt:

Wird der Schalter zum Zeitpunkt $t= 0 \text{ s}$ geschlossen, dann gilt: $U + U_{\text{ind}} = 0$ . Da eine Spannung von $10 \text{ V}$ anliegt, beträgt die induzierte Spannung $-10 \text{ V}$ . Somit ist $U_{\text{ind}}(0 \text{ s})= -10 \text{ V}.$
Aus Teilaufgabe d) ist folgendes Wertepaar bekannt: $U_{\text{ind}}(0,15 \text{ s})= -4,7 \text{ V}.$
Aus Abbildung 3 ist ersichtlich, dass zum Zeitpunkt $t= 1 \text{ s}$ der Schalter geschlossen wird. Aus Teilaufgabe c) ist somit folgendes Wertepaar bekannt: $U_{\text{ind}}(1 \text{ s})= 20 \text{ V}.$
Aus Teilaufgabe d) ist folgendes Wertepaar bekannt: $U_{\text{ind}}(1,15 \text{ s})= 4,4 \text{ V}.$

Mit diesen Werten und dem Wissen, dass der Einschaltvorgang durch eine logarithmische Funktion und der Ausschaltvorang durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird, lässt sich nun das Spannungsdiagramm zeichnen.

Der Magnet durchquert in diesem Zeitraum die oberste Spule. Der magnetische Fluss nimmt beim Eintreten des Magneten in die Spule zu. Somit wird eine Spannung induziert. Diese vergrössert sich, bis der Magnet bis zu der Mitte der Spule vorgedrungen ist. Nun wechselt das Vorzeichen der Spannung. Der Betrag der Spannung ist jetzt höher, da der Magnet an Geschwindigkeit zugenommen hat. Nun nimmt die Spannung wieder ab und erreicht die Null Volt, wenn der Magnet vollständig aus der Spule ausgetreten ist.

Der Kurvenverlauf zeigt folgende theoretischen Merkmale:

Das Vorzeichen der Spannung verändert sich beim Durchfliegen einer Spule durch den Magneten.
Jeder Abschnitt im Diagramm, in dem der Magnet eine Spule durchläuft, muss kleiner werden, da der Magnet immer weniger Zeit benötigt durch eine Spule zu fliegen, da er schneller wird.
Die Fallzeit des Magneten zwischen einzelnen Spulen mit gleichem Abstand nimmt ab, da der Magnet durch die Gravitation beschleunigt wird.

Der Magnet wird durch die Gravitation durchgehend beschleunigt. Somit nimmt die Geschwindigkeit des Magneten kontinuierlich zu. Somit sollte auch immer der Betrag der induzierten Spannung beim Austritt des Magneten aus einer Spule größer sein, als beim Eintritt in die Spule.
Dies steht im Widerspruch zum Diagramm: Die zweite positive Spannungsspitze ist betragsmäßig kleiner als die zweite negative Spannungsspitze.