Aufgabe 4 – Elektromagnetismus

Ein Kondensator mit der Kapazität $6,0 \,\mu \text F$ wird aufgeladen. Der Kondensator wird von der Spannungsquelle getrennt und zum Zeitpunkt $0 \;\text{s}$ mit einer Spule verbunden (siehe Abb. 1). Der zeitliche Verlauf der Spannung $U_C$ am Kondensator wird in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 1

Abbildung 2

Erkläre das Zustandekommen einer Schwingung bei diesem Versuch.

Bestimme die Induktivität der Spule.

Der obige Versuch wird mit einer Spule mit variabler Induktivität und einem Kondensator unbekannter Kapazität wiederholt. Dabei wird die Periodendauer des Schwingkreises in Abhängigkeit von der Induktivität der Spule ermittelt (siehe Tab. 1).

$\color{#fff}{ L}$ in $\color{#fff}{\text{mH}}$	$\color{#fff}{ T}$ in $\color{#fff}{\text{ms}}$
30	48
22	41
15	34
13	32
10	28

Tabelle 1

Bestätige mit Hilfe eines Diagramms, dass eine Proportionalität zwischen $L$ und $T^2$ vorliegt.

Bestimme mit Hilfe des Diagramms aus Teilaufgabe c) möglichst genau die Kapazität des Kondensators.

Der Versuch wird mit einem Kondensator mit doppelter Kapazität wiederholt.

Gib die Änderung des Diagramms aus Teilaufgabe c) an und begründe deine Antwort.

(11 VP)

Ein quadratischer Leiterrahmen der Seitenlänge $8\,\text{cm}$ mit einer Windung ist auf einem Wagen montiert. Die Anschlüsse $P$ und $Q$ sind nicht verbunden. Zum Zeitpunkt $0\,\text s$ befindet sich der Wagen an der Position $0\,\text{cm}$ und bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit von $4,0\,\text{cm s} ^{-1}$ nach rechts.

Abbildung 3

Dabei durchfährt er ein scharf begrenztes, homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte $50\,\text{mT}.$ Am Ende der Fahrbahn befindet sich eine Feder, die den Wagen mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag zurückstößt (siehe Abb. 3). Von Reibung wird in diesem Versuch abgesehen.

Nach einer gewissen Zeit entsteht erstmals eine Spannung $U$ zwischen den Anschlüssen $P$ und $Q.$

Erkläre das Zustandekommen der erstmalig auftretenden Spannung und gib die Polung an den Anschlüssen an.

Berechne den Betrag dieser Spannung.

Abbildung 4 zeigt vier $U$ - $t$ -Diagramme.

bw physik abi 2023 aufgabe 4 abbildung 4 1

bw physik abi 2023 aufgabe 4 abbildung 4 3

Abbildung 4

Begründe, welches Diagramm den Vorgang am besten beschreibt.

(8 VP)

Zur Vorbereitung eines Versuchs mit einer Spule diskutiert eine Schülergruppe das Vorgehen. Ziel ist die Bestimmung der Induktivität der Spule unter Verwendung eines Diagramms, das den zeitlichen Verlauf der Stromstärke $I$ nach dem Trennen der Spule vom Netzgerät zeigt. Es stehen ein Netzgerät mit der Gleichspannung $10\,\text V,$ eine Spule mit einem ohmschen Widerstand von $280 \,\Omega,$ ein ohmscher Widerstand mit einem Wert von $500 \,\Omega,$ ein Schalter, ein Messwerterfassungssystem mit Stromstärkesensor sowie Kabel zur Verfügung.

Zunächst werden von der Schülergruppe drei Vorschläge A, B, und C für eine Schaltung entworfen (siehe Abb. 5)

bw physik abi 2023 aufgabe 4 abbildung 5 1

Abbildung 5

Begründe, welche beiden Schaltungen nicht benutzt werden können, um ein geeignetes $I$ - $t$ -Diagramm aufzunehmen.

Mit der geeigneten Schaltung wurde das in Abbildung 6 dargestellte $I$ - $t$ -Diagramm aufgenommen.

Abbildung 6

Bestimme aus dem Diagramm die Induktivität der Spule.

Die Schülergruppe überlegt, ob man die Induktivität der Spule auch beim Schließen des Schalters bestimmen kann.

Begründe, welche der drei Schaltungen hierzu benutzt werden können.

Skizziere für alle geeigneten Schaltungen den zeitlichen Verlauf der Stromstärke in ein gemeinsames Koordinatensystem.

(11 VP)

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Der Kondensator entlädt sich über die Spule. Die dabei auftretende Induktionsspannung in der Spule verzögert den Entladevorgang und führt auch dazu, dass der Kondensator nach seiner vollständigen Entladung wieder aufgeladen wird. Sieht man von Energieverlusten ab, so wird der Kondensator erneut auf die ursprüngliche Spannung aufgeladen, allerdings mit umgekehrter Polung. Der beschriebene Entladevorgang wiederholt sich mit umgekehrter Stromrichtung. Es entsteht unter idealisierten Bedingungen eine ungedämpfte elektromagnetische Schwingung.

Herleitung der Indukttivität $L$ aus der Thomsonschen Schwingungsformel liefert:

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} L&=& \dfrac{T^2}{4 \pi^2\cdot C}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{(0,30 \;\text{ms})^2}{4 \pi^2 \cdot 6,0 \;\mu \text{F}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,8 \cdot 10^{-4} \;\text{H} \end{array}$

Im Diagramm ist zu sehen, dass die Punkte im $L$ - $T^2$ -Diagramm auf einer Ursprungsgeraden liegen, die Größen sind zueinander proportional.

Herleitung der Kapazität $C$ aus der Thomsonschen Schwingungsformel liefert:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2 \pi \sqrt{L C} &\quad \scriptsize \mid\; \left(\;\right)^2 \\[5pt] T^2&=& 4 \pi^2 \left(L C\right) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{4 \pi^2} \\[5pt] \dfrac{T^2}{4 \pi^2}&=& L \cdot C &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{L} \\[5pt] \dfrac{T^2}{4 \pi^2\cdot L}&=& C &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{T^2}{L}\cdot \dfrac{1}{4 \pi^2} &=& C &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{T^2}{L} = m \\[5pt] m\cdot \dfrac{1}{4 \pi^2}&=& C &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Steigung der Ausgleichsgeraden im Schaubild zur Teilaufgabe c) hat den Wert $m=7,7 \cdot 10^{-2} \;\text{s}^2 \text{H}^{-1}.$ Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} C&=& m\cdot \dfrac{1}{4 \pi^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,7 \cdot 10^{-2} \;\text{s}^2 \text{H}^{-1} \cdot \dfrac{1}{4 \pi^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,0 \;\text{mF} \end{array}$

Die Ausgleichsgerade hat die Gleichung:

$T^2=4 \cdot \pi^2 \cdot C \cdot L$

Mit der Verdopplung von $C$ wird wegen $m=4 \cdot \pi^2 \cdot C$ die Steigung $m$ ebenfalls verdoppelt.

Beim Feldeintritt der rechten Rahmenseite kommt es durch die im Magnetfeld auf bewegte Ladungen wirkende Kraft zu einer Verschiebung der Elektronen in Richtung des Punktes $Q.$ Es kommt zu einer Induktionsspannung zwischen den Leiterenden $P$ und $Q.$ $P$ hat gegenüber $Q$ das höhere Potential.

Die Spannung beim Feldeintritt beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text {ind }}&=& B \cdot v \cdot d&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text {ind }}&=& B \cdot v \cdot d&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 50 \;\text{mT} \cdot 4,0 \;\text{cms}^{-1} \cdot 8 \;\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,16 \;\text{mV} \end{array}$

Die beim Feldeintritt der rechten Rahmenseite nach $1\;\text{s}$ erstmalig entstehende Induktionsspannung sinkt nach der Zeitspanne $\Delta t=\dfrac{8 \;\text{cm}}{4,0 \;\text{cms}^{-1}}=2 \;\text{s}$ wieder auf null, da der Rahmen nun vollständig vom Feld durchsetzt wird. Ab dem Zeitpunkt $5 \;\text{s}$ verlässt der Rahmen den Feldbereich, zum Zeitpunkt $7\;\text{s}$ durchsetzt das Feld den Rahmen nicht mehr und die Spannung zwischen $P$ und $Q$ ist wieder null.

Die Diagramme (3) und (4) stellen somit den zeitlichen Verlauf der Spannung auf der Fahrt des Wagens nach rechts falsch dar und sind damit ungeeignet.

In den beiden verbleibenden Diagrammen lässt sich übereinstimmend entnehmen, dass bei der Rückfahrt offensichtlich die linke Rahmenseite zum Zeitpunkt $8 \;\text{s}$ den Feldbereich wiederum erreicht. Es treten gleiche Spannungsbeträge auf, da der Geschwindigkeitsbetrag im Vergleich zur Hinfahrt unverändert ist. Diagramm (2) passt aber sicher nicht zur Bewegung des Wagens, da auf der Rückfahrt die auftretende Spannung zwischen $P$ und $Q$ beim erneuten Eintritt der linken Rahmenseite in das Feld umgekehrt gepolt sein muss im Vergleich zum vorangegangenen Feldaustritt des Rahmens. Es verbleibt allein Diagramm (1), das zur Fahrt des Wagens passen kann.

Im Experiment soll der Stromverlauf durch die Spule nach dem Abtrennen der Spannungsquelle beobachtet werden.

Beim Schaltplan $A$ wird der Stromkreis beim Öffnen des Schalters insgesamt unterbrochen. Es gibt keine Masche, in der nach der Öffnung des Schalters ein Strom fließen kann. Die Schaltung ist für eine Messung nicht geeignet.

Schaltplan $B$ ist völlig ungeeignet, da schon beim Schließen des Schalters zu Versuchsbeginn ein Kurzschluss des Netzgeräts auftritt.

Nur der Schaltplan $C$ ist grundsätzlich für den Versuch geeignet.

Nach der Maschenregel für die auftretenden Spannungen gilt für jeden Zeitpunkt: $\begin{array}[t]{rll} -L \cdot \dot{I}(t)&=& R_{g e s} \cdot I(t)&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{-\dot{I}(t)} \\[5pt] L&=& \dfrac{R_{g e s} \cdot I(t)}{-\dot{I}(t)} \end{array}$

Fälglich lässt sich die Induktivität somit aus der Tangentensteigung in einem geeigneten Punkt der Stromkurve, der Stromstärke zu diesem Zeitpunkt und aus dem Widerstand bestimmen. Es ergibt sich für die Induktivität näherungsweise:

$\begin{array}[t]{rll} L&=& \dfrac{R_{g e s} \cdot I(t)}{-\dot{I}(t)}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{R_{\text {ges }} \cdot I(1,0 \;\text{s})}{-\dot{I}(1,0 \;\text{s})} \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& \dfrac{780 \;\Omega \cdot 10 \;\text{mA} \cdot 1,85 \;\text{s}}{22,5 \;\text{mA}} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,4 \cdot 10^2 \;\text{H} \end{array}$

Soll zur Bestimmung der Induktivität die Stromkurve beim Einschaltvorgang aufgenommen werden, so eignen sich sowohl die Schaltungen $A$ als auch $C.$ Schaltung $B$ ist durch den Kurzschluss im Stromkreis nicht geeignet. Der jeweils gemessene Strom fließt bei Schaltung $A$ durch einen Kreis mit dem ohmschen Widerstand von $780 \;\Omega$ , bei Schaltung $C$ wird nur der Strom im Teilkreis mit dem ohmschen Widerstand der Spule von $280 \;\Omega$ registriert.

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