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Teil B

Aufgaben
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Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen$f_a:\; x\mapsto x^2\cdot \mathrm e^{-a\cdot x}$ mit $a\in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.
#funktionenschar#zentraleraufgabenpool
1
a)
Begründe, dass für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ die $x$-Achse Asymptote von $G_a$ ist. Zeige, dass die Graphen aller Funktionen der Schar nur einen Punkt gemeinsam haben.
(3 BE)
b)
Bestimme die Lage und Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a.$ Begründe, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt.
[Teilergebnisse: Extremstellen: $x_1 =0$, $x_2= \frac{2}{a}$]
(6 BE)
c)
Zeige, dass für alle $a\in \mathbb{R}^+$ die Extrempunkte von $G_a$ auf der Parabel mit der Gleichung $y= \mathrm e^{-2}\cdot x^2$ liegen.
(3 BE)
d)
Der Graph $G_a,$ die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=p$ mit $p\in \mathbb{R}^+$ schließen ein Flächenstück ein. Berechne den Inhalt dieses Flächenstücks für $a=0,2$ in Abhängigkeit von $p$. Zeige, dass dieser Inhalt für alle $p\in \mathbb{R}^+$ kleiner als $250$ ist.
(4 BE)
#asymptote#extrempunkt
2
Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Schiffs durch seinen Kiel. Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die $x$-Achse die Horizontale beschreibt und der Koordinatenursprung die Bugspitze darstellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Das Deck des Schiffs befindet sich in der Horizontalen und ist $20\,\text{m}$ lang.
Die in $\mathbb{R}$ deifnierte Funktion $k: \; x\mapsto -0,3x^2\cdot \mathrm e^{-0,2x}$ beschreibt im Bereich $0\leq x \leq 20$ den Kiel von der Bugspitze bis zum Heck.
a)
Für $x\in \mathbb{R}$ gilt $k(x)=-0,3\cdot f_{0,2}(x).$ Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen von $f_{0,2}$ hervorgeht.
(2 BE)
b)
Berechne die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck auf Zentimeter genau.
[zur Kontrolle: $x$-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von $k$: $10$]
(4 BE)
c)
Der Kiel hat in einem Punkt seinen betragsmäßig größten Neigungswinkel gegen die Horizontale. Bestimme den Betrag dieses Neigungswinkels.
(4 BE)
d)
Der horizontal liegende Boden der Kajüte befindet sich $2,25\,\text{m}$ unterhalb des Decks. Berechne die Länge des Bodens in Längsrichtung des Schiffs auf Zentimeter genau.
(4 BE)
Der Endpunkt des Kiels am Heck wird im Modell durch den Punkt $E$ dargestellt, die Bugspitze durch den Punkt $B.$ Der Punkt $T$ ist der Tiefpunkt, der Punkt $P\left(10-5\sqrt{2}\mid k\left(10-5\sqrt{2}\right) \right)$ ein Wendepunkt des Graphen von $k.$
e)
Verbindet man die Punkte $B$, $P$, $T$ und $E$ in dieser Reihenfolge durch Strecken, so entsteht ein Streckenzug, dessen Länge einen guten Näherungswert für die Länge des Kiels im Modell liefert. Ermittle diesen Näherungswert für die Länge des Kiels auf eine Dezimale genau.
[Ergbnis: Näherungswert: $21,0$]
(4 BE)
f)
Begründe geometrisch, dass die tatsächliche Länge des Kiels im Modell größer sein muss als der in Aufgabe 2e ermittelte Näherungswert.
(2 BE)
g)
Die als Kurvenlänge $L$ bezeichnete Länge des Graphen der Funktion $k$ zwischen den Punkten $\left(a\mid k(a)\right)$ und $\left(b\mid k(b)\right)$ mit $a< b$ kann mithilfe der Formel
$L = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$
berechnet werden. Berechne damit die Länge des Kiels im Modell auf eine Dezimalstelle genau. Bestimme, um wie viel Prozent der Näherungswert aus Aufgabe 2e davon abweicht.
(4 BE)

(40 BE)
#neigungswinkel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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1
a)
$\blacktriangleright$  Asymptote begründen
Du sollst begründen, dass die $x$-Achse für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ Asymptote von $G_a$ ist. Betrachte dazu den Funktionsterm und die einzelnen Faktoren.
$\blacktriangleright$  Gemeinsamen Punkt nachweisen
Du sollst nachweisen, dass alle Graphen von $f_a$ nur einen Punkt gemeinsam haben. Setze also die Funktionsterme von zwei verschiedenen Funktionen der Schar gleich und löse nach $x$ auf.
Setze $f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x).$
b)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktionen $f_a$ gegeben und sollst deren Graphen auf Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_a''(x_E) > 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_a''(x_E) < 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_a'$ und $f_a''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_a''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_a$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Lage des Hochpunkts begründen
Du sollst begründen, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt. Ein Punkt liegt dann im ersten Quadranten, wenn sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinate positiv ist. Begründe, dass dies der Fall ist. Beachte dabei, dass $a\in \mathbb{R}^+$ also immer positiv ist.
c)
$\blacktriangleright$  Lage der Extrempunkte nachweisen
Du sollst zeigen, dass die Extrempunkte von $G_a$ für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ auf der Parabel mit der Gleichung $y = \mathrm e^{-2}\cdot x^2$ liegen. Setze dazu die Koordinaten der Tief- und Hochpunkte in Abhängigkeit von $a$ in die Gleichung ein und überprüfe, ob sie erfüllt wird.
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die von $G_a$ mit $a=0,2$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x=p$ eingeschlossen wird, in Abhängigkeit von $p.$ Diese kannst du mit einem Integral über $f_{0,2}$ in den Grenzen $x_0$ und $p$ berechnen, wobei $x_0$ die Nullstelle von $f_{0,2}$ ist.
$\blacktriangleright$  Begrenzung zeigen
Du sollst zeigen, dass der Flächeninhalt für $p\in \mathbb{R}^+$ kleiner als $250$ ist. Betrachte dazu den oben berechneten Funktionsterm und begründe mit diesem.
2
a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Du sollst beschreiben, wie der Graph von $k$ mit $k(x)=-0,3\cdot f_{0,2}(x)$ aus dem von $f_{0,2}$ hervorgeht. Vergleiche dazu, wie der Funktionsterm von $k$ aus dem von $f_{0,2}$ hervorgeht.
b)
$\blacktriangleright$  Höhendifferenz berechnen
Gesucht ist die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck. Der tiefste Punkt des Kiels wird im Modell durch den Tiefpunkt des Graphen von $k$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt auf dem Graphen von $k$ an der Stelle $x=20.$ Die gesuchte Differenz ergibt sich dann also aus der Differenz der Funktionswerte an der Minimalstelle und an der Stelle $x=20.$
Da der Graph von $k$ durch Streckung und Spiegelung aus dem von $f_{0,2}$ hervorgeht, kannst du damit auch die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $k$ aus den Koordinaten der Extrempunkte von $f_{0,2}$ ermitteln.
c)
$\blacktriangleright$  Betrag des größten Neigungswinkels berechnen
Den größten Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen, die im Modell von der $x$-Achse beschrieben wird, besitzt der Kiel in dem Punkt, in dem der Graph von $k$ im Modell die betragsmäßig größte Steigung besitzt. Gehe also wie folgt vor:
  • Bestimme die Stelle des Graphen von $k$ mit der betragsmäßig größten Steigung im Bereich $0\leq x\leq 20$. Die Steigung des Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion $k'$ beschrieben. Bestimme also die Extrempunkte des Graphen von $k'.$
  • Berechne die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ des Graphen von $k$ mit der $x$-Achse an der berechneten Stelle $x_s$ mit Hilfe folgender Formel:
    $\tan(\alpha) = k'(x_s)$
    $\tan(\alpha) = k'(x_s)$
d)
$\blacktriangleright$  Länge des Bodens berechnen
Du sollst die Länge des Bodens der Kajüte berechnen, der $2,25\,\text{m}$ unterhalb des Decks liegt. Das Deck liegt im Modell auf Höhe der $x$-Achse. Der Boden liegt also im Modell auf Höhe der Gerade mit der Gleichung $y = -2,25.$
Die Länge des Bodens ergibt sich also aus der Differenz der Schnittstellen der Gerade mit dem Graphen von $k.$
Setze also $k(x)= -2,25.$
e)
$\blacktriangleright$  Näherungswert berechnen
Gesucht ist der Näherungswert für die Länge des Kiels, der durch die Länge des Streckenzugs über die vier Punkte $B$, $P$, $T$ und $E$ im Modell gebildet werden soll.
Berechne also die Längen der drei Strecken, die den Streckenzug bilden, über den Abstand der jeweiligen beiden Punkte:
$d(P,Q)=\sqrt{\left(x_Q-x_P\right)^2 +\left(y_Q-y_P\right)^2}$
$ d(P,Q) = … $
Die Koordinaten der Punkte hast du größtenteils schon berechnet:
  • $B$ stellt die Bugspitze dar und ist laut Aufgabenstellung der Koordinatenursprung: $B(0\mid 0)$
  • Die $x$-Koordinate von $P$ ist gegeben mit $x = 10-5\sqrt{2}$. Berechne die $y$-Koordinate, durch Einsetzen in $k(x).$
  • $T$ ist der Tiefpunkt $T\left(10 \mid -30\mathrm e^{-2}\right).$
  • $E$ stellt den Endpunkt des Kiels am Heck dar $E\left(20\mid -120\mathrm e^{-4}\right)$
Berechne die fehlende $y$-Koordinate von $P$ und die entsprechenden Streckenlängen.
f)
$\blacktriangleright$  Geometrisch begründen
Du sollst begründen, dass die tatsächliche Länge des Kiels im Modell größer sein muss als der berechnete Näherungswert über den Streckenzug. Zeichne dir dazu die entsprechenden Punkte des Streckenzugs in die Abbildung auf deinem Aufgabenblatt ein.
g)
$\blacktriangleright$  Länge des Kiels im Modell berechnen
Die Länge des Kiels wird im Modell über die Bogenlänge des Graphen von $k$ zwischen den beiden Punkten $B(0\mid 0)$ und $E(20\mid k(20))$ beschrieben. Diese kannst du laut Aufgabenstellung mit folgender Formel berechnen:
$L= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+ \left( k'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$
$L= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+ \left( k'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abweichung bestimmen
Berechne die prozentuale Abweichung des Näherungswertes vom tatsächlichen Wert.
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1
a)
$\blacktriangleright$  Asymptote begründen
Du sollst begründen, dass die $x$-Achse für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ Asymptote von $G_a$ ist. Betrachte dazu den Funktionsterm und die einzelnen Faktoren.
Die Funktionsterme von $f_a$ bestehen aus zwei Faktoren $x^2$ und $\mathrm e^{-a\cdot x}.$ Für immer größer werdende $x$ wird der erste Faktor $x^2$ immer größer, für den zweiten gilt aber $\mathrm e^{-a\cdot x} \overset{x\to \infty}{\longrightarrow} 0.$
Der zweite Faktor ist der dominantere, da es sich hierbei um den Term einer Exponentialfunktion handelt. Der gesamte Term nähert sich also immer weiter der $0$ an, bleibt dabei aber immer positiv. Dies gilt für alle $a\in \mathbb{R}^+.$
Die Funktionsgraphen nähern sich also für große Werte von $x$ immer weiter der $x$-Achse an ohne sie zu berühren, diese ist somit für alle $a\in\mathbb{R}^+$ eine Asymptote.
$\blacktriangleright$  Gemeinsamen Punkt nachweisen
Du sollst nachweisen, dass alle Graphen von $f_a$ nur einen Punkt gemeinsam haben. Setze also die Funktionsterme von zwei verschiedenen Funktionen der Schar gleich und löse nach $x$ auf.
Setze $f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x):$
$\begin{array}[t]{rll} f_{a_1}(x)&=& f_{a_2}(x) \\[5pt] x^2\cdot \mathrm e^{-a_1\cdot x}&=& x^2\cdot \mathrm e^{-a_2\cdot x}&\quad \scriptsize \mid\;x_{1/2} = 0 \\[5pt] \mathrm e^{-a_1\cdot x}&=& \mathrm e^{-a_2\cdot x}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -a_1\cdot x&=&-a_2\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; x_3 = 0 \\[5pt] -a_1 &=&-a_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& 0 \\[5pt] x_3 &=&0 \end{array}$
Je zwei Graphen der Schar schneiden sich im Punkt $(0\mid 0)$ und besitzen keinen weiteren gemeinsamen Punkt. Alle Graphen der Schar haben also den einzigen gemeinsamen Punkt $(0\mid 0).$
b)
$\blacktriangleright$  Lage und Art der Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktionen $f_a$ gegeben und sollst deren Graphen auf Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$ untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f_a''(x_E) > 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f_a''(x_E) < 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_a'$ und $f_a''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_a'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_a''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f_a$ an den Extremstellen.
Teil B
Abb. 1: Definition der Funktionen
Teil B
Abb. 1: Definition der Funktionen
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Setze $f_a'(x)=0$. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst folgende Lösungen:
Teil B
Abb. 2: Gleichung lösen
Teil B
Abb. 2: Gleichung lösen
Es gibt zwei mögliche Extremstellen.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Teil B
Abb. 3: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen
Teil B
Abb. 3: Funktionswerte der zweiten Ableitung berechnen
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne nun die zugehörigen $y$-Koordinaten.
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(0\right)&=& 0 \\[5pt] f_a\left(\dfrac{2}{a}\right)&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \\[5pt] \end{array}$
Der Graph von $f_a$ besitzt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H_a\left(\dfrac{2}{a}\mid \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Lage des Hochpunkts begründen
Du sollst begründen, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt. Ein Punkt liegt dann im ersten Quadranten, wenn sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinate positiv ist. Begründe, dass dies der Fall ist. Beachte dabei, dass $a\in \mathbb{R}^+$ also immer positiv ist.
Die Koordinaten des Hochpunkts lauten für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ $H_a\left(\dfrac{2}{a}\mid \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \right).$ Da $a\in \mathbb{R}^+$ ist, gilt $\frac{2}{a} >0.$
Zudem ist auch $\mathrm e^{-2} > 0$, damit auch $4\cdot \mathrm e^{-2} > 0$ und insgesamt gilt damit auch für die $y$-Koordinate $\frac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} > 0.$
Sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinaten von $H_a$ sind für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ positiv. Daher liegt der Hochpunkt für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ im ersten Quadranten.
c)
$\blacktriangleright$  Lage der Extrempunkte nachweisen
Du sollst zeigen, dass die Extrempunkte von $G_a$ für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ auf der Parabel mit der Gleichung $y = \mathrm e^{-2}\cdot x^2$ liegen. Setze dazu die Koordinaten der Tief- und Hochpunkte in Abhängigkeit von $a$ in die Gleichung ein und überprüfe, ob sie erfüllt wird.
Für die Koordinaten der Hochpunkte $H_a$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \mathrm e^{-2}\cdot x^2 \\[5pt] \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2}&=& \mathrm e^{-2}\cdot \left(\dfrac{2}{a}\right)^2 \\[5pt] \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2}&=& \mathrm e^{-2}\cdot \dfrac{4}{a^2}\\[5pt] \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2}&=& \dfrac{4\cdot \mathrm e^{-2}}{a^2} \end{array}$
Die Hochpunkte erfüllen also für jedes $a\in \mathbb{R}^+$ die Gleichung und liegen somit auf der Parabel. Für den Tiefpunkt folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \mathrm e^{-2}\cdot x^2 \\[5pt] 0&=& \mathrm e^{-2}\cdot 0^2 \\[5pt] 0&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Tiefpunkts $T$ erfüllen die Gleichung ebenfalls. Der Tiefpunkt $T$ der Graphen $G_a$ liegt daher ebenso auf der Parabel.
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die von $G_a$ mit $a=0,2$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x=p$ eingeschlossen wird, in Abhängigkeit von $p.$ Diese kannst du mit einem Integral über $f_{0,2}$ in den Grenzen $x_0$ und $p$ berechnen, wobei $x_0$ die Nullstelle von $f_{0,2}$ ist.
Berechne also zunächst die Nullstelle.
Setze $f_{0,2} = 0:$
$\begin{array}[t]{rll} f_{0,2}&=& 0 \\[5pt] x^2\cdot \mathrm e^{-0,2x}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,2x} \neq 0 \\[5pt] x^2&=& 0\\[5pt] x_{1/2}&=&0 \end{array}$
$ x_{1/2} = 0 $
Die einzige Nullstelle ist also $x_0 =0.$ Berechne nun das gesuchte Integral in Abhängigkeit von $p$. Du kannst dazu dein CAS verwenden. Den Befehl für ein Integral findest du unter:
keyboard $\to$ Math2
keyboard $\to$ Math2
Du erhältst für das Integral:
$\begin{array}[t]{rll} A_p &=& \displaystyle\int_{0}^{p}f_{0,2}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{p}\left(x^2\cdot\mathrm e^{-0,2x}\right)(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 \\[5pt] \end{array}$
$ A_p = … $
In Abhängigkeit von $p$ ergibt sich der Flächeninhalt zu
$A_p = -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250.$
$ A_p = … $
$\blacktriangleright$  Begrenzung zeigen
Du sollst zeigen, dass der Flächeninhalt für $p\in \mathbb{R}^+$ kleiner als $250$ ist. Betrachte dazu den oben berechneten Funktionsterm und begründe mit diesem.
Der Flächeninhalt kann in Abhängigkeit von $p\in \mathbb{R}^+$ mit folgendem Term berechnet werden:
$A_p = -5\cdot p^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -50\cdot p \cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} -250\cdot \mathrm e^{-\frac{p}{5}} +250 $
$ A_p = … $
Dieser besteht aus vier Summanden, von denen nur einer, $250,$ positiv ist. Die übrigen drei sind wegen des negativen Vorzeichens und weil $p> 0$ und $\mathrm e^{-\frac{p}{5}} > 0$ gilt negativ. Von $250$ wird also für jedes $p\in \mathbb{R}^+$ etwas abgezogen. Also ist der Wert des Terms und damit der Flächeninhalt immer kleiner als $250$.
#integral
2
a)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
Du sollst beschreiben, wie der Graph von $k$ mit $k(x)=-0,3\cdot f_{0,2}(x)$ aus dem von $f_{0,2}$ hervorgeht. Vergleiche dazu, wie der Funktionsterm von $k$ aus dem von $f_{0,2}$ hervorgeht.
Der Funktionsterm von $k$ entsteht durch Multiplikation des Funktionsterms von $f_{0,2}$ mit dem Faktor $-0,3.$ Durch das negative Vorzeichen wird der Graph von $f_{0,2}$ an der $x$-Achse gespiegelt. Durch den Faktor $0,3$ wird der Graph entlang der $y$-Achse gestaucht.
Der Graph von $k$ geht also aus dem Graphen von $f_{0,2}$ durch Stauchung um den Faktor $0,3$ entlang der $y$-Achse und Spiegelung an der $x$-Achse hervor.
b)
$\blacktriangleright$  Höhendifferenz berechnen
Gesucht ist die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck. Der tiefste Punkt des Kiels wird im Modell durch den Tiefpunkt des Graphen von $k$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt auf dem Graphen von $k$ an der Stelle $x=20.$ Die gesuchte Differenz ergibt sich dann also aus der Differenz der Funktionswerte an der Minimalstelle und an der Stelle $x=20.$
Da der Graph von $k$ durch Streckung und Spiegelung aus dem von $f_{0,2}$ hervorgeht, kannst du damit auch die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $k$ aus den Koordinaten der Extrempunkte von $f_{0,2}$ ermitteln.
1. Schritt: Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Durch die Spiegelung an der $x$-Achse und Stauchung entlang der $y$-Achse bleiben die Extremstellen, es ändern sich aber die Art der Extrema und die Funktionswerte an den Extremstellen.
In Aufgabe 1 b) hast du die Koordinaten der Hochpunkte der Graphen $G_a$ der Funktionen $f_a$ berechnet. Der Graph von $f_{0,2}$ besitzt also den Hochpunkt $H_{0,2}\left(10 \mid 100\mathrm e^{-2}\right).$
An der Stelle $x =10$ besitzt der Graph von $k$ also einen Tiefpunkt. Berechne den Funktionswert an dieser Stelle:
$\begin{array}[t]{rll} k(10)&=& -0,3\cdot f_{0,2}(10) \\[5pt] &=& -0,3\cdot 100\mathrm e^{-2} \\[5pt] &=& -30\mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$k(10) = -30\mathrm e^{-2} $
2. Schritt: Zweiten Funktionswert berechnen
Berechne nun den Funktionswert an der Stelle $x=20$, der die Tiefe des Kiels am Heck beschreibt.
$\begin{array}[t]{rll} k(20)&=&-0,3\cdot 20^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 20} \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] \end{array}$
$ k(20)=-120\cdot \mathrm e^{-4} $
3. Schritt: Differenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} k(20)-k(10)&=&-120\cdot \mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} -\left(-30\mathrm e^{-2} \right) \\[5pt] &=& -120\cdot \mathrm e^{-4} +30\mathrm e^{-2} \\[5pt] &\approx& 1,86 \end{array}$
$ k(20)-k(10) \approx 1,86$
Die Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels und dem Endpunkt des Kiels am Heck beträgt ca. $1,86\,\text{m}.$
c)
$\blacktriangleright$  Betrag des größten Neigungswinkels berechnen
Den größten Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen, die im Modell von der $x$-Achse beschrieben wird, besitzt der Kiel in dem Punkt, in dem der Graph von $k$ im Modell die betragsmäßig größte Steigung besitzt. Gehe also wie folgt vor:
  • Bestimme die Stelle des Graphen von $k$ mit der betragsmäßig größten Steigung im Bereich $0\leq x\leq 20$. Die Steigung des Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion $k'$ beschrieben. Bestimme also die Extrempunkte des Graphen von $k'.$
  • Berechne die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ des Graphen von $k$ mit der $x$-Achse an der berechneten Stelle $x_s$ mit Hilfe folgender Formel:
    $\tan(\alpha) = k'(x_s)$
    $\tan(\alpha) = k'(x_s)$
1. Schritt: Stelle mit der steilsten Steigung berechnen
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $k'$ wie in aufgabe 1 b) mit deinem CAS. Du erhältst mögliche Extremstellen bei:
$\begin{array}[t]{rll} k''(x)&=& 0 \\[5pt] x_1&=& -5\cdot \sqrt{2}+10 \\[5pt] x_2&=& 5\cdot \sqrt{2}+10 \\[5pt] \end{array}$
Die Überprüfung mit dem hinreichenden Kriterium ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,09 \neq 0 \\[5pt] k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -5,58 \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'''\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,09 \neq 0 \\[10pt] &k'''\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -5,58 \neq 0 \\[10pt] \end{array}$
An beiden Stellen besitzt der Graph von $k'$ also einen Extrempunkt. Berechne nun die Steigung des Graphen von $k$ an diesen Stellen:
$\begin{array}[t]{rll} k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& -0,69 \\[5pt] k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)&\approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &k'\left(-5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& -0,69 \\[10pt] &k'\left(5\cdot \sqrt{2}+10\right)\\[5pt] \approx& 0,24 \\[5pt] \end{array}$
Die betragsmäßig größte Steigung hat der Graph von $k$ also an der Stelle $x_s = -5\cdot \sqrt{2}+10$ mit $k'(x_s)\approx -0,69.$
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
Setze in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& k'(x_s) \\[5pt] \tan (\alpha)&\approx& -0,69 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& -34,61^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx -34,61^{\circ}$
Der Betrag des betragsmäßig größten Neigungswinkels des Kiels gegenüber der Horizontalen beträgt ca. $34,61^{\circ}.$
d)
$\blacktriangleright$  Länge des Bodens berechnen
Du sollst die Länge des Bodens der Kajüte berechnen, der $2,25\,\text{m}$ unterhalb des Decks liegt. Das Deck liegt im Modell auf Höhe der $x$-Achse. Der Boden liegt also im Modell auf Höhe der Gerade mit der Gleichung $y = -2,25.$
Die Länge des Bodens ergibt sich also aus der Differenz der Schnittstellen der Gerade mit dem Graphen von $k.$
Setze also $k(x)= -2,25$ und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl. Du erhältst dann die Ergebnisse:
$x_1\approx 4,15$ und $x_2 \approx 19,76$
Die dritte Lösung liegt außerhalb des betrachteten Bereichs.
Die Differenz beträgt $19,76 -4,15 = 15,61.$
Der Boden ist in Längsrichtung ca. $15,61\,\text{m}$ lang.
e)
$\blacktriangleright$  Näherungswert berechnen
Gesucht ist der Näherungswert für die Länge des Kiels, der durch die Länge des Streckenzugs über die vier Punkte $B$, $P$, $T$ und $E$ im Modell gebildet werden soll.
Berechne also die Längen der drei Strecken, die den Streckenzug bilden, über den Abstand der jeweiligen beiden Punkte:
$d(P,Q)=\sqrt{\left(x_Q-x_P\right)^2 +\left(y_Q-y_P\right)^2}$
$ d(P,Q) = … $
Die Koordinaten der Punkte hast du größtenteils schon berechnet:
  • $B$ stellt die Bugspitze dar und ist laut Aufgabenstellung der Koordinatenursprung: $B(0\mid 0)$
  • Die $x$-Koordinate von $P$ ist gegeben mit $x = 10-5\sqrt{2}$. Berechne die $y$-Koordinate, durch Einsetzen in $k(x).$
  • $T$ ist der Tiefpunkt $T\left(10 \mid -30\mathrm e^{-2}\right).$
  • $E$ stellt den Endpunkt des Kiels am Heck dar $E\left(20\mid -120\mathrm e^{-4}\right)$
Berechne die fehlende $y$-Koordinate von $P:$
$\begin{array}[t]{rll} k\left(10-5\sqrt{2}\right)&\approx& -1,43 \\[5pt] \end{array}$
Berechne nun also die entsprechenden Streckenlängen.
$\begin{array}[t]{rll} d(B,P)&=& \sqrt{\left( 10-5\sqrt{2} -0\right)^2+\left(-1,43 -0\right)^2} \\[5pt] &\approx& 3,26 \\[10pt] d(P,T)&=& \sqrt{\left( 10-10+5\sqrt{2} \right)^2+\left(-30\mathrm e^{-2}+1,43 \right)^2} \\[5pt] &\approx& 7,54 \\[10pt] d(T,E)&=& \sqrt{\left( 20-10 \right)^2+\left(-120\mathrm e^{-4}+30\mathrm e^{-2} \right)^2} \\[5pt] &\approx& 10,17\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(B,P)&\approx& 3,26 \\[10pt] d(P,T)&\approx& 7,54 \\[10pt] d(T,E)&\approx& 10,17\\[5pt] \end{array}$
Die Gesamtlänge $l$ des Streckenzugs ist demnach:
$\begin{array}[t]{rll} l &\approx& 3,26 + 7,54 + 10,17\\[5pt] &\approx&21,0 \end{array}$
Der Näherungswert für die Länge des Kiels ergibt sich zu ungefähr $21,0\,\text{m}.$
f)
$\blacktriangleright$  Geometrisch begründen
Du sollst begründen, dass die tatsächliche Länge des Kiels im Modell größer sein muss als der berechnete Näherungswert über den Streckenzug. Zeichne dir dazu die entsprechenden Punkte des Streckenzugs in die Abbildung auf deinem Aufgabenblatt ein.
Du erkennst dann, dass die jeweiligen Strecken Sekanten von Bögen sind. Diese Sekanten sind sozusagen „Abkürzungen“. Sie bilden im Gegensatz zu den eigentlichen Graphenstücken die kürzeste Strecke zwischen den beiden Punkten. Daher sind diese Strecken kürzer als die eigentlichen Grpahenstücke und damit ist auch der gesamte Streckenzug kürzer als die eigentliche Bogenlänge des Graphen von $k.$
g)
$\blacktriangleright$  Länge des Kiels im Modell berechnen
Die Länge des Kiels wird im Modell über die Bogenlänge des Graphen von $k$ zwischen den beiden Punkten $B(0\mid 0)$ und $E(20\mid k(20))$ beschrieben. Diese kannst du laut Aufgabenstellung mit folgender Formel berechnen:
$L= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+ \left( k'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$
$L= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+ \left( k'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$
Setze also ein. Das Integral kannst du wie zuvor mit deinem CAS berechnen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{0}^{20}\sqrt{1+ \left( k'(x)\right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx & 21,2 \\[5pt] \end{array}$
$ L \approx 21,2 $
Die tatsächliche Länge des Kiels im Modell ergibt sich zu ca. $21,2\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Prozentuale Abweichung bestimmen
Berechne die prozentuale Abweichung des Näherungswertes vom tatsächlichen Wert.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{L-l}{L} &\approx& \dfrac{21,2-21,0}{21,2} \\[5pt] &\approx&0,0094 = 0,94\,\% \end{array}$
Der Näherungswert weicht um ca. $0,94\,\%$ von der tatsächlichen Länge des Kiels ab.
Bildnachweise [nach oben]
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